通过建立(0,1】的没有有限子覆盖的开覆盖证明(0,1】不是紧集
我做的开覆盖 B(Xi,Xi/2), Xi∈(0,1]。思路如下,讨论限于欧几里得空间。 (这上面编辑符号有点麻烦,尽量文字叙述了) 你一定知道,紧集和有界闭集是等价的说法。 我们假设已经做出(0,1]的这样的一个开覆盖,此开覆盖没有有限子覆盖,直接证明其没有有限子覆盖的话,难度很大,应该用反证法,也就是:再假设找到了他的有限子覆盖,然后推出矛盾。一个简单的方法就是,从他是紧急推出(0,1]是闭集(或者还有其他矛盾,后面详述),这个矛盾是显然的。看起来应该在0那一点动点手脚。 此外我们知道,如果y不属于集合E,则对于任意的x∈E,存在δx>0,使得B(x,δx)∩B(y,δx)=空集(否则,存在x∈E,对任意的δ>0……能得到一个点列极限同时是x和y,于是x=y,矛盾) 我们就选这样的B(x,δx),x∈E作为E的开覆盖,它是没有有限子覆盖的。为了证明, Xi∈(0,1],这样做的理由是,其中任意一个开集都能找到y=0的邻域和它的交集为空。