求此函数的反函数。

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-05-09 08:58 标签： 已知函数怎么求反函数

反函数就是从函数y=f(x)中解出x，用y表示 ：x=φ(y),如果对于y的每一个值，x都有唯一的值和它对应，那么x=φ(y)就是y=f(x)的反函数，习惯上，用x表示自变量，所以x=φ(y)通常写成y=φ(y) (即对换x,y的位置)。

1、从原函数式子中解出　x　用　y　表示；

3、标明反函数的定义域

注：反函数里的x是原函数里的y，原函数中，y≥0，所以反函数里的x≥0。在原函数和反函数中，由于交换了x、y的位置，所以原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。

定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。

在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。

而由于f的严格单增性，对D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x，都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1。

若此时x1≥x2，根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1<y2矛盾。

如果f在D上严格单减，证明类似。

这篇文章已经讲解过映射与逆映射、单射、满射、双射，不再重复。

设 为数集， 为双射，则对每个 都有唯一确定的 满足 （即这样与之对应）。按照映射的定义，这就定义了一个映射（记为） ，称为是 的反函数，其表达形式为 。

注1：定义反函数的前提是，原函数是双射（一对一）。同济版高数中，反函数的定义是“设 为单射，......”因为是到 那肯定是满射，所以也等同于要求是双射。

另外，关于反函数的双射要求

定义中要求的双射，就是一对一，左边右边都没有多余的没用上的点。

因为这样的定义，最简洁，也足够应付各种反函数的应用场景。

其实，扩展到一对一，左边或右边有多余的没用上的点，虽然也没有矛盾之处，但既然它们是多余的没有用上的，从数学追求简洁的角度，干脆不带着它们就好了。

这在函数定义时，也是一样的道理。对每一个x属于D，就是把D中元都用上，不用的多余的点也没有必要带着它们。

注2：定义域和值域发生互换：原函数的值域是反函数的定义域，原函数的定义域是反函数的值域。

注3：从几何图形来看，原函数与反函数的曲线关于直线 是对称的。

注4：关系式 成立，即二者的复合是恒等映射： 。应用（一种常用变形）： .

二. 反函数存在性的判别

函数（映射）允许“多对一”，如 ，但不允许“一对多”。这实际上可以用

竖直线检验：任何一条竖直直线与函数曲线至多有一个交点。

例如， ，移动竖直直线都只有一个交点：

对于一个函数，再考虑其是否有反函数，只需要再保证”不能多对一“即可。这可以用：

水平线检验：任何一条水平直线与函数曲线至多有一个交点。

注意，函数是否存在反函数与所考察的区间是有关系的，例如， 在整个 上来看，是不满足水平线检验的：

但是，如果只考虑 或者 ，就满足水平线检验，就存在反函数了。

类似的，还有三角函数，比如 ，在多个周期内，显然是不满足水平线检验的，但在一个单调周期内，如 是满足水平线检验的，因此 在 上有反函数，

那么，在 也是有反函数的，这么多单调周期都可以选择，但当然是选更简单的包含原点周期更好。

可见，三角函数的反函数一般是选择包含原点或从原点开始的单调周期。

三. 求反函数的一般步骤

(1) 检验函数是否为双射，或者做水平线检验，确定反函数存在性；表示原函数的定义域，注意，可能需要限制在部分单调区间。

注意从求解过程的一些限制（如分母不为 , 根号下大于等于 等）得到反函数的定义域。

(3) 换表示，即交换 和 ，得到最终的反函数。

注：反函数一般是在原函数的单调区间才存在的，也可以借助函数图形、函数单调性、定义域与值域是互换关系，来得到反函数的定义域加以验证。

解：(1) 画出函数图形，做水平线检验：

至多有一个交点，故存在反函数。

(3) 换表示，得到反函数为：

最后再绘制原函数与反函数的图像看看，

注：绘制原函数与反函数图形时有一个技巧，比如上例，通过绘制两个参数方程函数来实现：

解：(1) 画出函数图形，满足水平线检验：

注意，作为根号部分，应有 ，可推得

又分母不能为 ，故 , 从而

(3) 换表示，得到反函数：

最后再绘制原函数与反函数的图像看看，

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补充：关于反函数，有同学还是没绕明白

其实真正理解了，就不会绕了。

函数的三要素有：定义域，对应法则，值域。前两个是根本，他俩决定了值域。

函数本质上是，数集与数集的(非一对多的)对应关系，其表达式用哪个符号表示并不重要，重要的定义域和对应法则所决定的这种对应关系。

为了简单，把反函数定义限制为首先得是双射(一对一的)。

原函数 ，反函数就是 ，且保持对应关系不变。

原函数 ，对应法则表达形式为

按标准步骤求，或者直接取反对应关系(因为简单能直接看出来)，

反函数 ，对应法则表达形式为

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有个同学说了，上面原函数 的反函数，不能交换一下是 吗？(正着 是 的 倍，反过来 是 的 倍)

咱们来看看，为什么不对。

首先只说表达式，不说定义域，这不完整（他的困扰和没绕明白，恰恰就是不说定义域造成的）。

(1) 假如说，你这个反函数是

显然不对，因为这个函数把， 对应到 ， 对应到 ， 对应到 ，根本就回不去 了。

(2) 假如说，你这个反函数是

你这不就是原来的原函数，换了个名字吗？(定义域相同，对应法则相同)它还是原函数。

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