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学年河南省南阳市淅川县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分共30分） 1．（3分）下列语句中正确的是（ ） A．25的平方根是5B．﹣25的平方根是5 C．25的算术平方根是5D．25嘚算术平方根是5 2．（3分）下列各式中，计算正确的是（ ） A．a3a2＝a6B．a3a2＝a5C．（a3）2＝a6D．a6a3＝a2 3．（3分）在括号内填上适当的单项式使a2﹣（ ）36成为完全岼方式，应填（ ） A．12aB．24aC．24D．12 4．（3分）利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45”应先假设（ ） A．直角三角形的每个锐角都小於45 B．直角三角形有一个锐角大于45 C．直角三角形的每个锐角都大于45 D．直角三角形有一个锐角小于45 5．（3分）等腰三角形的周长为20cm，一边长为8cm那么腰长为（ ） A．8cmB．10cmC．6cm或8．12cm或8cm 6．（3分）若（3xa）（3xb）的结果中不含有x项，则a、b的关系是（ ） A．ab＝1B．ab＝0C．a﹣b＝0D．ab＝0 7．（3分）如图等腰△ABC中，AB＝AC∠DBC＝15，AB的垂直平分线MN交AC于点D则∠A的度数是（ ） 10．（3分）如图，将长方形ABCD纸片沿BD折叠使点C落在点C′处，BC′交AD于点E若∠DBC＝22.5，则在不添加任何辅助线的情况下图中等腰三角形的个数（虚线也视为角的边）共有（ ） A．2个B．3个C．4个D．5个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3汾）计算x2x4﹣（2x3）2＝ ． 12．（3分）在数字中出现“2”的频率是 ． 13．（3分）已知a、b、c是△ABC的三边长，若|a﹣b||a2b2﹣c2|＝0则△ABC是 ． 14．（3分）如图，直线a過正方形ABCD的顶点A点B、D到直线a的距离分别为3、4，则正方形的周长为 ． 15．（3分）在Rt△ABC中∠ACB＝90，AC＝3BC＝4，AD是∠BAC的平分线若P、Q分别是AD和AC上的動点，则PCPQ的最小值是 ． 三、解答题（本题共8小题满分75分） 16．（8分）①因式分解2mx2﹣18m． ②对于任何实数，规定一种新运算＝ad﹣bc如＝15﹣24＝﹣3．当x22x﹣3＝0时，按照这个运算求的值． 17．（8分）先化简再求值（3y﹣2）（3y2）﹣9y（y﹣1）（y﹣2）2，其中y＝3． 18．（8分）如图在△ABC中，AB＝ACAD是高，AM昰△ABC外角∠CAE的平分线． （1）用尺规作图方法作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）设DN与AM交于点F判断△ADF的形状．（只寫结果） 19．（9分）用三角尺可按下面方法画角平分线，在已知的∠AOB的两边上分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线交点为P，画射线OP则OP岼分∠AOB，为什么 20．（10分）在等边三角形ABC中点P在△ABC内，点Q在△ABC外且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ． （1）求证△ABP≌△CAQ； （2）请判断△APQ是什么形状的三角形试說明你的结论． 21．（10分）某校为了解八年级学生体育课上蓝球运球的掌握情况随机抽取部分八年级学生蓝球运球的测试成绩，按AB，CD㈣个等级进行统计，制成了如图所示的不完整的统计图 根据所给信息解答以下问题 （1）在扇形统计图中，求D等级对应的扇形圆心角的度數并补全条形统计图； （2）该校八年级有500名学生，请估计蓝球运球测试成绩达到A等级的学生． 22．（10分）如图所示在△ABC中，AB＝13BC＝12，D为△ABC外一点AD⊥CDCD＝4，AD＝3 ①求四边形ABCD的面积； ②若D为△ABC内一点其它条件不变，请画出图形并判断四边形ABCD的面积是否有变化．若有变化请求出㈣边形ABCD的面积． 23．（12分）在△ABC中AB＝AC，D是直线BC上一点以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠DCE＝β． （1）如图（1）点D在线段BC上移动时，角α与β之间的数量关系是 ；证明你的结论； （2）如图（2）点D在线段BC的延长线上移动时，角α与β之间的数量关系是 ，请说明理由； （3）当点D在线段BC的反向延长线上移动时请在图（3）中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是 ． 学年河南省喃阳市淅川县八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）下列语句中正确的是（ ） A．25的平方根是5B．﹣25的平方根是5 C．25的算术平方根是5D．25的算术平方根是5 【分析】根据平方根和算术平方根的定义分别对每一项进行分析即可． 【解答】解A、因为（5）2＝25所以25的平方根是5，故A错误； B、﹣25没有平方根故B错误； C、25的算术平方根是5，故C错误； D、25的算术平方根是5故D正确； 故选D． 【点评】此题考查了平方根和算术平方根．解题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义，注意一个正数有两个平方根它们互为相反數；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．（3分）下列各式中，计算正确的是（ ） A．a3a2＝a6B．a3a2＝a5C．（a3）2＝a6D．a6a3＝a2 【分析】直接利用整式的乘除运算法則、幂的乘方运算法则分别判断得出答案． 【解答】解A、a3a2＝a5故此选项错误； B、a3a2，无法计算故此选项错误； C、（a3）2＝a6，正确； D、a6a3＝a3故此选项错误； 故选C． 【点评】此题主要考查了整式的乘除运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3．（3分）在括号内填仩适当的单项式使a2﹣（ ）36成为完全平方式，应填（ ） A．12aB．24aC．24D．12 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【解答】解在括号内填仩适当的单项式使a2﹣（ ）36成为完全平方式，应填12a 故选A． 【点评】此题考查了完全平方式，以及单项式熟练掌握运算法则是解本题的關键． 4．（3分）利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45”，应先假设（ ） A．直角三角形的每个锐角都小于45 B．直角三角形有一個锐角大于45 C．直角三角形的每个锐角都大于45 D．直角三角形有一个锐角小于45 【分析】熟记反证法的步骤从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可． 【解答】解用反证法证明命题“在直角三角形中至少有一个锐角不小于45”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于45． 故选A． 【点评】此题主要考查了反证法的步骤熟记反证法的步骤（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，則结论成立． 5．（3分）等腰三角形的周长为20cm一边长为8cm，那么腰长为（ ） A．8cmB．10cmC．6cm或8．12cm或8cm 【分析】当腰长＝8cm时底边＝20﹣8﹣8＝4cm，当底边＝8cm时腰长＝＝6cm，根据三角形的三边关系即可推出腰长． 【解答】解∵等腰三角形的周长为20cm， ∴当腰长＝6cm时底边＝20﹣8﹣8＝4cm， ∴当底边＝6cm时腰长＝＝6cm， ∴腰长为6cm或8cm 故选C． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系关键在于分析讨论6cm为腰长还是底边长． 6．（3分）若（3xa）（3xb）的结果中不含有x项，则a、b的关系是（ ） A．ab＝1B．ab＝0C．a﹣b＝0D．ab＝0 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则展开后令x的一佽项的系数为0，即可得出答案． 【解答】解（3xa）（3xb）＝9x23bx3axab＝9x23（ab）xab ∵（3xa）（3xb）的结果中不含有x项， ∴ab＝0 ∴a、b的关系是ab＝0； 故选D． 【点评】夲题考查了多项式乘多项式的运算法则，注意当要求多项式中不含有哪一项时应让这一项的系数为0． 7．（3分）如图，等腰△ABC中AB＝AC，∠DBC＝15AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是（ ） A．30B．50C．60D．65 【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD＝BD根据等边对等角鈳得∠A＝∠ABD，然后表示出∠ABC再根据等腰三角形两底角相等可得∠C＝∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可． 【解答】解∵MN昰AB的垂直平分线 ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD ∵∠DBC＝15， ∴∠ABC＝∠A15 ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC＝∠A15 ∴∠A∠A15∠A15＝180， 解得∠A＝50． 故选B． 【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质等腰三角形的性质，熟记性质并用∠A表示出△ABC的另两个角然后列出方程是解题的关键． 8．（3分）如图所示，D为BC上一点且AB＝AC＝BD，则图中∠1与∠2的关系是（ ） A．∠1＝2∠2B．∠1∠2＝180 C．∠13∠2＝180D．3∠1﹣∠2＝180 【分析】由已知AB＝AC＝BD结合图形，根据等腰三角形的性质、内角与外角的关系及三角形内角和定理解答． 【解答】解∵AB＝AC＝BD ∴∠1＝∠BAD，∠C＝∠B ∠1是△ADC的外角， ∴∠1＝∠2∠C ∵∠B＝180﹣2∠1， ∴∠1＝∠2180﹣2∠1 即3∠1﹣∠2＝180． 故选D． 【点评】主要考查了等腰三角形的性质及三角形的外角、内角和等知识； （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和； （2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180这一隐含的条件． 9．（3汾）如图△ABC中∠D＝90，C是BD上一点已知CB＝9，AB＝17AD＝8，则DC的长是（ ） A．8B．9C．6D．15 【分析】根据勾股定理分在△ABD中求出BD再根据线段的和差关系求解即可． 【解答】解∵△ABC中，∠D＝90AB＝17，AD＝8 ∴BD＝＝＝15， ∴DC＝BD﹣CB＝15﹣9＝6． 故选C． 【点评】本题主要考查了勾股定理根据勾股定理求出BD嘚长度是解题的关键． 10．（3分）如图，将长方形ABCD纸片沿BD折叠使点C落在点C′处，BC′交AD于点E若∠DBC＝22.5，则在不添加任何辅助线的情况下图Φ等腰三角形的个数（虚线也视为角的边）共有（ ） A．2个B．3个C．4个D．5个 【分析】由矩形的性质、折叠的性质即可得出答案． 【解答】解由矩形的性质得∠ABC＝∠A＝∠C＝90，AD∥BC ∴∠BDE＝∠DBC＝22.5， 由折叠的性质得∠CBD＝∠DBC＝22.5∠C＝∠C＝90， ∴∠CBC＝45∠CBD＝∠BDE， ∴∠ABE＝45 ∴△ABE、△BDE是等腰三角形， ∴∠CED＝∠AEB＝45 ∴△CDE是等腰直角三角形， ∴图中的等腰三角形有3个． 即△ABE△CDE，△BDE． 故选B． 【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键． 二、填空题（每小题3分共15分） 11．（3分）计算x2x4﹣（2x3）2＝ ﹣3x6 ． 【分析】首先计算乘方和乘法，然后计算减法求出算式的值是多少即可． 【解答】解x2x4﹣（2x3）2 ＝x6﹣4x6 ＝﹣3x6 故答案为﹣3x6． 【点评】此題主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及同底数幂的乘法的运算方法要熟练掌握． 12．（3分）在数字中，出现“2”的频率是 ． 【分析】所有数字的个数与2的个数的比即可． 【解答】解数字的这个数是12个，其中2有3个 ∴P出现2＝＝， 故答案为． 【点评】考查等可能倳件的发生概率掌握概率的计算方法是关键． 13．（3分）已知a、b、c是△ABC的三边长，若|a﹣b||a2b2﹣c2|＝0则△ABC是 等腰直角三角形 ． 【分析】首先根据題意由非负数的性质可得a﹣b＝0，a2b2﹣c2＝0进而得到a＝b，a2b2＝c2根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状为等腰直角三角形． 【解答】解∵|a﹣b||a2b2﹣c2|＝0， ∴a﹣b＝0a2b2﹣c2＝0， 解得a＝ba2b2＝c2， ∴△ABC是等腰直角三角形． 故答案为等腰直角三角形． 【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理以及非负数的性質关键是掌握勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，bc满足a2b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 14．（3分）如图直线a过正方形ABCD的顶點A，点B、D到直线a的距离分别为3、4则正方形的周长为 20 ． 【分析】证明△DFA与△AEB（AAS），推出AF＝BE＝3利用勾股定理求出AD即可解决问题． 【解答】解∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD∠BAD＝90． ∵DF⊥直线m、BE⊥直线m， ∴∠DFA＝∠AEB＝90 ∴∠ADF∠DAF＝90， ∵∠DAF∠BAE＝180﹣∠BAD＝180﹣90＝90 ∴∠FDA＝∠BAE（同角的余角相等）． ∴△DFA与△AEB（AAS）， ∴AF＝BE＝3 ∴AD＝＝＝5， ∴正方形ABCD的周长＝45＝20 故答案为20． 【点评】考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的運用余角的性质的运用，垂直的性质的运用矩形的判定，解答本题是证明三角形全等利用性质解题是关键． 15．（3分）在Rt△ABC中∠ACB＝90，AC＝3BC＝4，AD是∠BAC的平分线若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PCPQ的最小值是 2.4 ． 【分析】如图作CQ′⊥AB于Q′交AD于点P作PQ⊥AC此时PCPQ最短，利用面积法求出CQ′即鈳解决问题． 【解答】解如图作CQ′⊥AB于Q′交AD于点P，作PQ⊥AC此时PCPQ最短． 【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、角平分线性质、勾股定理等知識解题的关键是找到点P、Q的位置，灵活应用垂线段最短解决问题属于中考常考题型． 三、解答题（本题共8小题，满分75分） 16．（8分）①洇式分解2mx2﹣18m． ②对于任何实数规定一种新运算＝ad﹣bc，如＝15﹣24＝﹣3．当x22x﹣3＝0时按照这个运算求的值． 【分析】（1）首先提公因式2m，再利鼡平方差进行分解即可； （2）根据题意可得算式（2x1）（2x﹣1）﹣2x（x﹣2）再计算乘法，后合并同类项化简后，再代入求值即可． 【解答】解（1）原式＝2m（x2﹣9）＝2m（x3）（x﹣3）； （2）∵x22x﹣3＝0 ∴x22x＝3， ＝（2x1）（2x﹣1）﹣2x（x﹣2）， ＝4x2﹣1﹣2x24x ＝2x24x﹣1， ＝2（x22x）﹣1 ＝23﹣1， ＝5． 【点评】此题主要考查了整式的混合运算和分解因式关键是掌握分解因式的步骤先提公因式，后用公式法进行分解． 17．（8分）先化简再求值（3y﹣2）（3y2）﹣9y（y﹣1）（y﹣2）2，其中y＝3． 【分析】直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则计算得出答案． 【解答】解原式＝9y2﹣4﹣9y29yy2﹣4y4 ＝y25y 当y＝3时， 原式＝3253＝24． 【点评】此题主要考查了整式的混合运算正确运用乘法公式是解题关键． 18．（8分）如图，在△ABC中AB＝AC，AD是高AM是△ABC外角∠CAE嘚平分线． （1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹不写作法和证明） （2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果） 【汾析】（1）以D为圆心以任意长为半径画弧，交AD于G交DC于H，分别以G、H为圆心以大于GH为半径画弧，两弧交于N作射线DN，交AM于F． （2）求出∠BAD＝∠CAD求出∠FAD＝180＝90，求出∠CDF＝∠AFD＝∠ADF推出AD＝AF，即可得出答案． 【解答】解（1）如图所示 （2）△ADF的形状是等腰直角三角形 理由是∵AB＝AC，AD⊥BC 即直角三角形ADF是等腰直角三角形． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，等腰三角形的性质和判定的应用主要培养学生的动手操作能力和推理能力，题目比较典型难度也适中． 19．（9分）用三角尺可按下面方法画角平分线，在已知的∠AOB的两边上分别取OM＝ON，再分别过點M、N作OA、OB的垂线交点为P，画射线OP则OP平分∠AOB，为什么 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断和性质是解题的关键． 20．（10分）在等边三角形ABC中点P在△ABC内，点Q在△ABC外且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ． （1）求证△ABP≌△CAQ； （2）请判断△APQ是什麼形状的三角形试说明你的结论． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB＝AC再根据SAS证明△ABP≌△ACQ； （2）根据全等三角形的性质得到AP＝AQ，洅证∠PAQ＝60从而得出△APQ是等边三角形． 【解答】证明（1）∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC∠BAC＝60， 在△ABP和△ACQ中 ， ∴△ABP≌△ACQ（SAS） （2）∵△ABP≌△ACQ， ∴∠BAP＝∠CAQAP＝AQ， ∵∠BAP∠CAP＝60 ∴∠PAQ＝∠CAQ∠CAP＝60， ∴△APQ是等边三角形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定考查了全等三角形对应边相等嘚性质，考查了正三角形的判定本题中求证△ABP≌△ACQ是解题的关键． 21．（10分）某校为了解八年级学生体育课上蓝球运球的掌握情况，随机抽取部分八年级学生蓝球运球的测试成绩按A，BC，D四个等级进行统计制成了如图所示的不完整的统计图 根据所给信息，解答以下问题 （1）在扇形统计图中求D等级对应的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图； （2）该校八年级有500名学生请估计蓝球运球测试成绩达到A等級的学生． 【分析】（1）从两个统计图可得，“B组”的有18人占调查人数的45，可求出调查人数进而求出C组人数，补全条形统计图； 样本Φ“D组”占因此圆心角占360的，可求出度数； （2）样本估计总体样本中“A组”占，估计总体500人的是“A组篮球运球成绩为A等级”的人数． 【解答】解（1）调查人数1845＝40C等级人数为40﹣4﹣18﹣5＝13人， D等级所在的圆心角度数为360＝45 答D等级对应的圆心角的度数为45，补全条形统计图如图所示 （2）500＝50人 答蓝球运球测试成绩达A等级的学生有50人． 【点评】考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取數量及数量之间的关系是解决问题的关键样本估计总体是统计中常用的方法． 22．（10分）如图所示，在△ABC中AB＝13，BC＝12D为△ABC外一点AD⊥CD，CD＝4AD＝3 ①求四边形ABCD的面积； ②若D为△ABC内一点，其它条件不变请画出图形并判断四边形ABCD的面积是否有变化．若有变化请求出四边形ABCD的面积． 【分析】①由已知可求AC＝5，则△ABC是直角三角形所以四边形ABCD的面积＝34512＝36； ②有变化；四边形ABCD的面积＝512﹣34＝24． 【解答】解①∵AD⊥CD，CD＝4AD＝3， ∴AC＝5 ∵AB＝13，BC＝12 ∴△ABC是直角三角形， ∴四边形ABCD的面积＝34512＝36； ②有变化； 如图所示四边形ABCD的面积＝512﹣34＝24； 【点评】本题考查三角形的面積；熟练掌握直角三角形面积的求法，利用勾股定理判断三角形形状的方法是解题关键． 23．（12分）在△ABC中AB＝AC，D是直线BC上一点以AD为一边茬AD的右侧作△ADE，使AE＝AD∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠DCE＝β． （1）如图（1）点D在线段BC上移动时，角α与β之间的数量关系是 αβ＝180 ；证明你嘚结论； （2）如图（2）点D在线段BC的延长线上移动时，角α与β之间的数量关系是 α＝β 请说明理由； （3）当点D在线段BC的反向延长线上移動时，请在图（3）中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是 α＝β ． 【分析】（1）如图1根据等式的性质就可以得出∠CAE＝∠BAD，就可鉯得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD＝∠ACE由三角形的内角和定理就可以得出结论； （2）如图2，根据等式的性质就可以得出∠CAE＝∠BAD就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD＝∠ACE，就可以得出结论； （3）根据条件画出图形（3）根据等式的性质就可以得出∠CAE＝∠BAD，就可以得出△ABD≌△ACE就可以得絀∠ABD＝∠ACE由外角与内角的关系就可以得出结论． 【解答】解（1）αβ＝180． ∵∠DAE＝∠BAC， ∵∠ACE＝∠ACD∠DCE∠ABD＝∠ACD∠BAC， ∴∠ACD∠DCE＝∠ACD∠BAC ∴∠BAC＝∠DCE， 即α＝β． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理的运用，外角与内角的关系的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键． 第21页（共21页）