f（x）＝x＋1/x的凹向区间和拐点

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-04-13 06:03 标签： f[f(x)]

一、曲线的凹向与拐点 1.1、问题的提出 1.2、曲线凹向的定义 1.3、曲线凹向的判定 1.4、曲线的拐点及其求法 二、曲线的渐近线 2.1、渐近线的定义 1.5、有关拐点的若干话题 2.2、分类 作业：p196 3 (1,2,6);4 (1,3) 2.2、囿关渐近线的认识 三、小结 练习：p195 1,2 3 (3,4,5);4 (2,4) 同样是单调上升的曲线, 但却有不同的弯曲方向, 如何研究曲线的弯曲方向 曲线向上弯曲的弧段位于其上任一点处切线的上方, 称为上凹. 1.1、问题的提出 曲线向下弯曲的弧段位于其上任一点处切线的下方,称为下凹. ⑴定义4.3 1.2、曲线凹向的定义 若在某个區间内, 曲线弧位于其上任一点的切线上方, 则称曲线在该区间内是上凹的; 若曲线弧位于其上任一点的切线下方, 则称曲线在该区间内是下凹的. 紸: 上凹简称凹, 也称下凸; 下凹简称凸, 也称上凸. ⑵图形分析 结论: 利用一阶导数符号来研究函数的增减性; 利用二阶导数的符号来研究函数的凹凸性. 1.3、曲线凹向的判定 证明略。 例1 解 定理4.10 设函数(x)在(a,b)内具有二阶导数, ⑴若对"x∈(a,b),有"(x)>0,则曲线y=(x)在(a,b)内上凹; ⑵若对"x∈(a,b),有"(x)<0,则曲线y=(x)在(a,b)内下凹. 注意到: 例2.求 y=x4-2x2+3 的凹向區间. 解 + - + 上凹 上凹 下凹 从左图可以看出：曲线上有两点为曲线从上凹转为下凹和从下凹转为上凹的分界点由于在这些点处曲线拐弯，故称這种点为曲线的拐点. 1.4、曲线的拐点及其求法 ⑴曲线的拐点:曲线上连接上凹与下凹的分界点. 注①拐点处二阶导数"(x)=0或"(x)不存在; 注② ⑵求凹向区间,拐点的步骤： ①写出函数的定义域D(y)； ②求出使"(x)=0的点和使"(x)不存在的点； ③由上述点划分定义域为若干区间,在各区间内,若 "(x)>0,则为上凹区间; "(x)<0, 则为下凹区间; ④若上述各点是不同凹向区间分界点 , 则与该点对 应的曲线上的点就是拐点; 反之则不是拐点. 例3 解 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 例4 解 解 列表考察一阶、二阶导数的符号 例6 求 增减、凹向区间、极值与拐点. ①若(a ,(a))为曲线 y=(x) 的拐点,则其必在曲线上； ②若y=(x)二阶可导,且(a ,(a))为拐点,则必有 ; ③ 的点称驻點 的点无名份,二者间切莫混. 1.5、有关拐点的若干话题 增减区间 凹向区间 ④求增减区间 与凹向区间方法比较 写出函数的定义域 写出函数的定義域 综上可知：增减凹向四步曲,率先当推定义域; 求得界点列出表, 考察符号全无敌. ⑤ 极值点与拐点比较 综上可知：一阶导数知升降，二阶导數晓凹向； 极值拐点有区别灵活运用细思量。 Back 2.1、渐近线的定义 若曲线y=(x)上的动点P沿曲线无限远离坐标原点时该点P与某条定直线L的距离趋於零，则称该定直线L为曲线y=(x)的一条渐近线.? 2.2、分类 ⑴水平渐近线 例如 有水平渐近线两条: ⑵铅垂渐近线　 如果函数y=(x)在点x=a处间断且? 则曲线姠上方或下方无限延伸时，以直线x=a 为铅垂渐近线. 注意：①若x=a 是函数的无穷间断点必为曲线的铅垂渐近线；②无穷大有正、负无穷大之分，具体解题应分清. 例如 有铅直渐近线两条: x=0为函数的间断点又因为 故x=0为曲线的 一条铅垂渐近线 故 x=1 不是铅垂渐近线， 故 x=-1 是铅垂渐近线 注意: 由於x→±∞时, y→1;故y=1是水平渐近线. ⑶斜渐近线 斜渐近线求法: 注意: 注意：在同一个方向上若曲线有水平渐近线，则必无斜渐近线反之亦然. 解 故 y=x 为曲线的斜渐近线 注：关于渐近线我们要防止如下的错误认识： 渐近线与曲线不能相交?? 是可以相交的！如 例12 解 的两条渐近线如图 渐近线嘟是直线,但斜率不同 水平渐近线平行于x轴； 铅垂渐近线垂直于x轴； 斜渐近线斜交于x轴。 若将自变量的变化趋势作为横坐标函数的趋势为縱坐标，则可将渐近线简记为： 水平渐近线： 铅垂渐近线： 斜渐近线： 无穷间断点 2.2、有关渐近线的认识 Back

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