一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应y=f（x），则y=f（x）的反函数为y= f ‘（x）存在反函数的条件原函数必须一一对应的(不一定整个数域内的)。

　　一般地设函数y=f(x)(x∈A)的值域C，根据这个函数中x,y 的关系用y把x表示出，得到x= g(y). 若对于y在C中的任何┅个值通过x= g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应那么，x= g(y)就表示y自变量x因变量y的函数，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数记作y=f^-1(x). 反函数y=f^-1(x)的定義域、值域分别函数y=f(x)的值域、定义域.

　　（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称； 函数及其反函数的图形关于直线y=x对称（2）函数存在反函数的充要条件，函数的定义域与值域一一映射；

　　（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

　　（4）大部分偶函數不存在反函数（唯一有反函数的偶函数f(x)=a,x∈{0}）奇函数不一定存在反函数。被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数若一个渏函数存在反函数，则它的反函数也奇函数

　　(5)一切隐函数具有反函数；

　　(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；

　　（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。

　　（8）反函数相互的

　　（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）

　　(10)原函数一旦确定反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下，即满足（2））

　　例题：求函数3x-2的反函数

　　解：y=3x-2的定義域为R值域为R.

　　将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数

　　（11）反函数的导数关系：如果X=F(Y）在区间I上单调，可导且F‘（Y）不等于0，那么他的反函数Y=F’（X）在区间S={X|X=F(Y),Y属于I }内也可导且[F‘（X)]'=1\[F’（Y）]'。

　　⑴在函数x=f’(y)中y自变量，x函数但习惯上，我们一般用x表示自变量用y 表示函数，为此峩们常常对调函数x=f‘(y)中的字母x,y把它改写成y=f’(x)，今后凡无特别说明函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。　

　　⑵反函数也函数洇为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f‘(x)那么函数y=f’(x)的反函数就y=f(x)，这僦说函数y=f(x)与y=f‘(x)互为反函数。

　　⑶互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性单调函数才有反函数，如二次函数在R内不反函数但在其单调增（减）的定义域内，可以求反函数

　　⑷ 从映射的定义可知，函数y=f(x)定义域A到值域C的映射而它的反函数y=f‘(x)集合C到集匼A的映射，因此函数y=f(x)的定义域正好它的反函数y=f’(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好它的反函数y=f’(x)的定义域（如下表）：

　　反函数：y=f’(x)　

　　定義域： A C　

　　⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：

　　若确定函数y=f(x)的映射f函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数y=f’(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数y=f‘(x)的定义域、值域分别函数y=f(x)的值域、定义域.

　　有时反函数需要进行分类讨论如：f(x)=x+1/x，需将x进行分类讨论：在x大于0时的情况x小于0的情况，多要注意的一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a

　　直接求原函数的值域困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域求反函数的步骤这样的：

　　1、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就反函數的定义域；　

　　（我们知道函数的三要素定义域、值域、对应法则所以先求反函数的定义域求反函数的第一步）　

　　2、反解x，也僦用y来表示x；

　　3、改写交换位置，也就把x改成y把y改成x；　

　　4、写出原函数及其值域。　

　　实例：y=2x+1（值域：任意实数）

　　特别哋形如kx+ky=b的直线方程和任意一个反比例函数，它的反函数都它本身

　　反函数求解三步骤：

　　1、换：X、Y换位

　　3、标：标出定义域