（2009o崇文区一模）如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA．
（I）求抛物线的解析式；
（II）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（III）直线交y轴于D点，E为抛物线顶点．若∠DBC=α，∠CBE=β，求α-β的值．
（1）易得点C坐标，根据OB=OC=3OA可得点A，B坐标．代入二次函数解析式即可．
（2）点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形，那么应分点P，A，C三个顶点为直角顶点三种情况进行探讨．
（3）可求得E，D坐标，得到△BCE的形状，进而可把∠CBE转移为∠DBO，求解．
解：（I）抛物线y=ax2+bx-3与y轴交于点C（0，-3），
∵OB=OC=3OA，
∴A（-1，0），B（3，0），代入y=ax2+bx-3，
∴y=x2-2x-3．
（II）①当∠P1AC=90°时，可证△P1AO∽△ACO，
∴Rt△P1AO中，tan∠P1AO=tan∠ACO=，
②同理：如图当∠P2CA=90°时，P2（9，0）
③当∠CP3A=90°时，P3（0，0），
综上，坐标轴上存在三个点P，
使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形，
分别是P1（0，），P2（9，0），P3（0，0）．
（III）由y=-x+1，得D（0，1）
由y=x2-2x-3得到顶点E（1，-4），
∴BC=3，CE=，BE=2，
∵BC2+CE2=BE2，
∴△BCE为直角三角形．
又∵Rt△DOB中tan∠DBO=．
∴∠DBO=∠β，
∠α-∠β=∠α-∠DBO=∠OBC=45度．（2012o郴州）阅读下列材料：&&& 我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，而y=kx+b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax+Bx+C=0（A、B、C是常数，且A、B不同时为0）．如图1，点P（m，n）到直线l：Ax+By+C=0的距离（d）计算公式是：d=2+B2．&&& 例：求点P（1，2）到直线y=x-的距离d时，先将y=化为5x-12y-2=0，再由上述距离公式求得d=2+(-12)2=．&&& 解答下列问题：&&& 如图2，已知直线y=-与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=x2-4x+5上的一点M（3，2）．&&& （1）求点M到直线AB的距离．&&& （2）抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标及△PAB面积的最小值；若不存在，请说明理由．
（1）将直线AB的解析式y=-x-4转化为直线的另一种表达方式4x+3y+12=0，由阅读材料中提供的点到直线的距离公式，即可求出M点到直线AB的距离；（2）假设抛物线上存在点P，使得△PAB的面积最小，设P坐标为（a，a2-4a+5），然后利用点到直线的距离公式表示出P点到直线AB的距离d，由二次函数y=3a2-8a+27中根的判别式小于0，得到此二次函数与x轴没有交点且开口向上，得到函数值恒大于0，根据正数的绝对值等于它本身进行化简，然后根据二次函数求最值的方法求出y=3a2-8a+27的最小值，以及此时a的值，进而确定出d的最小值以及此时P的坐标，再由直线AB的解析式，令x=0和y=0求出对应的y与x的值，确定出OA与OB的长，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的长，由底AB乘以高d的最小值除以2，即可得出△PAB面积的最小值．
解：（1）将直线AB变为：4x+3y+12=0，又M（3，2），则点M到直线AB的距离d=2+32=6；（2）假设抛物线上存在点P，使得△PAB的面积最小，设P坐标为（a，a2-4a+5），∵y=3a2-8a+27中，△=64-12×27=-260＜0，∴y=3a2-8a+27中函数值恒大于0，∴点M到直线AB的距离d=2-4a+5)+12|42+32=2-8a+275，又函数y=3a2-8a+27，当a=时，ymin=，∴dmin==，此时P坐标为（，）；又y=-x-4，令x=0求出y=-4，令y=0求出x=-3，∴OA=3，OB=4，∴在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB=2+42=5，∴S△PAB的最小值为×5×=．如图，抛物线y=ax2+bx-3，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， 且OB=OC=3OA。（1）求抛物线的解析式；（2）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；（3）直线y=-x+1交y轴于D点，E为抛物线顶点，若∠DBC=α，∠CBE=β，求α-β的值。 
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跟谁学学生版:genshuixue_student精品好课等你领在线咨询下载客户端关注微信公众号&&&分类：如图，抛物线y=ax2+bx-3，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， 且OB=OC=3OA。（1）求抛物线的解析式；（2）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；（3）直线y=-x+1交y轴于D点，E为抛物线顶点，若∠DBC=α，∠CBE=β，求α-β的值。 
如图，抛物线y=ax2+bx-3，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， 且OB=OC=3OA。（1）求抛物线的解析式；（2）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；（3）直线y=-x+1交y轴于D点，E为抛物线顶点，若∠DBC=α，∠CBE=β，求α-β的值。 
科目:最佳答案解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-3与y轴交C点（0，-3），且OB=OC=3OA， ∴A（-1，0），B（3，0），代人y= ax2+bx-3，得解得a=1，b=-2，∴y=x2-2x-3； （2）①当∠P1AC=90°可证△P1AO∽△ACO，∴Rt△P1AO中，tan ∠P1AO=tan∠ACO=，P1（0，）， ②同理：如图，当∠P2CA=90°时，P2（9，0）， ③当∠CP3A=90°时，P3（0，0），综上，坐标轴上存在三个点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形，分别是 P1（0，），P2（9，0），P3（0，0）；
（3）由y=-x+1，得D（0，1）， 由y=x2-2x -3，得顶点 E（1，-4），∴∵BC2+CE2=BE2∴△BCE为直角三角形， ∴tanβ=CE/CB=， 又∵Rt△DOB中，tan∠DBO=OD/OB=，∴∠DBO=∠β，∴∠α-∠β=∠α-∠DBO=∠OBC=45°。解析
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已知：直线l：y=-2，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0，-1），（2，0）． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO=PQ． （3）请你参考（2）中结论解决下列问题： （i）如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线y=ax2+bx+c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、OM，求证：ON⊥OM． （ii）已知：如图③，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．　&
本题难度：
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“已知：直线l：y=-2，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0，-1），（2，0）． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO...”的分析与解答如下所示：
（1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，就可以得出-
=0，由待定系数法求可以求出抛物线的解析式； （2）由（1）设出P的坐标，由勾股定理就可以求出PE和PQ的值而得出结论； （3）①由（2）的结论就可以得出BO=BN，AO=AM，由三角形的内角和定理记平行线的性质就可以求出∠MON=90°而得出结论； ②如图③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交抛物线与F，作F′E⊥DG于E，由（2）的结论根据矩形的性质可以得出结论．
解：（1）由题意，得
， ∴抛物线的解析式为：y=
（2）如图①，设P（a，
a2-1），则OE=a，PE=
a2-1， ∵PQ⊥l， ∴EQ=2， ∴QP=
a2+1． 在Rt△POE中，由勾股定理，得 PO=
a2+1， ∴PO=PQ；
（3）①如图②，∵BN⊥l，AM⊥l， ∴BN=BO，AM=AO，BN∥AM， ∴∠BNO=∠BON，∠AOM=∠AMO，∠ABN+∠BAM=180°． ∵∠BNO+∠BON+∠NBO=180°，∠AOM+∠AMO+∠OAM=180°， ∴∠BNO+∠BON+∠NBO+∠AOM+∠AMO+∠OAM=360° ∴2∠BON+2∠AOM=180°， ∴∠BON+∠AOM=90°， ∴∠MON=90°， ∴ON⊥OM； ②如图③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交抛物线与F，作F′E⊥DG于E， ∴∠EGH=∠GHF′=∠F′EG=90°，FO=FG，F′H=F′O， ∴四边形GHF′E是矩形，FO+FD=FG+FD=DG，F′O+F′D=F′H+F′D ∴EG=F′H， ∴DE＜DF′， ∴DE+GE＜HF′+DF′， ∴DG＜F′O+DF′， ∴FO+FD＜F′O+DF′， ∴F是所求作的点． ∵D（1，1）， ∴F的横坐标为1， ∴F（1，
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已知：直线l：y=-2，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0，-1），（2，0）． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，...
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经过分析，习题“已知：直线l：y=-2，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0，-1），（2，0）． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO...”主要考察你对“26.3 实际问题与二次函数”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
26.3 实际问题与二次函数
与“已知：直线l：y=-2，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0，-1），（2，0）． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO...”相似的题目：
阅读：如图（1），正方形ABCD的边AB在x轴上，C、D在抛物线y=-x（x-2）的图象上，我们称正方形ABCD内接于抛物线y=-x（x-2）．抛物线y=-x（x-2）的对称轴交x轴于点M，设正方形ABCD的边长为a1，那么a1满足哪个二元一次方程呢？由对称性可知M是AB的中点，则AM=
a1，AD=a1．易知OM=1，所以OA=1-
a1，所以D点坐标为(1-
a1，a1)，代入抛物线解析式并化简可知a1满足二元一次方程(
)2a12+a1-1=0；根据以上材料探索：（第（1）小题要求写出过程，其它两小题只要写出答案，不必要过程） （1）如图（2），若并排两个正方形内接于抛物线y=-x（x-2），则每个正方形的边长a2满足的二元一次方程是&&&&； （2）如图（3），若并排三个正方形内接于抛物线y=-x（x-2），则每个正方形的边长a3满足的二元一次方程是&&&&； （3）如图（4），若并排n个正方形内接于抛物线y=-x（x-2），则每个正方形的边长an满足的二元一次方程是&&&&；
如图，某中学生推铅球，铅球在点A处出手，在点B处落地，它的运行路线满足y=-112x2+23x+53，则这个学生推铅球的成绩是&&&&米．
已知二次函数y=ax2-2ax-3a（a＞0）． （1）求此二次函数图象与x轴交点A、B（A在B的左边）的坐标； （2）若此二次函数图象与y轴交于点C、且△AOC∽△COB（字母依次对应）． ①求a的值； ②求此时函数图象上关于原点中心对称的两个点的坐标．&&&&
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