大眼睛会动的硬圆丁真“伸缩变换不是教材4-4上有的吗？”是的，选修4-2矩阵与变换，选修4-4极坐标与参数方程，都有提到坐标伸缩变换，您写的过程的逻辑也很流畅，不过，您觉得您的答卷上小小的一片区域是否可以容得下仿射变换前后两条直线的平行性是仿射不变性以及仿射变换前后两个图形的面积比是仿射不变性这两个结论的证明过程吗？当然对于单纯的伸缩变换来说，三角形的仿射前后的面积比还好证一点，但要写的东西也不少，而且就算证了任何改卷老师都可能不给你分，所以我的建议不要在大题上仿射。仿射变换前后两条直线的平行性是仿射不变性证：设仿射变换前 xOy 平面上两条平行直线的方程为： \begin{cases}l_1:mx+ny+p=0\\l_2:mx+ny+q=0\end{cases} ，在仿射变换 \psi:\begin{cases}u=ax+by+e\\v=cx+dy+f\end{cases} （其中 a,b,c,d 满足 \begin{vmatrix}a\ \ b\\c\ \ d\end{vmatrix}=ad-bc\ne0 ）的作用下，即 \psi^{-1}=\begin{cases}x=\frac1{ad-bc}[d·u-b·v+(bf-de)]\\y=\frac{-1}{ad-bc}[c·u-a·v+(af-ce)]\end{cases} 。变为 uOv 平面上的两条直线 l_1',l_2' ，则 u,v 的一次项的系数仍然相同： \begin{cases}u:\frac{dm-cn}{ad-bc}\\v:\frac{an-bm}{ad-bc}\end{cases} ，故仿射变换前后两条直线的平行性不变。仿射变换前后两个图形的面积比是仿射不变性三角形证：主要利用线性代数。在 xOy 平面上以 (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3) 三点为顶点的三角形 \triangle 的面积公式： \begin{aligned}S_\triangle&=\frac12\left|\left|\begin{array}{cccc}1&1&1\\x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\\\end{array}\right|\right|\\&=\frac12|x_1y_2-x_1y_3+x_2y_3-x_2y_1+x_3y_1-x_3y_2|\end{aligned}\\ ，上面是一个教材里没有的超纲公式，当然高中课内知识也可以将它证出来，但过程也不少。在仿射变换 \psi:\begin{cases}u=ax+by+e\\v=cx+dy+f\end{cases} （其中 a,b,c,d 满足 \begin{vmatrix}a\ \ b\\c\ \ d\end{vmatrix}=ad-bc\ne0 ）的作用下，即 \psi^{-1}=\begin{cases}x=\frac1{ad-bc}[d·u-b·v+(bf-de)]\\y=\frac{-1}{ad-bc}[c·u-a·v+(af-ce)]\end{cases} 。三角形变为 uOv 平面上的三角形 \triangle' ，三角形面积变为：\begin{aligned} S_{\triangle'}=& \frac12\left|\left|\begin{array}{cccc}1&1&1\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\\\end{array}\right|\right|\\=& \frac12\left|\left|\begin{array}{cccc}1&1&1\\ax_1+by_1+e&ax_2+by_2+e&ax_3+by_3+e\\cx_1+dy_1+f&cx_2+dy_2+f&cx_3+dy_3+f\\\end{array}\right|\right|\\ \xlongequal[r_3-fr_1]{r_2-er_1}& \frac12\left|\left|\begin{array}{cccc}1&1&1\\ax_1+by_1&ax_2+by_2&ax_3+by_3\\cx_1+dy_1&cx_2+dy_2&cx_3+dy_3\\\end{array}\right|\right|\\=& \frac12\left|\left(a\left|\begin{array}{cccc}1&1&1\\x_1&x_2&x_3\\cx_1+dy_1&cx_2+dy_2&cx_3+dy_3\\\end{array}\right.\right|\right.\\&+\left.\left.b\left|\begin{array}{cccc}1&1&1\\y_1&y_2&y_3\\cx_1+dy_1&cx_2+dy_2&cx_3+dy_3\\\end{array}\right|\right)\right|\\=& \frac12\left|\left(ac\left|\begin{array}{cccc}1&1&1\\x_1&x_2&x_3\\x_1&x_2&x_3\\\end{array}\right.\right|\right.+ad\left|\begin{array}{cccc}1&1&1\\x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\\\end{array}\right|\\&+bc\left|\begin{array}{cccc}1&1&1\\y_1&y_2&y_3\\x_1&x_2&x_3\\\end{array}\right|+\left.\left.bd\left|\begin{array}{cccc}1&1&1\\y_1&y_2&y_3\\y_1&y_2&y_3\\\end{array}\right|\right)\right|\\=&
ad-bc|·\frac12\left|\left|\begin{array}{cccc}1&1&1\\x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\\\end{array}\right|\right|\\=&
ad-bc|·S_\triangle \end{aligned}\\
，上面这一串应该是我写过的最长的 \LaTeX 公式了。\begin{aligned}
S_{\triangle'}=&
\frac12\left|\left|\begin{array}{cccc}1&1&1\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\\\end{array}\right|\right|\\=&
\frac12\left|\left|\begin{array}{cccc}1&1&1\\ax_1+by_1+e&ax_2+by_2+e&ax_3+by_3+e\\cx_1+dy_1+f&cx_2+dy_2+f&cx_3+dy_3+f\\\end{array}\right|\right|\\
\xlongequal[r_3-fr_1]{r_2-er_1}&
\frac12\left|\left|\begin{array}{cccc}1&1&1\\ax_1+by_1&ax_2+by_2&ax_3+by_3\\cx_1+dy_1&cx_2+dy_2&cx_3+dy_3\\\end{array}\right|\right|\\=&
\frac12\left|\left(a\left|\begin{array}{cccc}1&1&1\\x_1&x_2&x_3\\cx_1+dy_1&cx_2+dy_2&cx_3+dy_3\\\end{array}\right.\right|\right.\\&+\left.\left.b\left|\begin{array}{cccc}1&1&1\\y_1&y_2&y_3\\cx_1+dy_1&cx_2+dy_2&cx_3+dy_3\\\end{array}\right|\right)\right|\\=&
\frac12\left|\left(ac\left|\begin{array}{cccc}1&1&1\\x_1&x_2&x_3\\x_1&x_2&x_3\\\end{array}\right.\right|\right.+ad\left|\begin{array}{cccc}1&1&1\\x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\\\end{array}\right|\\&+bc\left|\begin{array}{cccc}1&1&1\\y_1&y_2&y_3\\x_1&x_2&x_3\\\end{array}\right|+\left.\left.bd\left|\begin{array}{cccc}1&1&1\\y_1&y_2&y_3\\y_1&y_2&y_3\\\end{array}\right|\right)\right|\\=&
ad-bc|·\frac12\left|\left|\begin{array}{cccc}1&1&1\\x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\\\end{array}\right|\right|\\=&
ad-bc|·S_\triangle
\end{aligned}\\即仿射变换前后两个三角形的面积比为仿射变换的系数行列式的绝对值\left|\begin{vmatrix}a\ \ b\\c\ \ d\end{vmatrix}\right|=|ad-bc
。一般情形证：主要利用微积分。由二重积分的几何意义： \iint\limits_D1·\text{d}x\text{d}y 为所求 xOy 平面上的闭区域 D 的面积，作仿射变换： \psi:\begin{cases}u=ax+by+e\\v=cx+dy+f\end{cases} （其中 a,b,c,d 满足 \begin{vmatrix}a\ \ b\\c\ \ d\end{vmatrix}=ad-bc\ne0 ），将 xOy 平面上的闭区域 D 变换为 uOv 平面上的闭区域 D' ，有偏导数： \begin{cases}\frac{\partial u}{\partial x}=a\ \ \ \ \ \frac{\partial u}{\partial y}=b\\\frac{\partial v}{\partial x}=c\ \ \ \ \ \frac{\partial v}{\partial y}=d\end{cases} ，又有 Jacobian 行列式： \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\begin{vmatrix}\frac{\partial u}{\partial x}\ \ \ \ \ \frac{\partial u}{\partial y}\\\frac{\partial v}{\partial x}\ \ \ \ \ \frac{\partial v}{\partial y}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a\ \ b\\c\ \ d\end{vmatrix}=ad-bc\ne0 ，所以由二重积分换元公式： \iint\limits_{D'}f(u,v)\text{d}u\text{d}v=\iint\limits_Df[u(x,y),v(x,y)]·\left|\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right|\text{d}x\text{d}y ，单单就上面这个二重积分换元公式，各类教材上的证明都是两页以上的，您觉得您能写得下答题卡吗？我们有： \iint\limits_{D'}1·\text{d}u\text{d}v=\iint\limits_D1·|ad-bc|\text{d}x\text{d}y=|ad-bc|·\iint\limits_D1·\text{d}x\text{d}y ，转化为几何意义即： S_{D'}=|ad-bc|·S_D\Rightarrow \frac{S_{D'}}{S_D}=|ad-bc
，即仿射变换前后两个图形的面积比为仿射变换的系数行列式的绝对值 \left|\begin{vmatrix}a\ \ b\\c\ \ d\end{vmatrix}\right|=|ad-bc
。高中的解析几何大题就是为了在有限的时间里区分算力和方法的，好一点的题目，有的学生能在合法的考纲范围内找出计算量更小的方法来缩短时间。正常的圆锥曲线题目，如果有充足的时间的话终究是能算出来的，不过有些浙江题没找到好的方法而且算力不够的话，可能解不出来。区分度就在解题所用的方法（比如圆锥曲线的双曲线小题，一般来说用几何法都比硬算法快得多，但是比较考验思维的灵活度）即解题所花的时间上。仿射只适合用来秒杀小题（碰到能用上仿射的小题的几率也不高），以及大题算个答案拿下两分答案分，与仿射解题有关的性质证明起来都要花一些篇幅，即使严谨地证明了改卷老师大概率也不会给你分。您应该感谢您的老师只给你两分，让您在高考之前就吸收教训，知道这种奇技淫巧是不能搬上答卷的，不至于在高考的时候，像个愣头青一样，直接就“这道大题直接仿射秒杀”，等丢了 \color{yellow}{\boxed{\color{green}{\boxed{\color{blue}{\boxed{\color{indigo}{\boxed{\color{violet}{\boxed{\Huge{\color{red}6}}}}}}}}}}} 分，与心仪的大学擦肩而过，后悔莫及。小眼睛会动的硬圆丁真总结当然，我没有质疑您这种有去了解课外知识而不局限于课内的精神，而且也十分支持，当然是建立在所有科目成绩均衡不偏科，有额外的时间和精力的情况下，如果是高三要临近高考的话那还是稳扎稳打地把各科知识记牢吧。但是能分清什么能写上答卷，什么是禁忌，是在学习这些知识前面更应该先了解的东西。老师不和您讲您问的一些奇奇怪怪的问题，很可能只是希望您能稳稳当当地去答题，避开这些禁忌雷区，而您问的这些问题是不是“雷区”，最好先在互联网上看能不能找到答案。如果老师确实教的很差，还不给学生答疑，那就只能看您自己的本领喽（换老师/自学成才）。要是高三的话就想开点吧，没必要在这里多花时间了。拓展要是想多了解一些高中数学课外知识方法的话，不妨看看 @择梦舟 @热爱代数的好学生 @杨雨露 @闲敲棋子落灯hua @DreamingDreamer
这几位知友的文章回答。这里推荐一位用心创作的知友 @择梦舟 的群聊：\small\boxed{\mathbf{彩蛋}：\\ 筹备群聊啦，感兴趣的可以加入组织鸭~\\ 群号:839481146\\ 初生的幼苗 ，需要你我共同呵护。}\\参考文献