如图，已知点M， N所在求过某点且与直线垂直的平面方程垂直于AB，求平面方程。

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2024-04-04 14:01 标签： 求过某点且与直线垂直的平面方程
设一平面垂直于平面z=0并通过从点(1,-1,1)到直线\left\{
\begin{array}{ll}
y-z+1=0 \\
x=0,
\end{array}
\right. 的垂线，求此平面的方程. 解法一： 已经知道过点(1,-1,1)，再求出一个法方向即可.平面垂直z=0，也即平面平行z轴，也即平行向量(0,0,1).直线的一个方向向量为
(0,1,-1)\times(1,0,0)=(0,-1,-1). \\直线上取一个点(0,0,1). 即直线的对称式方程为
y=z-1,x=0. \\用上面点到线的投影的方法，可知点(1,-1,1)在直线\left\{
\begin{array}{ll}
x-z+1=0, \\
x=0
\end{array}
\right. \\上的垂足.
t=-\frac{0(0-1)+(-1)(0-(-1))+(-1)(1-1)}{2}=\frac{1}{2}. \\故垂足为
(0,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}). \\因此平面平行向量
(1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}). \\因此，平面的一个法方向为
(1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2})\times(0,0,1)=(-\frac{1}{2},-1,0). \\也可取
(1,2,0). \\故平面的点向式方程为
1(x-1)+2(y+1)=0, \\也即x+2y+1=0.解法二： 因为平面平行z轴，故设平面的一般方程为
Ax+By+D=0. \\注意到平面过两个点点(1,-1,1)，故A-B+D=0.垂足(0,-\frac{1}{2},\frac{1}{2})，故-\frac{B}{2}+D=0.因此
B=2D,A=D. \\故平面的方程为
x+2y+1=0. \\解法三： 假设(x,y,z)为平面上任意一点，则以下三向量共面平面平行于z轴，故平面平行(0,0,1).点(1,-1,1)在平面内，故平面平行于(x-1,y+1,z-1) 向量.垂足(0,-\frac{1}{2},\frac{1}{2})在平面内，故平面平行于(x,y+\frac{1}{2},z-\frac{1}{2})向量.三向量共面当且仅当混合积（未讲）为0，也即
\left
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
x-1 & y+1 & z-1 \\
x & y+\frac{1}{2} & z-\frac{1}{2} \\
\end{array}
\right|=0, \\化简得x+2y+1=0.

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