等价无穷小替换的误区加个负号还成立吗？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2024-03-12 08:15 标签： 等价无穷小替换的误区
近期在答疑的过程中，发现大家问得最多的一个问题是：为什么这里不能直接带值？而这里又可以呢？（带值问题）为什么这里不能等价无穷小替换？而这里又可以呢？（无穷小替换问题）诸如此类的问题的确是极限中一大难点。其实，这样的问题都是由于不清楚或没有正确使用极限的运算法则导致的。我们先来回顾一下极限运算法则：当我们遇到比较复杂的极限，希望先求出某部分或在某部分用等价无穷小替换时，必须遵守以上法则。涉及极限的问题，主要可以分为以下几种，大家必须熟悉：①存在+存在=存在②存在×存在=存在③不存在+不存在=不一定（未定式 ∞-∞）④存在+不存在=不存在⑤不存在×不存在=不一定⑥存在（非0）×不存在=不存在⑦存在（且为0）×不存在=不一定（未定式 0×无穷）而在考试的极限题目中，我们知道极限肯定是存在的，因此只会出现①②③⑤⑦四种情形。针对这几种情形，现在咱们静下来仔细思考，是不是发现：只要我们能把原极限拆分为乘除号或加减号连接的两部分，且其中一部分极限存在（乘除号的情况要求非0），该部分就可以直接带值提前计算（即为①②情形）这就是啥时候可以带值的结论！（见后文例3法2）对于乘除号连接的情形：可以将这个结论进一步升华为极限计算的一个重要小技巧：提出非0因式这个小技巧的关键在于非0，且为因式，即只有非0的因式才能直接带入计算，否则不能提出来先算。（见后文例1）对于加减号连接的情形：我更习惯于这样去做题：不管能不能拆，先拆了再说，如果拆开后各部分极限存在，那就拆对了；如果极限不存在，那就不能拆！接下来，我们来看，啥时候可以使用等价无穷小替换？首先回顾一下，等价无穷小的原理可见，等价无穷小替换，本质上是极限运算准则。同时，也可以看出，等价无穷小的使用，是基于乘除的情况，换句话说就是分子分母中的因式。基于此，我们直接给出等价无穷小替换的条件：当然，也有同学说，有些老师说过，只要精度足够，就算加减中的项也是可以替换的。既然要提到精度，那不好意思，这就是泰勒求极限的问题了。在考虑精度进行无穷小替换时，实际上你运用的是泰勒展开，而不是简单的无穷小替换了。两种方法看似一样，但原理却不一样，很多人就是这里没有弄明白，所以稀里糊涂的！泰勒展开，之所以加减项乘除项都可以用，是因为泰勒展开之后末尾跟着一个高阶无穷小，和展开之前是恒等的。（关于泰勒，我们以后再聊）如果，有老师在讲等价无穷小替换时，提到“只要精度足够，就算加减中的项也是可以替换的”，却不讲清楚其本质是泰勒展开，那我认为，这是不负责任的，因为遇到复杂一点的极限，我们是很难判断精度这个问题的。下面来看几个简单，却很典型的题目：例1：第①步：分子提出非0因式，分母使用等价无穷小，非0因式极限存在且非0，所以可以直接带入计算。极限的计算，如果你能做到每一步都是有理有据，那么你至少不会出错！例2：一道考研数学届，很有名的经典易错题错解1和错解2，是很多同学第一次做这个题容易犯的毛病。具体原因请看上图……那正解怎么解呢？是不是，每一步都是有理有据的！例3：这道题目，大家能分清这两种方法的本质吗？法1，似乎在加减项使用了无穷小替换！真的是这样吗？之前提过有些老师说过“只要精度足够，就算加减中的项也是可以替换的”，这本质上是泰勒展开，而这里就正是这种情况。这里本质上是对cosx进行泰勒展开，只不过省略了高阶无穷小而已（见下图）！所以，以后遇到这种情况，想对加减项使用无穷小替换时，一定去用泰勒展开的方法，而不是简单粗暴的直接替换，因为一些复杂的情况下，你很可能弄不清楚所谓的精度！再来看一下法2，这里用到了前面讲的：把原极限拆分为加减号连接的两部分，且其中一部分极限存在，该部分就可以直接拆开，带值提前计算。不管能不能拆，先拆了再说，如果拆开后各部分极限存在，那就拆对了；如果极限不存在，那就不能拆！很显然，这里拆开之后，两部分极限都存在，所以拆对了！例4：这个题第1问，涉及求导，基本功，就不罗嗦了，直接看第二问。这是这两天群里某同学一解法，当然是错解，请大家来找找看哪些地方出错了呢？第①步错：这里能不能拆呢，前面说了，不知道能不能拆，先拆了再说，如果拆开后各部分极限存在，那就拆对了，那我们来看一下拆开后的这两项，就题设条件而言，我们是没法判断极限是否存在的，所以这里就不能拆。第③步错：上图带圈这一项能提前计算写为f'(0)吗，前面说过了：只有非0因式才能提前带值计算，而这里不是因式，所以不能提前带值计算。第①步和第④步是一个连环错：第一步拆开（拆开后各项极限是否存在完全不管），然后②③步化简一下，第④步又合在一起，然后发现极限存在的，然后理所当然得到一个错解！殊不知，第一步拆开就错了！再来看另一种非常常见的错误解法，能找到错在哪里吗？这种解法，错在第①步，因为题目只说了f(x)二阶可导，但是没说二阶导函数f"(x)是否连续，所以这一步不成立。试卷上出现这一步，一定是0分！下面提供两种正确解法：正解1：利用泰勒展开，然后拆开为两部分，且这两部分的极限都是存在的，所以拆对了！正解2：利用加一项减一项之后，拆开为两项，且这两项极限都是存在的，所以拆对了！注意，虽然这两种方法都进行了“拆”，但有没有发现拆了之后就没有再“合”了！而前面的错解，之所以算出一个结果来，就在于“拆”了之后又“合”。总结Q:啥时候可以直接带值计算？只要我们能把原极限拆分为乘除号或加减号连接的两部分，且其中一部分极限存在（乘除号的情况要求非0），该部分就可以直接带值提前计算。①对于乘除号连接的情形：进一步升华为极限计算的一个重要小技巧：提出非0因式这个小技巧的关键在于非0，且为因式，即只有非0的因式才能直接带入计算，否则不能提出来先算。②对于加减号连接的情形：不管能不能拆，先拆了再说，如果拆开后各部分极限存在，那就拆对了；如果极限不存在，那就不能拆！Q:啥时候可以等价无穷小替换？结论：只有分子、分母中的因式可以替换，加减中的项不能换！END~
根本不是根式前面的符号决定了表达式的极限的阶数，是因为表达式存在 k.b.c 这样的代数符号，它们一旦确定，表达式极限阶数就 确定了 kx^2+bx+c-√（x^2+1）在 x→0 时，最多是 x^2 同阶或等阶无穷小，不可能是高价 x^2 的高价无穷小，与√（x^2+1）无关，是 kx^2 决定的。只有 k 在=0 情况下，表达式可能是 x 的同阶或等阶无穷小，根号前面的符号影响了表达式是 x 的同阶或等阶或根本不是无穷小的结果。下面是新的补充以上谈论的都是判断与 x^2 是否等价的问题，真正有意义的计算是求极限，表达式的极限存在，是 c+/-1，不存在和 x^2 比较无穷小问题。

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