性质6怎么证明？高等代数矩阵特征值与特征向量的关系问题里的知识 蹲蹲蹲！

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2024-03-10 13:15 标签： 特征值与特征向量的关系
线性代数的本质，来自B站3blue1brown的线性代数的本质，也加有自己的想法，有兴趣的可以看看。主要从线性变换的角度介绍了向量与空间、矩阵与线性变换、线性方程组、点积和叉积、特征向量与特征值这五大方面的本质。1、特征向量与特征值的几何意义在线性变换过程中，大部分向量经过线性变换都离开了它所张成的空间；但也有一部分向量留在了它所张成的空间，线性变换对这些向量只会产生拉伸或者缩放变换。线性变换后留在自身张成的空间中的向量，称为特征向量。特征向量经过线性变换后不发生旋转，只会拉伸或者缩放，而衡量特征向量在变换中拉伸或压缩比例的因子，就是特征值，特征值为负值时表示向量被反向拉伸或者缩放。如果属于同一特征值的任意n个向量线性无关，那么它们张成的空间中的任意向量都是属于这一特征值的特征向量，且在变换中只发生缩放变换。对于三维空间中的旋转，如果能够找到对应的特征向量，那么这个特性向量就是旋转轴，这意味着一个三维旋转变换就可以看成绕这个特征向量旋转一定角度，这要比考虑相应的3×3变换矩阵要直观。此时对应的特征值为1，因为旋转并不缩放任何一个向量，所以向量的长度保持不变。2、特征向量与特征值的计算用符号表示的话，特征向量的概念就是。这表明，向量经过A变换后等于向量的数乘，而数乘不会改变向量的方向，显然这满足我们对特征向量的定义。向量数乘等价于使用一个对角元全是λ的对角阵进行变换，所以，是单位矩阵，移到同一边得到。我们需要一个非零特征向量（零向量时恒等于0，没有任何意义），而如果存在向量经过变换后变成零向量，矩阵变换就要将空间压缩到更低维度，所以，从而求出λ值。二维线性变换不一定有特征向量。例如，逆时针旋转90°的变换矩阵就没有特征向量，因为变换后所有向量都发生旋转并且离开了其张成的空间，而求解特征方程发现λ没有实数解。与i相乘在复平面中表示为90°旋转和i是这个二维实向量旋转变换的特征值有所关联，特征值出现复数的情况一般对应于变换中的某种旋转。属于单个特征值的特征向量有可能不在同一条直线上。例如矩阵是将所有向量拉伸两倍，唯一的特征值是2，但平面内所有非零向量都是属于这个特征值的特征向量。3、特征基与对角化特征基是指矩阵的所有基向量都是特征向量，矩阵在以特征向量为基向量的坐标系中的变换就是基向量的缩放变换。对角矩阵的所有基向量就是特征向量，对角元就是它们所属的特征值。如果一个变换矩阵有足够多的特征向量，多到能够选出一个张成全空间的集合，那么当基向量是特征向量时，我们就能够通过基变换，将这个变换矩阵从以特征向量为基向量的坐标系中转化到标准坐标系。对于矩阵，它的特征值是2、3，特征向量分别是、。在以向量和为基向量的坐标系中，变换矩阵实质上是对基向量缩放的变换。我们将特征向量作为新基向量，构成基变换矩阵，然后用这个基变换矩阵右乘矩阵，用基变换矩阵的逆左乘矩阵，即。这样计算得到的新矩阵和矩阵其实代表的是同一个变换，只不过是从新基向量所构成的坐标系的角度来看的。这个新矩阵一定是对角的，并且对角元是对应的特征值，因为它所处的坐标系的基向量在变换中只进行了缩放。矩阵相似的实质：矩阵和是相似的关系，矩阵相似实质上表明两个矩阵是同一种变换，只不过是在两个不同的坐标系中（不同的基向量），并且矩阵的列向量就是在的坐标系中表示的的坐标系的基向量。对角化的条件：矩阵对角化，就是将特征向量作为基向量，通过基变换，将这个变换矩阵转化到标准坐标系中。从计算上讲，对于n阶矩阵能否对角化，关键在于矩阵是否存在逆矩阵，也就是矩阵是否有n个线性无关的特征向量；从基变换角度看，能否对角化，关键在于能否将特征向量作为基向量，对于n阶矩阵的变换必然发生在n维空间，因此有n个基向量，若矩阵没有n个能作为基向量的特征向量（即n个线性无关的特征向量，因为基向量线性无关），就不能对角化。
根据特征值的定义，对于矩阵 A=(a_{ij})_{n\times n} ,若存在向量 e .使得 Ae=\lambda e\\ 那么 e 是 A 的特征向量，\lambda 是 A 的特征值.所以我们知道要求特征值，只需要解方程
\left( A-\lambda E \right) x=0\\ 由于 x 要求是非零向量，所以 \text{det}(A-\lambda E)=0 即
\left
\begin{matrix}
a_{11}-\lambda&
a_{12}&
\cdots&
a_{1n}\\
a_{21}&
a_{22}-\lambda&
\cdots&
a_{2n}\\
\cdots&
\cdots&
&
\cdots\\
a_{n1}&
a_{n2}&
\cdots&
a_{nn}-\lambda\\ \end{matrix} \right|=0 \\ \Rightarrow \lambda ^n-\left( a_{11}+a_{22}+....a_{nn} \right) \lambda ^{n-1}+.....+\det \left( A \right) =0\\ 根据韦达定理，矩阵中迹是特征值之和

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