作者：蒋迅 只想看科学网博客内容的可以直接跳到后半部分。以往的【数学都知道】在这里。 Mathics - Mathematica的简易免费替代 替代Matlab的开源软件有很多，但替代Mathematica的还是第一次听说。 韦德公式 这篇介绍的是韦德公式，不要与韦达定理混了，虽然这两个结果都是同一个人得到的。 特奥多鲁斯螺旋 特奥多鲁斯螺旋也称为平方根螺旋，爱因斯坦螺旋，或毕达哥拉斯螺旋。 计算的极限（九）：叹息与奋斗 计算似乎无所不能，宛如新的上帝。但即使是这位“上帝”，也逃不脱逻辑设定的界限。第一位发现这一点的，便是图灵。继续阅读：计算的极限（十）：无限绵延的层级；计算的极限（十一）：黄金时代 3D打印在数学课 这位中学老师有幸得到了一个3D打印机。他决定带学生做一些项目。等幂等积定理是一个好的开始。 陶哲轩：概率论基础 陶哲轩今年讲研究生的概率理论。他会怎么讲呢？延伸阅读：积分与期望值，积测度和独立。 阿基米德的方法：命题13和14(PDF) 这是美国数学会的一篇文章。其实更有意思的是作者放在网上的那个。 高老头的一些八卦【续】 Knuth有一篇论文发表在美国数学月刊上，论文的题目叫《厕纸问题》，论文的内容是关于厕所里卫生纸的使用，开始发过去的时候，编辑回信说学术论文里不能有太多的笑话，因为他每节的标题里包含了太多的“粪便学”词语。后来Knuth不得不修改了每节的标题，但是论文的题目他再也不肯改了，他回信骗编辑说，这个论文的内容他在很多学术会议上做过报告，所以改成别的题目别人会不太容易找到。 1582年10月4日之后的第二天，不是10月5日哦 持续时间为0的10天，即公元1582年10月5日至14日，明天醒来时已是10月15日。原来是被杰出的耶稣会数学家克利斯多弗·克拉维斯 韦达跳跃 韦达跳越（Vieta jumping）是一个处理数论的证明技巧。通常是藉韦达定理，来对根进行无穷递降法。韦达跳越在国际奥林匹克数学竞赛（IMO）里是一个相对较新的数论解题技巧，在1988年IMO第一次出了这类的题目，且被认为是当年最难的题目。范例： a 和 b 是正整数，且 ab 整除 a^2 + b^2 + 1. 试证 3ab= a^2 + b^2 + 1. 数学上最大的谜：望月新一和令人费解的证明 一位数学家声程解决了一个最重大问题之一，但问题是没人能确定他是否正确。 如何用数学创作艺术 你能用两个数和一个函数产生出具有美感的且对称的曲线吗？更多阅读：其他数学文章 陶哲轩：扫一个矩阵时就旋转了它的图 这个标题不太容易翻译。陶哲轩最近听到了一个新奇的矩阵算子，叫作“Sweep Operator”。这个算子在数值线性代数和统计学里有应用。这个算子还有一个名字：“gyration”，陶在评论里给出了综述文章的连接。 适合本科生的图论的未解决的问题 有人想做图论的难题，热心人提供了不少。 配对儿试验 课上发生了一件奇怪的事情：老师让学生批改另一个学生的卷子。但她没小心把一个学生自己的卷子发给了那个学生。这样一个事件的概率是多少？ 爱情与数学的礼记 “爱情与数学的礼记”是一部电影。如何让一个非数学家知道，数学可以像诗词、音乐和绘画一样美呢？一位导演问自己。他想要数学印到每一个人的身上。於是有了这部电影。西方的导演就是不一样。 创建分形 作者跟一群心理学的学生想知道自然界分形的图像会如何反映到脑子里。於是他们写了一个程序来实验。 序列 作者认为自己发现了一个新的实数的性质。他希望找一个合作人。几年前，他看到了一篇文章，说998001的的倒数正好是从000到997这个数列三个三个地一起放到小数点后。就是说，1/998001 = 0.000001002003004…。这应该不是一个巧合。他决定深究下去。他发现了什么呢？相关阅读：隐藏在普通除法里的斐波那契序列。 由一个高中练习题所受启发 给两个分数a/b和c/d，要找这两个数中间的一个分数。怎么找？看看(a+c)/(b+d)。 是改变时间的时候了 美国本土有四个时区。这样美国人看太阳升起的时间大约是一样的。而中国只有一个时区。於是新疆的居民看日出的时间就会很奇怪。这种奇怪的时间在别的国家里也有。有多奇怪呢？我们可以定量出来。用颜色表示，越奇怪就越红。看看多少奇怪的时间吧。 巴拉班十笼 在图论的数学领域里，一个笼子是一个正规的图，它在边上具有尽可能少的顶点。一个（r,g）笼就是说每一个顶点都正好有r个邻居，而且最短的环路是g。Balaban 10-cage是第一个被发现的(3，10)笼。相关阅读：>哈里斯图。 张培富 董惠芳：国际化学哲学研究的新进展 数学化学(Mathematical Chemistry)中的哲学问题。 在前期工作的基础上，提出强而有力的证据，进一步论述了在现有微积分基础理论中，贝克莱悖论没有、也根本不可能如很多人所认为并声称的那样被消除，而只是在若干繁复、生僻的概念、定义、步骤之下被掩盖。基於此认识，把先前提出的唯一可以彻底解决此类矛盾、并且根本无涉极限、潜无穷、无穷小概念的导数的全新定义，推广到微分、积分领域，以彻底解决、澄清数学分析基础理论中的一些疑难问题。可以看出，如想真正消除微积分基础理论、导数求导、微分、积分理论中的固有矛盾，笔者前期及本文提出的理论解释──特别是关于导数的新定义──就不能不是必需的。显然，分析理论中的矛盾、悖论即消，可使整个理论非常明确并大为简化。同时，正是由於现有的、仅仅致力于“掩盖”分析理论中固有的矛盾、悖论的做法本身的窘境，而使中外学者甚感困扰的微积分基础理论的教学困难，也必将由於理论中矛盾的彻底澄清而变得极其简单、干净。 郑英元：微积分创立的前后（下） 尽管牛顿和莱布尼茨首先创立了微积分，但理论其基础尚不稳固，还有许多问题亟待修补与完备。 首先是法国的达朗贝尔(d'Alembert, 1717-1783)提出将微积分的基础归结为极限，但他缺乏实质性的成果。严密的工作是从捷克的波尔察诺、德国的魏尔斯特拉斯数学家开始。在基础方面最后一个需要解决的问题是实数理论，在这方面德国的康托尔和戴德金分别给出相互等价，但方式不同的实数定义， 正是这些实数理论为微积分理论的严密性打下了坚实的基础。 Mark Buchanan：走进Matrix：塑造现实的隐藏法则 随机矩阵始于50年前的微观物理，被用来描述原子核的能级。然而随著时间的推移，它开始在各个方面浮现。从通货膨胀率到固体性质，都出现了它的身影。一些科学家开始思索这些现象的背后是否蕴含著某些不为人知的共通模式。所有的这些，起源于物理学家将未知转变为优势的成功探索。 菲尔兹奖得主马丁·海尔：钱不是最重要的 海尔，2014年菲尔兹奖得主之一。这位英国教授在颁奖前，并非最热门的人选。然而，他当选了，给他的评语是“对随机微分方程的有突出贡献，尤其是为一类方程创立的理论。”这对海尔教授来讲是一个惊喜吧。海尔描述：随机偏微分方程（简称SPDE）是用来描述，在含有随机因素的情况下，一个系统在一定时间和空间内的演化 。 草根科普|由电视剧《琅琊榜》谈黄金分割构图法 黄金三角形：从黄金矩形（短边/长边=黄金分割数），连接该矩形左上角和右下角作对角线，然后从右上角向Y '点（对边上的黄金分割点）作一线段与该对角线相交（可证明该条线段垂直于对角线），这样就把矩形分成了三个不同的部分，在理论上完成了黄金分割，下一步就可以将所要拍摄的景物大致按照这三个区域去安排即可。 一旦你认为有“数学墙”，人生就开始下行了 学好数学需要天赋的观点，是造成这么多“数学创伤”的主要原因。一旦孩子形成“自己不是学数学的料”的想法，他们的人生就步入下行轨迹，他们的职业选择立刻大幅缩减。 利维奥：数学是发明还是发现的？ 如果只是单纯地纠结于数学是被发明还是被发现的这个问题，或许会忽视另一个更为纠结复杂的答案：两者都起著关键作用。我推想，将这两方面因素结合起来，应该能解释数学的魅力。发明与发现并非势不两立；虽然消除它们之间的对立并不能完全解释数学的神奇效能，但鉴于这个问题实在是太深奥，即使仅仅是朝著解决问题的方向迈出一小步，也算是有所进展了。 王昆扬：Cantor理论
把怪物回归常识 介绍Cantor 理论的具体内容。Cantor把比例数的基本列的等价类定义为实数（的表示）。将比例数和比例数列的一切已知的性质完全推广到实数范围，并且证明了在实数范围内，基本列一定收敛。继续阅读：怪物终於回归常识
把怪物回归常识（6）；用十进数表示实数的直接论述
把怪物回归常识（7）。 数学的魅力──苹果LOGO背后的数学秘密 其实在LOGO背后有很深的数学意义哦。 MIT牛人解说数学体系 作者中科大2004 年本科毕业，博士是计算机专业。1. 为什么要深入数学的世界；2. 集合论：现代数学的共同基础；3. 分析：在极限基础上建立的宏伟大厦；4. 代数：一个抽象的世界；5. 分析与代数结合。 【大话微积分】那些津津乐道的八卦 据说在１６６９年，牛顿在剑桥大学升为数学教授。当时学校资金紧张，教职工薪水已欠数月。为解决此问题，牛顿潜心研究创立了微积分，将一门名叫“微积分”的新科目设为全校的必修课，并规定不及格者来年必须缴费重修直到通过。很快教师们的工资发了下来。 布尔巴基学派：数学史上的达芬奇密码 布尔巴基学派的工作，是对现代数学的主要思想进行分类和概括。他们强调数学的抽象结构和整体上的统一性。以此为出发点，他们编写出版了《数学原本》这套巨著。首卷于1939年出版，到70年代中期，共出版了近40卷。它涉及现代数学的大部分领域，将数学知识按结构的观点重新组织，形成了全新的体系。 张立宪：数之魅惑 费马大定理从提出到证明的过程，就是一部不折不扣的惊险小说。一个读者，在自己看过的书空白处留下附注。除了他自己，还有谁会关注呢？但是，法国人费马死后，他在一本《算术》书上所写的注记并没有随之湮没。其长子意识到那些草草的字迹也许有价值，就用五年时间整理，然后印出一个特殊的《算术》版本，载有他父亲所做的边注，那里面包含了一系列的定理。 数学即是诗，诗即是数学。因此，李尚志常常用诗来描述数学。比如，对三角函数，他用“东升西落照苍穹，影短影长角不同。昼夜循环潮起伏，冬春更替草枯荣”来描述。 153，这个数字有什么神奇之处？ 要是人群中做一个小范围调查，问大家的幸运数字，答案肯定五花八门，3啊，6啊，8啊，12啊，365啊肯定不一而足。要是有个人面露微笑报出一个“153”来，你也不用太过吃惊，只是可以在心底确认一下：哦，这位是基督徒。为什么这么说呢？理由很简单，因为153是圣经数啊。But，why？事情是这个样子的。那是个风平浪静的夜晚，正是打鱼的好时光。彼得约了几个小夥伴，一起去打鱼。那晚的收获不尽如人意，天快亮的时候，耶稣站在岸上对他们说：“你们把网撒在船的右边，就必得著。”虽然彼得对自己的打鱼技术很自负，但还是听从了耶稣的吩咐，“他们便撒下网去，竟拉不上来了，因为鱼甚多”。多到什么程度呢？彼得“把网拉到岸上，那网满是大鱼，共一百五十三条；鱼虽然这么多，网却没有破。”这则有趣的故事，出现在圣经《新约全书》中的《约翰福音》的第21章里。这“153”后来便被称为“圣经数”。 从未以这个角度看过教堂穹顶 美极且全是秘密(高清) 美国摄影师Richard Silver在几年里走访了75个国家，220多座城市的教堂，并且采用180度垂直的方式捕捉教堂内部的全景图像，每张照片由6到10张单独的照片拼合而成。不用抬头就可以饱览全世界的教堂内部绚丽而震撼的穹顶设计，看完之后，有没有一种刚刚从后仰状态中直立起来的眩晕感？ 彭德倩：当文学与数学“相爱” 文学家对事物有不同的感受，由此产生不同的吟唱，一个“柳”，温庭筠有“柳丝长，春雨细”；李白有“风吹柳花满座香，吴姬压酒劝客尝”；晏几道有“舞低杨柳楼心月，歌尽桃花扇底风”。在数学领域，何尝不是如此。数学家对某些重要的定理，也会提出很多不同的证明。丘成桐举例：勾股定理的不同证明有十个以上，等周不等式亦有五六个证明，高斯则给出数论对偶定律六个不同的看法。不同的证明帮助人们以不同的角度去理解同一个事实，往往引导出数学上多个方向的发展。 鼓联刚：一元代数方程都有求解公式吗？ 初等代数学是指19世纪上半叶以前的方程理论，主要研究某一方程（组）是否可解，怎样求出所有的根以及它们所具有的性质。那么一次代数方程是否都有求解公式？本文主要从基本的一元1、2次方程入手，并借助拉格朗日方法、韦达定理、杨辉三角等性质，对较为复杂的一元3、4次方程进行了研究学习，且进一步对一元n(n≥5)次方程的问题进行了探讨。 加加减减的艺术（一）：1-1+1-1+……=1/2? 本文主要介绍发散级数在非柯西意义下的求和问题，并将会特别考虑格兰迪级数的求和。通过格兰迪级数在其他意义下的求和，来说明柯西关于级数收敛的定义并非是绝对的。加加减减的艺术（二）：柯西不是上帝；加加减减的艺术（三）：一些常用的权及求和方式；；加加减减的艺术（四）：欧拉的技巧；加加减减的艺术（五）：零不代表没有！； 趣味数学的重要性 1975年，一位妈妈Marjorie Rice在她儿子订阅的科学美国人杂志上读到，世界上只有8个已知的五边行可以拼出一个平面来。尽管她没有高中以上的数学背景，但她还是发现了一个新的。到1977年，她一共发清b了四个。科学美国人杂志上有一个趣味数学专栏。这个专栏把这位妈妈变成了一个业余数学家。 埃舍尔的数学一面(PDF) 尽管埃舍尔绘画中的数学是众所周知的，但其深度却少有人涉及。他大概是自文艺复兴以来唯一一位将数学如此深入地画出来。而且他追求对数学的理解完全是为了在艺术上表现出来。本文带你看一看他是怎样创作的。 折叠和切割，我喜欢的空间，胡克 想一想，你能否将一张纸折叠起来，然后一剪刀把它剪出一个正方形？三角形？六边形？结论可能有些意外呢。美国人在谈空间时，不会用“spaces”。但数学家Evelyn Lamb却有一个系列叫作“ A Few of My Favorite Spaces”。看看数学家们是如何创造出新的空间的。最后。“Hook” (胡克) 不是人，是一个游戏。 数学神话，传说和不准确之处：一些例子 数学有些神秘，数学有很多传说。但传说是否都是准确的？作者在推特上询问，得到了许多提示。有人举了高斯从1加到100的故事，有了举了根号2的故事，…看来数学史学家们可以忙活一阵子了。 随机优化的丛林 许多问题都可以归到在不确定因素条件下的一系列决策。由於有大量的应用，整个领域有许多名字，比如动态规划、随机优化控制、随机规划、模型预测控制等等。在每一个名字下都有自己的习惯、符号和应用。本文希望把它们统一起来。 数学理论：在意想不到的地方与实际相遇 人们认为四元数空有漂亮的数学结构，没有什么实际用途，不过是数学史上又一个无足轻重的脚注罢了。直到计算机时代，四元数终於找到了自己的位置。还有最密堆积，3个世纪后在信道中相遇。概率论：从赌桌上的硬道理到保险业的发展。 迷宫求解算法 给一个平面的迷宫，可以按照一定的算法，保证你走出来。到到三维就不一定了。另外，当有多个途径时，如何优化？ 数学，美及脑区 数学家喜欢谈“漂亮的结果”。这是什么意思？数学家的脑子里有没有一个特殊的区域非常活跃？有科学家做了一项实验。 数学家发现了开拉马努金的计程车数的“万能钥匙” “的士数”是最小的能以n个不同的方法表示成两个正立方数之和的数。截止现时，只找到6个的士数。 学渣乐园网易公开课 哈哈哈，这课要逆天了，简直就是用单口相声讲物理和数学好吗？以网络语言解读知识，还附送记忆技巧，最短的时间满足学生（zha）的真实学习需求。集合-1 函数-1 电容器1 三角恒等变换-1 数学如何塑造人脑 大脑中有一个特定的区域能让人们估计数量级，让他们对数和量有一种直觉。每个人的这个系统在敏感性上具有差异，这就影响到他们的数学学习。 石根华：一位数学家的41年传奇 拯救宇宙中最宏伟的定理 为了保存“宏伟定理”长达15000页的证明，几位年老的数学家正在与死神赛跑。全世界能够理解这些证明的人所剩无几，他们害怕在年轻一代数学家接班之前就会离开人世。 爱你就像爱数学 我爱你，就像爱数学。在我每次拿了情理之中但我要假装出乎意料的低分后，我已经不做那种把卷子揉了再弄回来展平的虚伪之事了，褶皱是很嘲弄人的。我翘著腿思绪神飞的听著试卷讲评，从赞美最高分到挖苦最低分，从鸡和兔挤在一个神秘的笼子里到抛物线又抛到了一个神秘的国度，我从披荆斩棘地模仿签名到无所谓的双手一摊──这是我最神秘的爱。 数学中竟然还有这样的定理！ 谁说数学是泄5c燥的？在数学里，有很多欢乐而又深刻的数学定理。这些充满生活气息的数学定理，不但深受数学家们的喜爱，在数学迷。谁说数学是枯燥的？在数学里，有很多欢乐而又深刻的数学定理。这些充满生活气息的数学定理，不但深受数学家们的喜爱，在数学迷的圈子里也广为流传。 美轮美奂的花瓶们 他扫描了一些花瓶作为模板，然后在软件中对表面上的各个点进行参数化，利用各种公式使其表面进行变形。有的公式控制它的比例，有的控制它的粗糙度，还有控制它的扭曲度的。随著这些参数的综合作用，很快，一件件洋溢著自然之美的作品产生了。 数学的供养 对著你迷惘，写下N个次方，我为你痴狂，不求荡气回肠，只求算一场，算到最后受了伤，结果那么长。 学会欣赏数学之美：写给八年级的同学 这是一篇写给八年级新生的文章，旨在告诉同学们，学习数学除了“算”、“证”，还应该学会欣赏数学，欣赏数学之美。这也正是当下中学生在数学学习上所欠缺的，我想不仅是八年级的同学，其他任何年级的同学也都应该学会欣赏数学，欣赏数学之美，只有带著欣赏的眼光学习，你才能真正体会数学的乐趣。 可以预测人的行为并胜于人类的一种算法 MIT 报告，在某种条件下，他们的算法可以预测人的行为，超过了人的预测。 油管上必看的数学视频频道 YouTube 上一些很不错的数学频道。可能需要翻墙。 一条通往无方程预测的扭曲的路径 有时候，生态方面的数据完全不合理。在不列颠哥伦比亚省的弗雷泽河产卵的鲑鱼就是一个好的例子。科学家自1948年以来就在跟踪鲑鱼的行为。首先，鲑鱼数量似乎与海洋温度呈负相关。但在1970年代中期，一些奇怪的事情发生了：海洋温度和鱼的数量不再那么相关。鲑鱼种群出现随机波动。什么原因呢？ 让矩阵乘法轻而易举 刚学矩阵乘法的人可能会发现，它与以前数字的乘法有很大的不同。也许这个博客可以帮你一下。 水珠围绕毛衣针的运转 我们平时在地球上观察不到万有引力。於是美国宇航员为我们在国际空间站里做了一个实验。当然这个实验不是重力场，而是电磁场。但原理是一样的。如果能翻墙的话，一定要看一下原视频。 百年后的物理学 美国理论物理学家2004年诺贝尔物理学奖获得者弗朗克·韦尔切克写了一篇对物理学的展望。物理学的学生可以读一下。没人翻译一下？ 数据科学50年 压缩感知专家、斯坦福统计教授David Donoho针对媒体关于大数据科学的炒作，以统计学家角度写了一篇批判性文章《数据科学50年》。文章认为“大”不是关键，关键是在整个科学领域推广数据分析。作者分析了数据科学上下50年，讨论了与统计学的异同，最后给出了自己的数据科学定义。 逻辑性太强！山东某小学取消一二年级数学课 从2013年开始，山东省聊城市嘉明第一实验小学就尝试进行数学教学改革，他们招收了两个班作为试点，对这两个班的学生推迟学习数学课的时间，取消了一二年级的数学课，而补充朗诵、国学、书法等课程，从三年级开始，学生才开始接受普通数学课程，实践至今，首届实验班的学生已经正式的开始上数学课，经过一个多月时间的学习，根据学校和部分家长反映，暂时还没有发现这两个班的孩子对课程有什么不适应。目前，学校已有24个班取消了数学课。校长称，逻辑性强的数学课程并不适合低年级的学生。 张祖锦：第七届中国大学生数学竞赛预赛试题(数学类，2015年10月)参考解答 设 L1和 L2是空间中两异面直线. 设在标准直角坐标系下直线 L1过坐标为 a 的点, 以单位向量 v 为直线方向; 直线 L2过坐标为 b 的点, 以单位向量 w 为直线方向. (1). 证明: 存在唯一点 P∈ L1和 Q∈ L2使得两点连线 PQ 同时垂直于 L1和 L2. (2). 求 P 点和 Q 点坐标 (用 a,b,v,w 表示). 欧拉给出的柯尼斯堡七桥问题的解 柯尼斯堡七桥问题是图论中的著名问题。这个问题是基於一个现实生活中的事例：当时东普鲁士柯尼斯堡（今日俄罗斯加里宁格勒）市区跨普列戈利亚河两岸，河中心有两个小岛。小岛与河的两岸有七条桥连接。在所有桥都只能走一遍的前提下，如何才能把这个地方所有的桥都走遍？这是一个美国大学生数学史科的一个研究报告。作为一个例子，它展示了学生如何用第二手资料研究数学史。 巴西闪耀全球的数学明星──阿图尔·阿维拉 有一位数学家在去年赢得了世界上数学领域的最高奖──菲尔兹奖，他名叫阿图尔·阿维拉。假如你没有听说过，我也不会责怪你。除了巴西以外的地区，媒体都在关注一位和他同时获奖的另外一位数学家米尔扎哈妮(Maryam Mirzakhani)──她是首次获得该奖的女性。虽然看在这位数学家是第一个获得这个奖项的巴西人以及拉丁美洲人的份上，他本应该占据本地各大新闻的头条，但是各个报纸却在报导另外一个事件：一位巴西总统候选人的飞机坠毁了。阿维拉，这位被大家称为拥有巴西最聪明数学大脑的数学家，就这样被大众忽略了。 USNEWS数学排名：北大复旦双进前二十 亚洲方面，中国大学表现抢眼。前十名中，来自中国的大学占据了其中八把交椅。其中内地七所，香港一所。另外两个名额被韩国和日本的两所大学占据。北京师范大学排第29名。 测一测，你有“数学焦虑症”吗？ 纽约时报网站仿照芝加哥大学的四位学者的关于学生家长“数学焦虑症”现象研究内容，设计了10个关于数学问题，用于测试你是否有“数学焦虑症”。原文中的的有一些问题，我们稍稍做了修改，以符合我们中国人的生活习惯。 人工智能发现凌乱的星系 一位澳大利亚的学生利用人工智能从数千星系中找出最激烈最凌乱的星系。 三角形，正方形和五边形的数学惊喜 今年是写过101部科普书的加德纳诞生101周年。他的书绝大多数是趣味数学的。这里是他最早提出的一些问题，以及后来发展出来的更多问题。 米哈伊尔·格罗莫夫（Mikhael Leonidovich Gromov）
当代大数学家画传（连载2） 世界在我们大脑里的印记并不是图像化的：大脑所知道的外部世界只是一串混沌的电子脉冲，它从中构作出一个结构化的实体：这就是我们对所见所闻的感知。大脑创造结构的这个过程与大脑的语言部分发生联系，语言部分可以产生想法，而这些想法是能够被你有意识的心智感知和控制的。数学从这里开始了。 张圣容(Sun-Yung Alice Chang)
当代大数学家画传（连载3） 我一直觉得，像音乐一样，数学也是一门语言。为了系统地学习它，有必要一小块一小块地慢慢吸收，最终达到浑然天成的效果②。从某种意义上说，数学又像古代汉语──非常典雅而优美。听一个精彩的数学讲座就好比听一场精彩的歌剧。万事齐全，一切都趋向问题的中心，我享受数学！ 数学，帮帮忙 （Prek-6数学书大盘点） 我们的主题是数学类读物，主要是初中以前的数学类读物。中文：1.阶梯数学；2. 何秋光儿童数学思维训练游戏；3.数学绘本；4.数学帮帮忙；5. 走进奇妙的数学世界。英文：1，新加坡数学；2，Envision Math ；3，Saxon Math (Grades K - 12)；4，Beast academy；5，Math Mammoth；6，Everyday Mathematics；6，Math Connects (Grades Pre-K - 5)。 【2015CNCC主报告】潘建伟：量子计算和量子模拟（演讲全文44PPT） 上个世纪在自然科学方面（不仅仅是物理学）有两个重大发现：量子力学与相对论。量子力学与相对论第一个重要应用是在核能方面，1945年首颗原子弹爆炸成功，随后有氢弹、中子弹的成功研制。在这个过程中，物理学尤其是量子物理不经意跟计算机科学联系在一起了。在原子弹理论计算过程中，需要大量的计算，当时在冯诺伊曼的架构下，形成了现代通用的计算机雏形。随后对於量子物理学家和理论物理学家来说，他们希望能够把相对论和量子力学综合起来，来探索宇宙的起源。在对大统一的理论检验过程中，需要有大型的粒子加速器，这个地方每天都产生大量的数据。当时我还是本科生，做理论物理的研究，需要通过电话线把数据传输到全世界各个地方进行处理。从某种意义上这构造了因特网雏形，最后形成了今天的互联网的概念。 推荐一款好玩的几何类益智游戏 有很多好玩的益智游戏被大家称道，像《愤怒的小鸟》、《神奇的阿力》(物理类)，网上也有很多攻略。惊喜的是最近发现一款数学几何类的游戏：欧几里得2，尺规作图游戏，规则很简单：利用游戏栏下方提供的工具，用最少的步骤完成尺规作图。 轰动一时的数学大案子，拍案叫绝！！！ 历史上最著名的案例要数 1964 年夏天发生在美国洛杉矶的一起劫案。一天中午，一位老妇人从杂货店买了东西推著小车回家，途经一条小巷时，突然被一位冲过来的年轻女子推倒，等老妇人醒过神来，发现自己身上的钱包已被偷走，女贼也早跑了很远。虽然老妇人没有看清罪犯是什么样子，可小巷周围的不少住户都曾与这位女子擦肩而过，并且看到她在街头跳上一辆车逃离现场。 中国首位数学女博士:26岁成副教授，教出3位院士 徐瑞云考上浙江大学数学系，师从著名数学家苏步青和陈建功。毕业后，她先在数学系担任助教，后与丈夫获得亨伯特奖学金，同赴德国留学。徐瑞云的导师是著名数学家卡拉西奥多里。 迈克尔·阿蒂亚给年轻数学家的忠告 研究的头一两年是最为困难的。有那么多的东西要学习，甚至有一些小问题你都无法解决，这样你就会非常怀疑自己证明新定理的能力。在我从事研究的第二年，我顺利度过了这一艰难 的时期。塞尔 (Jean-Pierre Serre) 也许是我们这一代数学家中最杰出的一位，就是他也曾经跟我 讲过，他在一段时间里认真地想过是否要放弃数学。 林群：微积分闪电战（2）
圆与多边形 本讲从圆周长的测量，介绍了微积分的起源。在阿基米德、刘徽的割圆术中，发现圆周长可以通过正多边形的弦长或切线长的总和不断逼近。然而割圆术得不到精确值，永远只有近似值，成为千古谜题。相关阅读：微积分闪电战（1）
微积分基於无限的概念，林群：微积分闪电战（3）
曲边求长和山坡求高。 李尚志博士谈英才选拔与培养 一、英才选拔之ABC：A．U盘不是英才；B．低水平的神；C．保护幼苗。二、英才培养之ZBC：课程Z：太极剑；课程B：金刚经；课程C:苛政猛于虎。三、尝试与经验。 将数学与艺术结合起来的丢勒 我们来看说明丢勒所从事的工作是怎样与数学相关，充满了一种数学色彩，这对他的艺术和其他创作的帮助是无法计量的。丢勒对圆上一定点在这圆沿著另一圆的圆周滚动时的位置进行跟踪而生成了外摆线，但由於缺少代数基础，他没有分析这曲线。同样地，他从螺旋空间曲线的投影产生出一些螺线，但没有对它们作数学研究。 绘画与建筑艺术中的数学 数学之美是抽象的，简洁的，内在的，是逻辑形式与结构的完美。然而，正是这种以简洁与形式完美为目标的追求，使数学成为人类艺术发展的激素。几千年来，一些抽象的数学概念，始终是艺术创作永不枯竭的美的源泉。 你真的会玩《Hex FRVR》吗？ 《Hex FRVR》这个游戏，本质上是俄罗斯方块的六边形版本。当然，方块并不是往下掉落，而是需要你移动一些四联六边形图案，放到游戏的棋盘上，如果棋盘的某一排被填满了，这一排就能被消掉…… 数学的美──如诗歌散文般 数学的美体现在方方面面，也许美在她是探求世间现象规律的出发点，也许美在她用几个字母符号就能表示若干信息的简单明了，也许美在她大胆假设和严格论证的伟大结合，也许美在她对一个问题论证时殊途同归的奇妙感受，也许美在数学家耗尽终生论证定理的锲而不舍，也许美在她在几乎所有学科中的广泛应用。而美的数学在自古崇尚诗书传世的中国竟也浸染著扑鼻的书香。中国悠久历史所积淀出来的文学底蕴，为中国的数学染上了一层夺目的别样颜色，这就是数学的文采。 通过数学写作指导学生学习
数学写作 这里所说的“数学写作”包括数学小论文、数学日记、数学周记、数学作文、数学反思小文章等形式。引导学生“通过写作来学习”是不少一线教师喜欢开展的一项有意义的活动。但过往的研究对通过数学写作来指导学生学习的阐释并不多见。本文结合学生的一些数学写作，对数学写作在指导学生学会思维、学会表达、学会欣赏、学会积累(经验)等方面的问题提供研讨。 通过数学写作指导学生学习（2）
数学写作 数学的学习与研究不仅需要观察、思考，也需要表达,这里的表达包括口头表达、书面表达、图形表达、符号表达等。如案例1中小樊同学就展示了优秀的书面表达和图形表达能力。而学生在图2下写出的“发现”可看成是简洁而深刻的符号表达。现在，再结合一篇学生的数学写作，阐释如何指导学生就错题进行反思、“究错”并进行书面表达。 因对微积分的热爱而延续了三十年的师生情 《友谊之微积分》是一本关于人生导师的书。它讲述了一对师生之间因对微积分的热爱而延续了三十年的友谊，淡而隽永。 科普书单之数学篇 1，《从一到无穷大》；2，《思考的乐趣》+《浴缸里的惊叹》；3，《数学之美》；4，《无言的宇宙》；5，《天才引导的历程》； 万圣节前夜：讲述魔鬼数字与黄金分割比 《圣经”启示录》里的故事告诉我们，666这个数字是个邪恶的数字，因为它是魔鬼撒旦的印记(也叫兽的印记)。现在，我们要开始施放一个数学“魔法”，将这个魔鬼印记转变了。 数学家吴宝珠 吴宝珠对数学的喜爱源自于父母的影响，他从初中开始做了许多数学练习并喜欢上数学。1988年，吴宝珠读11年级，他去澳大利亚参加了第29届国际奥林匹克数学竞赛。这是他第一次参赛。金牌是以42分的满分取得的。一年后的1989年，吴宝珠再次参加奥数竞赛并又一次获得金牌。但这一次，他对於竞赛实际上已经不再抱有兴趣，只是在学校的要求之下才去参赛。实际上，自从上次得金牌之后，他就对数学竞赛失去了兴趣。相关阅读：科学奇人：吴宝珠 。 温馨故事与数学逻辑的结合──一位妈妈的心里话 关于ab规律：一定的基本单位以一定的规律重复，这就是规律。数学也是从1到9的数学重复规律。理解了规律的概念会有助于理解数学的体系。本书中出现的ab规律和aabb规律是规律类型中最基本的。 皮皮虾:【数学俱乐部二三事】 美国高中都有数学俱乐部，完全是学生自己组织。看看他们都干些什么。 如此具有建筑感，你还相信它们是食物吗 【舌尖上的几何体】当你看到这些几何锥形与晶体表面的反射折射形成缤纷的”立面效果”，你还以为是棒冰？当你看到这组名为度假时间的模具创作出的各种不同食物组合的“迷你建筑”，你是否还有更多的期待？当你看到极具几何美感的巧克力，你是否相信结构促进口感。 范秀山：《数学辩证法》出版 《数学辩证法》主要内容： 空间和时间的新定义；芝诺悖论的破解；实无穷与潜无穷的数学表达式；自然数1的定义，自然数的有限性；有理数的意义，有理数的有限性；无理数的意义，无理数的无限性；实数的意义，实数的无限性；虚数的意义；复数的意义；负负得正的证明；数学与哲学的关系；哲学的概念的数学表达；向量的意义；光的波粒二象性；特徵值与特徵向量的现实意义；数学的本质与未来。 解读流行观念：NP是可计算的 － “问题”与“实例” 流行观点“NP是可计算的”，所持的理由是：因为“NP问题实例”存在著指数时间算法精确求解，所以“NP问题（NP）”存在指数时间算法精确求解，故NP是可计算。我们已从计算复杂性理论与可计算性理论相分离的现状、NDTM（nondeterministic Turing machine）与不确定性的关系、对“多项式时间”的误解等角度，解读了此流行观点导致NP的“不确定性”消失，致“P versus NP”成为世纪难题。这里，我们再从“问题”与“实例”的角度进一步解读。 闫二斌：数学──你懂得 数学名言大全。 王伟华：“一切都是阴谋”：只为100%遇见你 在一个周五晚上，甲和朋友乙决定去夜店High一把。但是他们兴奋过头，忘记了约定的具体时间，只记得是在十二点到一点之间。假设他们随机地选择到达夜店的时间，并且都会在店门口等另一个人十分钟（如果在此期间对方并未出现，他就会离开）。那么，他们当晚能见面的概率是多大呢？ 马俊宇：思考小概率事件与异常值 小概率事件（Small probability event）是个概率论（当然不限於概率论）里面的概念，大概是指在一次或多次实验中，那些发生的频数极小的事件；异常值（Outlier）是个统计学的概念，应该就是指那些严重偏于整体的观测值，所以异常值又被翻译为离群值。 张天蓉：宇宙学中的超光速 物理宇宙学是一门年轻的科学。尽管从远古时代开始，人们就对茫茫宇宙充满了猜测和幻想，但是将我们这个浩瀚宏大独一无二（？）的宇宙作为一个物理系统来研究，继而形成了一门现代科学，却只是近100年左右的事情。这个推动力来自理论和实验两个方面：爱因斯坦的广义相对论和哈勃的天文观测结果。 柳渝：解读“我在说谎”悖论（2） 对悖论的一般解释是，因为其中有“自指”的结构，导致“自我否定”，即自相矛盾。我们先对“自我否定”一说略作分析：通过“我在说谎”与“我在说真话”对照，我们看到二者的本质区别，“我在说谎”是悖论，但这是语言表达否定了表达自身，而不是否定自己（自杀）；而“我在说真话”不是悖论，是语言表达肯定表达自身。也就是说，是不是悖论并不在於语言表达的形式比较上，日常语言表达形式“我在说谎”可“真”可“假”，都可“说”。“假”是真值，与“否定”的逻辑性质并不完全相同，但常常混淆。悖论不在於表达形式的真值上，而在於表达自身的逻辑关系，即逻辑自我否定──不可说。继续阅读：解读“我在说谎”悖论（3） 。 杨清：VC++调用TetGen对stl文件模型数据进行四面体剖分 Tetgen 可以用来产生四面体网并且遵守格德洛内规则，四面体网格对有限元和有限体积法是非常有用的。这个算法在当前研究领域具有领先水平。 张天蓉：希尔伯特旅馆悖论 康托1874年在他有关集合论的第一篇论文中提出的“无穷集合”概念，引起数学界的极大关注，震撼了学术界。康托并且导出了关于数的本质的新的思想模式，建立了处理数学中的无限的基本技巧，因此，希尔伯特说：“没有人能够把我们从康托尔建立的乐园中赶出去。”为了更好地解释无限集合与有限集合的区别，希尔伯特在他1924年1月的一次演讲中，举了一个有趣的具有无穷多个房间的“希尔伯特旅馆”的例子。另有：托里拆利小号悖论。 周涛：绑匪要采用什么样的通讯方式：从解救吾先生谈起 电影《解决吾先生》里讲述了一支党和政府领导下的人民警察队伍，怎么样在不采用酷刑逼供的前提下，通过技侦手段、心理战和胆略经验，成功地从有相当犯罪经验的犯罪分子手中解救了两名“按计划将被杀害”的人质。尽管犯罪分子有充分的反侦经验，包括交通车辆和通讯手段的隐蔽化，但是他们的犯罪模式中存在两个重大的缺陷。 李泳：数学心态 看到一本巴塞罗那大学的博士论文，正文前头引用了Kolmogorov的一段话：In fact, all epistemological value of the theory of probability is based onthis: The large-scale random phenomena in their collective action createstrict, non-random regularity. 这是对概率论和随机性的深度概括。原话出自BV Gnedenko & AN Kolmogorov的经典课本Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables，有钟开莱（KL Chung）先生的英译本（Addison-Wesley, 1954, 1968）。那句话的前面还有一句，更具体强调了极限定理的意义：In reality, however, the epistemological value of the theory of probabilityis revealed only by limit theorems. Moreover, without limit theorems it is impossible to understand the real content of the primary concept of all oursciences ─ the concept of probability. 檀成龙：《中国各地平均降水量与地面水汽压的相关研究》可信吗？！ 中国地面国际交换站累年各月平均降水量与地面水汽压的相关研究表明，正相关且判定系数R2≥ 0.8的站占总数76%；正相关且判定系数R2≥ 0.5的站占总数90%。部分站相关程度极好；相关程度很低甚至负相关的站如伊宁，明显受到了其它因素的干扰影响。中国平均降水量与地面水汽压的关系类似于中国平均降水量与空中水汽含量的关系，两种关系相互印证。相关阅读：《中国各地平均降水量与空中水汽含量的相关研究》值得发表吗？ 柳渝：关于NP讨论中的论域问题（2） 图灵的“论可计算数及其在判定问题上的应用”（On Computable Numbers, With an Application to the Entscheidungsproblem)是1936年的工作，而他的博士论文“基於系数的逻辑系统”（Systems of Logic Based on Ordinals）是1938年完成的。前者可以说是计算机理论中的“圣经”，但后者却给理论和认知带来了很大的困惑，我们膂b为这种结果主要是由於对图灵论文的误解造成的。 杨志强：漫谈3n+1猜想 当L.Collatz还是以个学生时，他问道：由an+1= an/2 (当an为偶数时)和an+1= 3an+1 (当an为奇数时)定义的序列，除了圈4，2，1，4，...以外，是否都是树型结构的(它的含义是指从任何一个整数开始，都有一个使an= 1)?这一猜想已对所有a ≤ 2×1012和许多大数做了检验，当然，到现在为止，所检验的数早已超过这里的了。Eliahou证明了非平凡的圈的周期至少是17087915。如果用3n - 1代替3n + 1 (如果我们允扛5c取负整数的话)，那么很有可能任何序列都以下面几个圈中的一个作为结束：{1,2}，{5,14,7,20,10”d 或者 Mb17, 50, 25, 74, 37, 110, 55, 164, 82, 41, 122, 61, 182, 91, 271, 136, 68, 34}。这一结论对所有a < 108为真。 徐传胜：四则运算符号的历史演进 没有数字的思维是模糊的，没有符号的逻辑是迟缓的。正是数字和符号使我们的思维逻辑层次分明、清晰快捷。我们应用最多的应当是加、减、乘、除这4种运算，现在使用符号“＋、－、×、÷”来表示四则运算，似乎已是自然而然的事情，然而其演化过程却历经了数千年。 邓云贵：三角形不可任意构成，在於有限 1、不能任给成三个有理数，两两之和大於第三数就可构成三角形。2、圆先于直线，直话非礼，可以全部圆形成稳定结构的宇宙。3、圆内接三角形是宇宙间所有三角形。4、高等数学的积分不少圆周率，是宇宙不离开圆形。5、无限不会相当然有，人力所达即是长生不老，即是有限。 徐晓：写给Boltzmann老人家的信 小生所求者，并非推翻老夫子的等概率假说，仅是在强相互作用系统中，使熵的概念更为清晰可用而已，进而祈望对於热力学非平衡系统有清晰准确的熵定义。小生所做的工作，仅是夫子的工作的延伸和推广。若今生有幸，能将湍流纳入热力学架构而处理，小生定前往Duino吊唁。 顾险峰：高山仰止-从微分几何角度浅谈陈省身示性类 陈先生上来就温和地批评清华大学：“偌大的清华，居然没有人讲代数拓扑。”然后，陈先生在黑板上用粉笔画了个三角形，转身问大家“三角形内角和等於多少？”“一百八十度！”大家齐声回答。陈先生於是又问：”那么外角和呢？”“三百六十度！”大家又答道。“很好！外角和比内角和好，因为它可以推广到曲线情形。”陈先生在黑板上画了个封闭曲线，“切向量绕曲线一周，旋转了三百六十度。”陈先生又在黑板上画了个弯曲的曲面片，“起始点边界切向量绕边界一周平行移动，也旋转三百六十度。”由此，陈先生开始解释homology，exterior differential，de Rham cohomology，connection， curvature， characteristic class。 顾险峰：计算共形几何概览 计算共形几何是计算机科学和纯粹数学之间的交叉学科，其目的是将现代几何，经典几何的概念和定理转化为计算机算法，为工程实践服务；同时，用组合离散的方法给出经典几何定理的构造性证明，换言之，用计算机算法语言从头构建经典的共形几何理论，从而绕过了历史上传统的逻辑链条。 顾险峰：道可道，非常道-浅谈代数拓扑 “道可道，非常道。名可名，非常名。”中国古典智慧一直将科学保留在玄学状态，强调“只可意会，不可言传”的意境，依赖学子的“悟性”。古代哲学的概念无法直接复制和操作，“运用之妙，存乎一心”；现代数学恰恰相反，她竭尽全力将抽象晦涩的理念用明晰确切的语言，毫无歧义地表述出来，并且能够设计出通用普适的算法，使得一切理论结果都可以在计算机上操作，复制。代数拓扑就是将“妙不可言”的拓扑，用代数来“可言”，甚至“可算”。 顾险峰：庞加莱的洞察-同伦群的概念 这是现代拓扑学之父庞加莱（Henry Poincare）曾经深入思考过的问题。如上图所示，小猫曲面具有一个环柄，具有三维的“洞”。那么，这个“洞”是因为曲面嵌入在三维欧式空间中所产生的吗？换言之，这个“洞”是曲面和三维空间的相对关系，还是曲面自身内蕴的特性？ 顾险峰：野火烧不尽-同伦群的计算 现代科技颠覆著经典的几何拓扑学习方法，最为有效的途径是阅读思考，设计算法，编程调试，观察结果，从动手实践中掌握理论。您可以一边运行演示程序，一边阅读理论解释，视觉直观将会令您迅速精通同伦群组合算法的要义。 顾险峰：高瞻远瞩-万有覆盖 一个拓扑空间中从基点出发的所有道路同伦等价类构成的空间就是万有覆盖空间; 将道路同伦类映到道路终点的映射就是投影映射。万有覆盖空间的基本群平庸（单连通），但是其对称群（保投影的自同胚群）却同构于底空间的基本群。底流形间的映射可以被升腾为覆盖流形间的映射，例如底空间的环路可以被提升为覆盖空间中的道路，这极大地简化了拓扑复杂度。万有覆盖空间的应用，使得我们对许多拓扑问题有了更为深刻的洞察，更为简洁凝练的语言，和更为强有力的手法。可谓，只有站得更高，才能看得更远。 顾险峰：万变不离其中-布劳威尔不动点 布劳威尔不动点定理可以直观地解释如下。假设我们有一杯咖啡，我们缓慢均匀地将它搅拌，使得没有湍流和气泡产生。然后令咖啡徐缓地静止下来。我们可以断言，至少有一个分子，它在搅动前的位置和它在静止后的位置重合。有另一个解释更加广为人知。设想在桌面上有一张纸，成标准的长方形。我们将其揉皱成一团，将纸团扔在长方形内。那么，纸上至少有一点，它在纸团上的位置的垂直投影等於它在揉皱前的初始位置。 顾险峰：大数据拓扑分析的基础-同调理论 由庞加莱猜测，我们知道：相对於曲面而言，同伦群和同调群保留了相同的信息，因此彼此等价；对於三流形而言，同伦群反映的信息远远多于同调群，同伦群强于同调群。但是，同伦群本身为非阿贝尔群（非交换群），判定两个非阿贝尔群是否同构是非常繁难的问题。相反，同调群是同伦群的阿贝尔化，阿贝尔群的计算只需要线性代数。因此，同调论在大数据分析和物联网领域被广泛应用。 顾险峰：形状分析和同调群的同伦不变性 代数拓扑的目的是将拓扑范畴的问题转换成代数范畴的问题，用代数方法加以解决。最为基本的问题之一就是判断两个拓扑空间是否同胚。在理想情形下，我们为每一个空间配上一系列群结构，如果这些群彼此同构，则空间拓扑同胚。但是，目前代数拓扑的方法还没有到达这一程度。同调群同构只能推出空间伦型等价。伦型等价远远弱于拓扑等价。 顾险峰：山外青山-浅谈不动点类理论 求解方程一直是数学发展的一个源动力，通常求解方程等价于求算子的不动点。如果算子的作用域的拓扑比较复杂，并且算子有扰动，不动点的行为分析就非常有挑战性。关于不动点有三个层次的问题，深刻程度有所差异，所使用的工具也截然不同。第一个层次是不动点的存在性问题，其解答是莱夫希茨（Lefschetz）理论，所用工具是同调论（请看前面有关讨论【大数据拓扑分析的基础-同调理论】）；第二个层次是不动点几何个数的下界，其答案是尼尔森（Nielsen）理论，所用工具是同伦论（请看前面有关讨论【庞加莱的洞察-同伦群的概念】）；第三个层次是下界是否可以达到，所用工具已经超出代数拓扑，而是瑟斯顿的曲面自映射分类理论，属於几何拓扑，与微分几何和共形几何紧密相连。 顾险峰：玄之又玄，众妙之门-吴文俊示痕类思想浅析 代数拓扑是一门玄妙的学问，上同调理论更是妙中之妙，众妙之门。相比于下同调，上同调更加抽象。这里我们用场论直观解释上同调的基本思想，然后阐述德拉姆上同调的概念，并用单纯上同调介绍计算方法。作为应用，我们考虑同痕判定问题。如图1所示，一个抽象的亏格为二的曲面在三维欧式空间中有两个实现（嵌入），左边的嵌入简单直接，环柄没有打结，右边的嵌入相对复杂，两个环柄都是扭结。因此其中的一个曲面无法渐变成另外一个，并且在形变过程中不出现自相交。这意味著这两个嵌入彼此不同痕。我们的目的是：如果不用人眼观察，如何设计计算机算法来自动判别？吴文俊先生出神入化的杰作-吴示痕类给出了算法层面的解答。 顾险峰：摩尔定律的拯救者-从组合角度浅谈陈省身示性类 在过去的几十年，计算机科技彻底地颠覆了人类社会的所有方面，这一切都是基於集成电路技术发展的摩尔定律：集成电路上可容纳的晶体管数目，约每隔24个月便会增加一倍。由於物理规律的制约，人们预计摩尔定律将于2015年终止。目前，人们寄希望于拓扑绝缘体理论和技术的发展，希望拓扑绝缘体能够力挽狂澜，拯救摩尔定律。凝聚态物理中的拓扑绝缘体理论是基於陈省身示性类的。恰如黎曼发明了黎曼几何，多年之后被爱因斯坦用于表达广义相对论；陈先生发展了陈类理论，多年之后成为拓扑绝缘体的理论根基。历史一再证明，数学家对於纯粹美学价值的追求，最终导致最具实用价值的技术，从而从根本上促进了生产力的发展，提升了人类文明。 顾险峰：黎曼几何的发轫-浅谈高斯绝妙定理 历史上，庞加莱问了如下的问题：如果一只具有高度智慧的蚂蚁从出生起就一直生活在一张曲面上，他（她）没有任何三维的概念， 那么这只蚂蚁如何判定这张曲面是否存在“孔洞”？换言之，蚂蚁如何理解这张曲面的拓扑？为此庞加莱发明了代数拓扑，用同伦群的概念完美地加以解决。后来，爱因斯坦的小女儿问他“为什么你那么有名？”爱因斯坦给她讲了蚂蚁的故事，然后说“别的蚂蚁都以为这张曲面是平直的，只有我这只蚂蚁看出来空间是弯曲的。” 今天，我们漫谈如何用活动标架法来发现曲面的内蕴几何。 顾险峰：如何从大脑的形状判断一个人的智商 人类主要的思维活动由大脑所主宰。大脑的几何形状和人的智力水平之间的关系一直是饶有兴趣的话题。如何用严密的方法定量或定性地证实或证伪大脑皮层的几何特徵和智力水平间的相关性是一个非常具有挑战性的问题。大脑皮层曲面的几何复杂性是这一挑战性的原因之一。如图所示的两个大脑皮层曲面，我们能够通过考察它们复杂的几何来判定哪一个更聪明吗？ 顾险峰：曲面单值化定理的离散证明 近些年来，计算机技术飞速发展。在实际算法中，绝大多数光滑曲面都被多面体曲面（离散曲面）所逼近。经典的理论应该被推广到离散情形。能否将经典单值化定理推广到离散情形，这一问题具有根本的重要性。最近，几名中国数学家成功地建立了离散曲面单值化的理论，并且基於这一理论发展了一系列的算法，应用到医学和工程领域。 王方汉：试论数学诗和现代数学诗 数学入诗是数学诗吗？2 什么是数学诗；3 数学诗的运用。 顾险峰：几何逼近论-从离散几何角度浅谈陈省身示性类 陈省身先生曾经说过，基本的几何规律具有很强的普适性，它们在光滑流形和离散流形上都成立，例如高斯-博内定理，流形光滑性条件是否本质上必要，这一点值得商榷。数十年后，依随三维扫描技术的蓬勃发展，离散几何理论有了巨大的突破。几何逼近论日益成熟，使得我们可以用连续的高斯-博内定理来证明离散的定理，反之亦然。这里，我们介绍法丛理论，它将连续和离散的曲面几何有机地统一起来，在同一个理论框架下讨论曲率测度，从而给出曲面陈类的离散几何证明。 单治超：数学学习到底要达到什么目的 1. 数学学习过程中你会遇到种种困难，遇到不理解的定理，不会做的问题，简直是太正常了。这时候你不骄不躁，保持快乐的心情，就是在训练“情商”。 2. 数学不是自己一个人在学，是你解决完数学题目之后给别人看。此过然b中你的写作能力就得到了训练。 在引力理论中，对於包含物质和引力场的体系，存在如下两类能动张量密度守恒定律即，一、Lorentz 及 Levi-Civita守恒定律，二、爱因斯坦守恒定律。 张慧铭：斯坦福统计教授David Donoho发文41页说明数据科学与统计学的不同 斯坦福统计教授David Donoho针对媒体的大数据炒作，说明数据科学与统计学的不同。作者是压缩感知方面的专家，还是范剑青教授的导师，文章值得一读。他对现代数理统计学的深远贡献：他开创了在有噪声情况的最优统计估计算法；而他又建立了在大数据中实现稀疏表示和复原的高效率技巧。 彭真明：三页PPT一堂课 印象比较深的一堂课，就是上周五下午的一次课，2学时就讲了3页PPT，核心内容就1页PPT。 曹广福：说课(14)（两种数学语言的转换）实变函数 变函数的一个典型特徵是常常需要用集合论的语言描述函数的性质，并懂得两种不同语言之间如何进行相互转换。如果学生学会了函数论语言与集合论语言的相互转换，就再也不会感到实变函数莫测高深了。 袁贤讯：减法、迭代与工程优化 老师终於给已是二年级的嘟嘟布置了这学期以来第一次数学家庭作业。几道应用题，最后一道才涉及到减法。三个队，甲、乙、丙送披萨，甲、乙两队的披萨数已知，总的披萨数也已知，问丙要送多少块披萨。用我们大人的眼光，这数学题当然一眼就知道答案，但对嘟嘟却并非如此。教小孩的好处是，你有一次很好的机会体会原汁原味的原创思维，前提是，做老师的或做家长的思维要足够开放，心情要足够的放松。 单治超：概率论主要期刊 概率论与数理统计的主要期刊，我搜索了一下，这个网站提到的2014年度概率统计的SCI期刊已有66种至多。 谭永滨：语义处理的门外汉──读《数学之美》有感1 以前觉得利用各种语义形式化表达方法，比如概念格，把概念的语义给分解开，让计算机明白概念的意义，这样就能够进行一些智能化处理，原来这种方式并不是正确的路子。 顾险峰：流形样条理论-从几何建模角度浅谈陈省身示性类 现代社会中，汽车，船舶和航空制造业，乃至整个机械工业都是基於样条理论的。随著加工曲面的拓扑和几何日趋复杂，样条构造方法需要被推广到流形情形。在过去的数十年间，将样条理论自然地推广到流形上一直是几何建模领域的中心课题。但是，无论学者和工程师如何殚精竭虑，巧思妙想，曲面上的样条构造总是无法避免一些光滑性变差的奇异点。陈类理论指出这些努力是徒劳的，样条理论的基本构造决定了其内在不可避免的缺陷。 顾险峰：调和映照漫谈 I 物理上，调和映射极小化弹性形变势能，因而物理意义明确；偏微分方程理论证明了调和映照的存在性，唯一性，正则性，稳定性和光滑性；有限元方法保证了离散解到连续解的收敛性；数值计算方法的共轭梯度法保证了调和映照计算的高效性；微分几何保证了调和映射的共形不变性和微分同胚性。因此，调和映照简单直观，理论完备，在工程实践中被广泛应用。 "纳维-斯托克斯方程"是流体力学中非常有名的方程。武际可老师在《1920年以前力学发展史上的100篇重要文献》名下列出了纳维与斯托克斯的重要文献，未提及圣维南（Saint-Venant）1843年发表的《流体动力学研究》。粘性流体的运动方程首先由Navier在1827年提出，只考虑了不可压缩流体的流动。Poisson在1831年提出可压缩流体的运动方程。Saint-Venant在1845年，Stokes在1845年独立提出粘性系数为一常数的形式，现在都称为Navier-Stokes方程，简称N-S方程。）不过，还是犯了一个明显的史实错误，将其他正式文献已指出的“早于斯托克斯两年公开发表成果的圣维南（1843）”与斯托克斯的发表时间都称作1845年。可以假想，如果圣维南不是由於反对掀起国内战争，而在法国名誉遭受重创，出现在武际可老师《1920年以前力学发展史上的100篇重要文献》中可能就不仅是斯托克斯而是圣维南与斯托克斯两者并列了。 王永晖：高中生数学学习的根本方略 高中阶段的学习，高考状元们的一个经验是搞好“错题本”，那么根据我的教学法，这个是非常对的，可惜很多同学们执行力不强，没真正做到。 张慧铭：数学与统计学文献检索与利用方法、获取与免费下载技巧ppt 2015版 满满187页的ppt，适用于数学建模比赛或学术论文写作时查找文献，内容包括：0，前言；1，中文资料；2，英文资料；3，获取与免费下载技巧；4，习题。 张忆文：《数学之美》摘抄 《数学之美》由吴军所著。1.乔姆斯基（Noam Chomsky 有史以来最伟大的语言学家）提出“形式语言”以后，人们更坚定了利用语法规则的办法进行文字处理的信念。2.首先成功利用数学方法解决自然语言处理问题的是语音和语言处理大师贾里尼克 (Fred Jelinek)。当时贾里尼克在 IBM 公司做学术休假 (Sabbatical Leave)，领导了一批杰出的科学家利用大型计算机来处理人类语言问题。统计语言模型就是在那个时候提出的。3.复杂的语音识别问题通过隐含马尔可夫模型能非常简单地被表述、解决，让我不由由衷地感叹数学模型之妙。4.八十年代李开复博士坚持采用隐含马尔可夫模型的框架， 成功地开发了世界上第一个大词汇量连续语音识别系统 Sphinx。 陈正茂：关于不完备性定理和不确定性原理的探讨（十）（7） 中国终於诞生了第一个诺贝尔科学家，不想随之而来的关于中医科学论的争论却不绝于耳。国人认为屠呦呦得奖是中医的成就，国外专家则声称青蒿素的提取与中医学无关。事实上，关于中医是否科学论的争执也不是一天两天了。反方最大的理由是，中医一直以《黄帝内经》等古籍为理论基础，哪怕数千年人类文明发展以后，中医理论依然无法超越古人的认识论。从这点看中医似乎更像宗教，与不断前进推陈出新的科学精神相悖。相较而言，西医把人看作各器官零件的组合系统，微观精确考量各种指标。西医这种量化系统属於自然科学的架构。所以有人说中西医关键的区别是，中医的思维模式是语文式的，而西医的系统思维是数学化的，数学度量的系统分析显然更胜一筹。 唐常杰：讲话重尾习惯的数学模型及其矫正 几位教师说，录音矫正法颇有效，当听到自说自录的声音，第一感觉是：“这是我的声音吗？”，“我会有那么多口禅吗？”， 真的是“不录不知道，一听自己笑”。经过一段时间的自我矫正，老师们口头表达大有进步，有的口头禅已得到矫正。但有一位老师说，听录音后，发现自己每两三句话，就重复半句，难听死了，矫正挺难，问有没有妙法来纠正这种“讲话重尾”的毛病？ 本文引用地址：https://blog.sciencenet.cn/blog-420554-932670.html 此文来自科学网蒋迅博客，转载请注明出处。 上一篇：庆祝2015年万圣节 ");
}
最近阿姆斯特丹大学的 Taco Cohen 来做了一个非常有意思的报告，讲述图像不在平面，而在球面或十二面体上时，如何设计卷积神经网络。Taco Cohen 是群等变卷积 【文献2】，可操控卷积 【文献4，5】，球面卷积【文献8】，以及今年刚出的规范等变卷积【文献9】的作者。他的一系列文章考虑了当输入图片有特定对称性，或处于复杂几何体的表面时，如何使用群论指导卷积神经网络架构的设计。对低层卷积核的可视化研究发现【文献14】，很多卷积核除了旋转角度不同，基本全同。如果有办法定义旋转不变（或旋转等变）的卷积核，将会大大减少卷积核的个数，以及由这些冗余的卷积核引入的参数。Taco Cohen 的群等变卷积，steerable 卷积，都是试图在卷积中加入对称性，在不增加计算负担的条件下，带来比传统卷积更强的权重共享和模型表达能力。接下来会介绍这一系列研究的可能应用场景，以通俗的语言简单讲述“对称性”，“群论”，“流形”以及“规范等变”，最后回到流形上的规范等变卷积及具体实现过程。应用场景球面上的卷积，全球气候预报Nasa 发布的全球变暖趋势。颜色代表5年平均温度除以 1951 到 1980 年的平均温度。北极地区温度提升了4倍（华氏）。2. 全向摄像头数据, 无人机拍摄的图片3.
三维物体识别, 三维物体表面识别（如淘宝服装的买家与卖家秀）4. 弯曲表面，或弯曲排布的文字识别这些应用场景有一个共同点，即作用于平面上的普通卷积不再适用。后文会讲述在这些场景中使用平面卷积可能遇到的各种问题。不变性 Invariant 与等变性 Equivariant卷积神经网络 CNN 能够在平面图像识别领域一统江山，除了局域连接和共享权重，另一个关键是平移等变性。注意这里用到了等变性 Equivariant，而不是不变性 Invariant。这两者有何区别呢？【文献12】给出了一个非常好的解答。看 variant 的前缀，In 表示“否定”，Invariant 等价于no variance at all。即对输入 x 做变换 T，神经网络 f 的输出不变：Invariant:
f(T(x)) = f(x)最简单的不变性例子是 Pooling ，一个 3x3 的格子，max pooling 只给出所有格子上的最大值，average pooling 只给出所有格子的平均值，对格子里面元素的重排变换不改变pooling结果。Equi 表示“等量或等比例的“, 等变性 Equivariant 表示，对函数 f(x) 的输入 x 做一个对称性变换T，等价于对函数的输出 f(x) 做一个对称性变换 T。即 f 和 T 对易，Equivariant: f(T(x)) = T'(f(x))最简单的例子是一维卷积，如果输入 x = (0, 3, 1, 3, 0), 卷积核 k = (1, -1), 那么卷积操作的输出为 y = k \circ x =
(-3, 2, -2, 3)。假设输入向右平移两位，变为 T x = (0, 0, 0, 3, 1, 3, 0) , 使用同样的卷积核，卷积操作输出为 y‘ = k \circ T x = (0, 0, -3, 2, -2, 3) = T y , 即输出也向右平移了两位。Pooling 的不变性和卷积的平移等变性都是一种对称性。虽然在这个例子中 T' = T , 但一般来说并没有这种要求。也可以换一种方式理解等变性。比如下图所示卷积，输入部分 x是被覆盖的黄色区域，卷积操作用粉红色区域点乘黄色区域表示, 写成函数 f，右边是原始卷积结果 f(x)。当对 x 做一个逆时针旋转操作得到 g x 时，为了保证卷积结果不变，卷积核也必须做一个对称变换，相当于对卷积函数 f 做对称变换 \mathcal{L}_g[f] 。等变性 Equivariant。为了保持卷积结果不变，对 x 做对称性变换 g 的同时，必须对卷积核也做相应的对称变换, 这样才能保持结果不变。如果做变量代换 x \rightarrow g^{-1} x ，即可得到： \mathcal{L}_g[f](x) = f(g^{-1} x) 。在 Taco 的一系列文章里，出现的最多的就是这个公式。比如对于旋转操作， \mathcal{L}_R [f](x) = f(R^{-1} x) 。这个公式可以进一步推广，现在假设坐标架固定，x 表示为对坐标架做一个群操作 Q，那么上面的等变公式可以认为是作用在 Q 上，\mathcal{L}_R [f](Q) = f(R^{-1} Q) 对输入数据做平移，旋转，镜像，缩放等增广操作，会使CNN有一定的平移，旋转，镜像和尺度不变性，即最终预测结果不会因为这些增广而变化。这也是半监督学习里面自洽性约束的关键。但一般的增广并不能覆盖输入空间中的所有区域，比如常用的增广旋转角度，一般在正负30度。对称性与群论 （Group Theory）某物在某种变换下保持不变的性质叫做对称性。当代物理学有个著名的诺特定理，说拉氏量的每个连续对称性都对应一个守恒量。比如时间平移不变性，对应能量守恒；空间平移不变性，对应动量守恒；空间旋转不变性，对应角动量守恒；净电荷守恒，来自U(1) 规范变换不变性；核力中的色荷守恒，来自SU(3) 非阿贝尔规范变换不变性。群论是关于对称性的数学理论。一个群由群元素，以及群元素之间的乘积定义， G = \{g, \cdot\} 。群元素对应对称变换，乘积对应两个对称变换的综合效果。一个群中要有一个单位元，对应不做任何操作；如果两个对称操作都属于群G，那么他们的乘积也属于群G；如果做对称变换，再做反变换，等价于单位元（不做任何操作），这也要求群G中每个元素必须有逆变换。数学表达如下，g_1 \in G, g_2 \in G \Rightarrow g_1 g_2 \in G I \in G {\rm if } \ g \in G, {\rm then }\ g^{-1} \in G, {\rm where}\
g g^{-1} = I 群元满足结合律，即 (g_1 g_2 ) g_3 = g_1 (g_2 g_3) 。但群定义里并不要求交换律，满足交换律 g_1 g_2 = g_2 g_1 的叫阿贝尔群，不满足交换律 g_1 g_2 \neq g_2 g_1的叫非阿贝尔群。最简单的不满足交换律的例子就是矩阵的乘积。对称操作这个抽象的概念用数学公式表达就是矩阵。为了在卷积中引入旋转等变性，我们首先要考虑的是 SO(n) 群，这个群中文名为特殊正交群。SO(n) = \{ A \in GL(n) : A^TA = AA^T = I, \mathrm{det}(A) = 1 \} nxn 矩阵的集合叫一般线性群 GL(n)，特殊正交群的群元 A 满足两个性质，“特殊“性，即 \mathrm{det}(A) = 1 ，代表朝向固定，不存在镜像操作将右手坐标架变成左手坐标架。“正交“性，即
A^TA = AA^T = I ，代表旋转只改变矢量的方向，不改变模长，坐标架保持垂直。SO(2) 群非常简单，就是沿2维平面一个圆的圆周做旋转。SO(2) = \{ A = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & - \sin(\theta) \\ \sin(\theta) &
\cos(\theta)
\end{bmatrix}
: \theta \in R \} 可以验证上面这个矩阵形式满足特殊性和正交性。 \theta=0 对应单位元。为了做 3 维球面的卷积，需要考虑
SO(3)
群，SO(3) 群一般用欧拉旋转矩阵表示，计算机图形学里一般都会讲如何将一个三维几何物体做各种旋转。对于没有对称性的物体，想将物体表面的一个点旋转到空间另一个点，需要的旋转操作为A = R_Z(\gamma) R_Y(\beta) R_Z(\alpha) 即先绕 Z 轴转 \alpha 度角，再沿 Y 轴转 \beta
度角，最后再沿 Z 轴转 \gamma
度角。如果旋转体本身沿Z轴旋转对称，第一个绕 Z 轴旋转的操作可省略。什么是流形 （Manifold）你所见到的任何光滑表面都是流形。比如你的电脑屏幕，球面，立方体的表面等等。但是流形并不局限于二维，它可能是n+1维物体的n维光滑表面。为什么要引入流形这个概念呢？这是因为有些曲面有非常独特的内在性质。比如球面，你可能想过将橘子皮展平或者将一个瘪了的篮球展平，而无法做到。又比如全球地图，你所看到的平直纸面上的全球地图，是极度扭曲和失真的，看起来很大的格陵兰岛，实际面积很小，而地图上看起来很小的印度，实际面积很大。地图的上沿，其实是同一个点（北极）；地图的下沿，也是同一个点（南极）；地图的左边与右边，在地理位置上是同一条线。当你想使用卷积神经网络预测全球天气时，就会遇到很多困难。如果在日常使用的全球地图上做卷积，卷积核在赤道覆盖的面积要远大于其在北极覆盖的面积。另一个困难如下图所示，如果将卷积核沿红线从球的正面移动到背面，卷积核的右边对应红色箭头方向。如果将卷积核沿蓝线移动到球的背面，卷积核的右边对于蓝色箭头方向。沿红蓝不同路径移动卷积核，卷积核的右边对应的方向刚好相反。这个例子说明，球面上的卷积不像想象的那么简单。平面上的卷积操作是卷积核和它覆盖区域的一对一点乘。在球面上，如果只考虑横向的两个点，沿蓝线走，卷积结果可能是 w_1 x_1 + w_2 x_2 , 沿红线走，结果就变为 w_2 x_1 + w_1 x_2 。球面上找不到统一的卷积定义。规范等变卷积 （Gauge Equivariant Convolution) 图像相当于标量场 (Scalar field)，每个坐标对应一个数值，类比温度在空间的分布。卷积核相当于一个测量设备。卷积操作相当于使用设备测量局域温度，计算一个平均值，再移动设备到下一个位置。如果不同地区使用不同的规范，比如中国使用摄氏度，夏天最高温度40多摄氏度，美国使用华氏温度，测得夏天最高温度100多华氏度，不做规范变换，无法比较两地温度高低。考虑在地球表面均匀放置无数指南针，每个指南针的指向都是一个矢量，这些矢量遍布空间，称做矢量场 (vector field)。如果测量的时候使用了不同的局域坐标架（不同的规范），那么测得每个矢量的指向随规范而变化。如下图所示，球面是个流形 M， U_1 是蓝色箭头下的局域空间，U_2 是红色箭头下的局域空间，弯曲流形M的局域可以近似看作平直，比如平直拉伸后的 V_1
和 V_2 。地球上那个黑色箭头，代表待测量的矢量。这个待测矢量在 U_1和 U_2 规范下，位置不同，方向不同，模长也不同。二维平面上的卷积可以看作卷积核和覆盖区域（feature map 或 field) 的点乘。在一般流形上，为了保证规范等变，需要满足：\sum_i w_i x_i = \sum_i \tilde{w}_i \tilde{x}_i 在讲述如何实现上式之前，先说明一下球面上无法找到一个光滑的全局规范。这是什么意思呢，参考文献【11】给出了一个很形象的来自于代数拓扑的例子：毛球理论。如果你想用一个全局规范抚平一个毛球，就会遇到下图的问题，总是有两个反常点（南极，北极），规范突变。为了解决这个问题，一般的做法是像上一张图一样，选择多个有重叠区域的规范，使得数学可以平滑进行。毛球理论如何设计流形上的卷积文献 【5】里面一个例子使用了高斯基对卷积核展开，基为 \psi_{j k}(r, \phi)=\tau_{j}(r) e^{i k \phi}其中 \tau_{j}(r)=\exp \left(-\left(r-\mu_{j}\right)^{2} / 2 \sigma^{2}\right) \text { with } \mu_{j}=j ，这样 j 可以控制径向结构。k 控制方位角结构。学到的卷积核可以用这组基展开，\tilde{\Psi}(r, \phi)=\sum_{j=1}^{J} \sum_{k=0}^{K_{j}} w_{j k} \psi_{j k}(r, \phi) 对这个卷积核做旋转角度为 \theta 的操作则等价于在基展开的时候每一项乘一个因子， e^{-ik\theta} 。R_{\theta} \tilde{\Psi}(r, \phi)=\sum_{j=1}^{J} \sum_{k=0}^{K_{j}} w_{j k} e^{-\mathrm{i} k \theta} \psi_{j k}(r, \phi) 里面的负号就是我们之前在群等变公式 \mathcal{L}_R [f](Q) = f(R^{-1} Q)里看到的 R^{-1} 起的作用。Steerable 卷积中设计旋转不变的卷积具体示意图如下，第一层每个 filter 都人工拷贝 A 份，每份拷贝做一个角度为 \Psi^i 的旋转，得到 A 个 feature map。对隐藏层的
feature map，使用 A 阶循环群，对 A 个 feature map 做循环重排。最后使用 Max Pooling 进行归并。2. 球面卷积中的方法对球面 S^2 可以使用球谐函数 Y_l^m 作为基，对于 SO(3) 群，使用 Wigner-D 函数 D^l_{m n} 作为基，对卷积核和feature map 展开。比如简单的球面卷积，用球谐函数 Y_l^m展开\psi 在上图中表示卷积核，f 表示输入图像或输入的 feature map，将两者都用球谐函数 Y_l^m展开后，得到 l =
0, 1, 2, 3, ...
以及对应每个 l
的 2 l + 1 = 1, 3, 5, 7, ...
项不同的 m 值。（注： m = -l, -l+1, ..., 0, 1, ... l ;
共 2 l+1
项）。使用外积 \otimes 得到成块对角的 feature map 矩阵, 求和完成卷积操作。最后使用 SO(3) 群的逆傅立叶变换，得到 SO(3) 坐标下的 feature map。输入中的 \alpha, \beta 是球面坐标，输出 feature map 中的 \alpha, \beta, \gamma 是 Z(\gamma) Z(\beta) Z(\alpha) 欧拉旋转的三个旋转角，这三个角也被用作坐标。这个算法被用作3维物体分类。3维物体的表面使用 ray tracing 表示。每条射线都由一个包含3维物体的球的表面射出，指向球心。射线与3维物体表面的交点则给出了长度，极角以及方位角三个信息。这个方法也被用于分子能量预测。3. 规范等变卷积中的方法究竟如何实现规范等变呢？没有别的办法，首先为流形的子集任意选择一个光滑的局域规范，比如蓝色箭头定义的局域规范。从任何一个点 p 出发，我们可以像平面卷积一样定义一个卷积核 ，以及卷积核的朝向，并将其与局域的 input feature map 匹配点乘，从而计算出 output feature map。到目前为止实现了局域卷积，但为了让 output feature map 满足等变性，还必须对卷积核做一些线性约束。使用的依旧是 \mathcal{L}_R [f](Q) = f(R^{-1} Q) 公式。这篇文章使用的例子是20面体。20面体的每一面都是平直的，但整体又是很好的球形近似。在20面体里，有一种之前没有讲到的对称性。这种对称性可用 6 阶循环群 C_6 表示。这个群可以描述为 6 个角度为
k · 2π/6 的平面旋转。将每4个面归为一个 chart，那么总共会有 5 个charts。下方左图20面体中灰色的那些面构成了chart V5，从 chart V5 到 chart V4 对应一个规范改变。一旦得到 V5 处的卷积核，可以将它旋转
k · 2π/6 度角，其中 k = 0, . . . , 5, 并将旋转之后的卷积核匹配到对应的 chart 得到新的 feature map。总结：流形上的卷积是一个很有意思的研究方向。这个方向继续发展应该可以大大减少深度神经网络中冗余卷积核（比如说旋转对称的卷积核）的个数。 Taco 在给报告的时候也提到，对于特定的流形，必须考虑使用不同的群对称操作，或者不同的规范。比如在二十面体里使用六阶循环群，这是人选确定的，完全浪费了深度学习强大的端到端学习能力。一个可能的研究方向是如何使用神经网络首先判断流形的种类，然后自动选择对称性和规范变换。比如，如何自动判断下图中文字排布的流形，自动选择对称性，构造规范等变的卷积，使得弯曲表面或弯曲排布的文字识别更加健壮。本来想给一个更加全面，更加通俗的介绍，但是发现这个方向的研究比较晦涩，以有限的空余时间也只能理解到目前这步。参考文献：Long-Hua Wu and Xiao Hu,Scheme for Achieving a Topological Photonic Crystal by Using Dielectric MaterialGroup Equivariant Convolutional Networks
群等变卷积Geometric deep learning: going beyond Euclidean data 非欧深度学习Steerable CNNS Learning Steerable Filters for Rotation Equivariant CNNs HexaConvIntertwiners between Induced Representations with Applications to the Theory of Equivariant Neural NetworksSpherical CNNS
Paper, Github
球面卷积Gauge Equivariant Convolutional Networks and the Icosahedral CNNzhihu, 从群等变卷积网络到球面卷积网络An Easy Guide to Gauge Equivariant Convolutional Networks
很棒的英文科普https://datascience.stackexchange.com/questions/16060/what-is-the-difference-between-equivariant-to-translation-and-invariant-to-tr 等变性与不变性的区别https://zhuanlan.zhihu.com/p/34288976 等变性与不变性Visual Interpretability for Convolutional Neural Networks 可视化低层卷积核旋转不变性Nasa 全球气候变暖图片
2023七年级上册数学知识点总结归纳（10篇）七年级数学知识点总结怎么写才不会流于形式呢?总结是把一定阶段内的有关情况分析研究，做出有指导性结论的书面材料，下面是小编给大家整理的2023七年级上册数学知识点总结归纳，仅供参考希望能帮助到大家。2023七年级上册数学知识点总结归纳篇1代数式中的一种有理式：不含除法运算或分数，以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者，则称为整式。 (分母中含有字母有除法运算的，那么式子叫做分式)1.单项式：数或字母的积(如5n)，单个的数或字母也是单项式。(1)单项式的系数：单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的'系数。(如果一个单项式，只含有数字因数，系数是它本身，次数是0)。(2)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数(非零常数的次数为0)。2.多项式(1)概念：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。(2)多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。(3)多项式的排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列;把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。在做多项式的排列的题时注意：(1)由于单项式的项包括它前面的性质符号，因此在排列时，仍需把每一项的性质符看作是这一项的一部分，一起移动。(2)有两个或两个以上字母的多项式，排列时，要注意:a.先确认按照哪个字母的指数来排列。b.确定按这个字母降幂排列，还是升幂排列。3.整式:单项式和多项式统称为整式。4.列代数式的几个注意事项(1)数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ”乘，或省略不写;(2)数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号;(3)数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a;(4)带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式;(5)在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成3/a的形式;(6)a与b的差写作a-b，要注意字母顺序;若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a .整式的加减运算1.同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项。(同类项与系数无关，与字母排列的顺序也无关)。2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。不能合并的项单独作为一项，不可遗漏3.整式加减实质就是去括号，合并同类项。注：去括号时，如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。4.几个重要的代数式：(m、n表示整数)(1)a与b的平方差是：a2-b2 ; a与b差的平方是：(a-b)2 ;(本式中2为平方)(2)若a、b、c是正整数，则两位整数是：10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c;(3)若m、n是整数，则被5除商m余n的数是：5m+n ;偶数是：2n，奇数是：2n+1;三个连续整数是：n-1、n、n+1;(4)若b>0，则正数是:a2+b，负数是：-a2-b，非负数是：a2，非正数是：-a2 (本式中2为平方)初中生如何能轻松学好数学有哪些技巧和方法初中生学习数学要会独立思考初一初二是数学开窍的阶段，在解题上初中生一定要学会自己独立去思考。你需要做的就是不断的做题来培养自己的这一能力。而在积累到一定的数量之后，你的这种独立解题的能力是别人无法超越的。这个培养过程很简单也很短，只要你得到一点的成就感对于初中数学你就会充满自信。其实，学好初中数学关键在于自己的真实能力，而不是形式。很多的初中生数学笔记一大堆，最后考试的成绩也就是那样。在学习上初中数学也好，其他科目也罢，不要讲究形式感，关键是要把一个个的问题和知识学透。不反对记笔记，但是不要一味的做笔记，听初中数学课是需要过脑子的。学好初中数学要较真数学是一门严谨的学科，对于自己不会的地区和知识点初中生绝对不能模棱两可的就过去了，而是要把它弄清楚做明白。有的同学在初中数学的学习中不会只是因为不熟而已，那么怎么办?就是多练习和多思考，数学的学习没有什么捷径和技巧，熟能生巧才是最好的学习技巧。另外，初中数学想要打高分，在做题方面一定要仔细和认真，不能马虎。数学数据的平均数中位数与众数知识点1.数据13,10,12,8,7的平均数是10.2.数据3,4,2,4,4的众数是4.3.数据1，2，3，4，5的中位数是3.2023七年级上册数学知识点总结归纳篇2第一章丰富的图形世界1、几何图形从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。2、点、线、面、体(1)几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。面：包围着体的是面，分为平面和曲面。体：几何体也简称体。(2)点动成线，线动成面，面动成体。3、生活中的立体图形圆柱柱生活中的立体图形球棱柱：三棱柱、四棱柱(长方体、正方体)、五棱柱、(按名称分)锥圆锥棱锥4、棱柱及其有关概念：棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。n棱柱有两个底面，n个侧面，共(n+2)个面;3n条棱，n条侧棱;2n个顶点。5、正方体的平面展开图：11种6、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。7、三视图物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。主视图：从正面看到的图，叫做主视图。左视图：从左面看到的图，叫做左视图俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。8、多边形：由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形，叫做多边形。从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个n边形分割成(n-2)个三角形。弧：圆上A、B两点之间的部分叫做弧。扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。第二章有理数及其运算1、有理数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数负有理数或整数有理数分数2、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可)。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。4、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。5、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。(|a|≥0)。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0;若|a|=-a，则a≤0。6、有理数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大;两个负数，绝对值大的反而小。7、有理数的运算：(1)五种运算：加、减、乘、除、乘方(2)有理数的运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。(3)运算律加法交换律abba加法结合律)()(cbacba乘法交换律baab乘法结合律)()(bcacab乘法对加法的分配律acabcba)(第三章字母表示数1、代数式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。2、同类项所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。3、合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。4、去括号法则(1)括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。(2)括号前是“”，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。5、整式的运算：整式的加减法：(1)去括号;(2)合并同类项。第四章平面图形及其位置关系1、线段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。线段有两个端点。2、射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端点。3、直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。直线没有端点。4、点、直线、射线和线段的表示在几何里，我们常用字母表示图形。一个点可以用一个大写字母表示。一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示(端点字母写在前面)。一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示。5、点和直线的位置关系有两种：①点在直线上，或者说直线经过这个点。②点在直线外，或者说直线不经过这个点。6、直线的性质(1)直线公理：经过两个点有且只有一条直线。(2)过一点的直线有无数条。(3)直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。(4)直线上有无穷多个点。(5)两条不同的直线至多有一个公共点。7、线段的性质(1)线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。(2)两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。(3)线段的中点到两端点的距离相等。(4)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。8、线段的中点：点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。9、角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。10、平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。11、角的表示角的表示方法有以下四种：①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。③用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角，如∠B，∠C等。④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。12、角的度量角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。把1’的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。1°=60’，1’=60”13、角的性质(1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。(2)角的大小可以度量，可以比较(3)角可以参与运算。14、角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。15、平行线：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。注意：(1)平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。(2)当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。16、平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。补充平行线的判定方法：(1)平行于同一条直线的两直线平行。(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。(3)平行线的定义。17、垂直：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”(或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”(或“CD垂直于AB”)。18、垂线的性质：性质1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。19、点到直线的距离：过A点作l的垂线，垂足为B点，线段AB的长度叫做点A到直线l的距离。20、同一平面内，两条直线的位置关系：相交或平行。.第五章一元一次方程1、方程含有未知数的等式叫做方程。2、方程的解能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。3、等式的性质(1)等式的两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式。(2)等式的两边同时乘以同一个数((或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式。4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。5、解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母(2)去括号(3)移项(把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项。)(4)合并同类项(5)将未知数的系数化为1第六章生活中的数据1、科学记数法一般地，一个大于10的数可以表示成na10的形式，其中101a，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。2、扇形统计图及其画法：扇形统计图：利用圆与扇形来表示总体与部分的关系，即圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。画法：(1)计算不同部分占总体的百分比(在扇形中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360的比)。(2)计算各个扇形的圆心角(顶点在圆心的角叫做圆心角)的度数。(3)在圆中画出各个扇形，并标上百分比。3、各种统计图的优缺点条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况。扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。第七章可能性1、确定事件和不确定事件(1)、确定事件必然事件：生活中，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这些事情称为必然事件。不可能事件：有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。(2)、不确定事件：有些事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件(3)、必然事件确定事件事件不可能事件不确定事件2、不确定事件发生的可能性一般地，不确定事件发生的可能性是有大小的。必然事件发生的可能性是1不可能事件发生的可能性是2023七年级上册数学知识点总结归纳篇32.1整式1、单项式：由数字和字母乘积组成的式子。系数，单项式的次数。单项式指的是数或字母的积的代数式。单独一个数或一个字母也是单项式。因此，判断代数式是否是单项式，关键要看代数式中数与字母是否是乘积关系，即分母中不含有字母，若式子中含有加、减运算关系，其也不是单项式。2、单项式的系数：是指单项式中的数字因数;3、单项数的次数：是指单项式中所有字母的指数的和。4、多项式：几个单项式的和。判断代数式是否是多项式，关键要看代数式中的每一项是否是单项式。每个单项式称项，常数项，多项式的次数就是多项式中次数的次数。多项式的次数是指多项式里次数项的次数，这里ab是次数项，其次数是6;多项式的项是指在多项式中，每一个单项式。特别注意多项式的项包括它前面的性质符号。5、它们都是用字母表示数或列式表示数量关系。注意单项式和多项式的每一项都包括它前面的符号。6、单项式和多项式统称为整式。2.2整式的加减1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。与字母前面的系数(≠0)无关。2、同类项必须同时满足两个条件：(1)所含字母相同;(2)相同字母的次数相同，二者缺一不可。同类项与系数大小、字母的排列顺序无关3、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项。可以运用交换律，结合律和分配律。4、合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变;5、去括号法则：去括号，看符号：是正号，不变号;是负号，全变号。6、整式加减的一般步骤：一去、二找、三合(1)如果遇到括号按去括号法则先去括号。(2)结合同类项。(3)合并同类项2023七年级上册数学知识点总结归纳篇4第四章：几何图形初步一几何图形几何学：数学中以空间形式为研究对象的分支叫做几何学。从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。几何图形可分为立体图形和平面图形;各个部分不都在同一平面内的几何图形叫做立体图形，各个部分都在同一平面内的几何图形叫做平面图形。1、几何图形的投影问题每一种几何体从不同的方向去看它，可以得到不同的简单平面几何图形。实际上投影所得到的简单平面几何图形是被投影几何体可遮挡视线的部分在平面内所留下的影子。2、立体图形的展开问题将立体图形的表面适当剪开，一、点、线、面、体1、点、线、面、体的概念点动成线，线动成面，面动成体由平面和曲成围成一个几何体2、点、线、面和体之间的关系(1)点动成线、线动成面、面动成体;(2)体是由面组成、面与面相交成线、线与线相交成点;二、线段、射线、直线1、线段、射线、直线的定义(1)线段：线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线。线段可以量出长度。(2)射线：将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有一个端点。射线无法量出长度。(3)直线：将线段向两个方向无限延伸就形成了直线，直线没有端点。直线无法量出长度。概念剖析：①线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点;②“线段可以量出长度”，即线段有明确的长度，“射线和直线都无法量出其长度”，即射线和直线既没有明确的长度，也没有射线与射线、直线与直线、射线与直线之间的长短比较之说;③线段只有长短之分，而没有大小之别，射线和直线既没有长短之分，也没有大小之别;例1、下列说法正确的是()A、5㎝长的直线比3㎝长的直线要长2㎝;B、线段向两个方向无限延伸就形成了直线;C、直线和射线都是不可度量的，所以它们都无法表示;D、直线AB、射线AB和线段AB表示的都是同一几何图形;2、线段、射线、直线的表示方法(1)线段的表示方法有两种：一是用两个端点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。(2)射线的表示方法只有一种：用端点和射线上的另一个点来表示，端点要写在前面。(3)直线的表示方法有两种：一是用直线上的两个点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。概念剖析：①将线段的两个端点位置颠倒，得到的新线段与原来的线段是同一线段，即线段AB与线段BA是同一线段;②将表示射线的两个点位置颠倒，得到的新射线与原来的射线不是同一射线，即射线AB与射线BA不是同一射线，因为它们的端点和方向不同;③将表示直线的两个点位置颠倒，得到的新直线与原来的直线是同一直线，即直线AB与直线BA是同一直线;④识别图中线段的条数要把握一点：只要有一个端点不相同，就是不同的线段;⑤识别图中射线的条数要把握两点：端点和方向缺一不可;2023七年级上册数学知识点总结归纳篇51、用加、减、乘(乘方)、除等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。(注：单独一个数字或字母也是代数式)2、代数式的写法：数学与字母相乘时，“×”号省略，数字写在字母前;字母与字母相乘时，相同字母写成幂的形式;数字与数字相乘时，“×”号不能省略;式中出现除法时，一般写成分数形式。式中出现带分数时，一般写成假分数形式。3、分段问题书写代数式时要分段考虑，有单位时要考虑是否要();如：电费、水费、出租车、商店优惠-------。4、单项式：由数字和字母乘积组成的式子。单独一个数或一个字母也是单项式.因此，判断代数式是否是单项式，关键要看代数式中数与字母是否是乘积关系，若①分母中不含有字母，②式子中含有加、减运算关系，也不是单项式.单项式的系数：是指单项式中的数字因数;(不要漏负号和分母)单项数的次数：是指单项式中所有字母的指数的和.(注意指数1)5、多项式：几个单项式的和。判断代数式是否是多项式，关键要看代数式中的每一项是否是单项式.每个单项式称项，(其中不含字母的项叫常数项)多项式的次数是指多项式里次数最高项的次数(选代表);多项式的项是指在多项式中每一个单项式.特别注意多项式的项包括它前面的性质符号.它们都是用字母表示数或列式表示数量关系。注意单项式和多项式的每一项都包括它前面的符号。6、代数式分为整式和分式(分母里含有字母);整式分为单项式和多项式。以上就是为大家整理的七年级上册数学代数式知识点整理：期末考试复习，大家还满意吗?希望对大家有所帮助!2023七年级上册数学知识点总结归纳篇6初一上学期数学知识点整式1.整式：单项式和多项式的统称叫整式。2.单项式：数与字母的乘积组成的式子叫单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。3.系数;一个单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数。4.次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。5.多项式：几个单项式的和叫做多项式。6.项：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项。7.常数项：不含字母的项叫做常数项。8.多项式的次数：多项式中，次数的项的次数叫做这个多项式的次数。9.同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。10.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。(二)整式加减整式加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。1.去括号：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变初一数学上册代数初步知识1.代数式：用运算符号"+-×÷……"连接数及表示数的字母的式子称为代数式(字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义;单独一个数或一个字母也是代数式)2.列代数式的几个注意事项：(1)数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用"·"乘，或省略不写;(2)数与数相乘，仍应使用"×"乘，不用"·"乘，也不能省略乘号;(3)数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a;(4)带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a×应写成a;(5)在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成的形式;(6)a与b的'差写作a-b，要注意字母顺序;若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a.3.几个重要的代数式：(m、n表示整数)(1)a与b的平方差是：a2-b2;a与b差的平方是：(a-b)2;(2)若a、b、c是正整数，则两位整数是：10a+b,则三位整数是：100a+10b+c;(3)若m、n是整数，则被5除商m余n的数是：5m+n;偶数是：2n，奇数是：2n+1;三个连续整数是：n-1、n、n+1;(4)若b>0，则正数是:a2+b，负数是：-a2-b，非负数是：a2，非正数是：-a2.数学七年级倒数重点知识点乘积为1的两个数互为倒数;注意：0没有倒数;若ab=1?a、b互为倒数;若ab=-1?a、b互为负倒数.等于本身的数汇总：相反数等于本身的数：0倒数等于本身的数：1，-1绝对值等于本身的数：正数和0平方等于本身的数：0,1立方等于本身的数：0,1，-1.2023七年级上册数学知识点总结归纳篇7第一章 丰富的图形世界1、几何图形从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。2、点、线、面、体(1)几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。面：包围着体的是面，分为平面和曲面。体：几何体也简称体。(2)点动成线，线动成面，面动成体。3、生活中的立体图形生活中的立体图形柱:棱柱：三棱柱、四棱柱(长方体、正方体)、五棱柱、……正有理数 整数有理数 零 有理数负有理数 分数2、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，三要素缺一不可)。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。4、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。5、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值，(|a|≥0)。若|a|=a，则a≥0;若|a|=-a，则a≤0。正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。互为相反数的两个数的绝对值相等。6、有理数比较大小：正数大于0，负数小于0，正数大于负数;数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大;两个负数，绝对值大的反而小。7、有理数的运算：(1)五种运算：加、减、乘、除、乘方多个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积的符号为负;当负因数有偶数个时，积的符号为正。只要有一个数为零，积就为零。有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。异号两数相加，绝对值值相等时和为0;绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数同0相加，仍得这个数。互为相反数的两个数相加和为0。有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数!有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0。有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0的数都得0。注意：0不能作除数。有理数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方。正数的任何次幂都是正数,负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数。(2)有理数的运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。(3)运算律加法交换律 加法结合律乘法交换律 乘法结合律乘法对加法的分配律8、科学记数法一般地，一个大于10的数可以表示成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。(n=整数位数-1)第三章 整式及其加减1、代数式用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号;②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式;③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。※代数式的书写格式：①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt;②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a;③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作;④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略;⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷(a-4)应写作;注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。⑥在表示和(或)差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。2、整式：单项式和多项式统称为整式。①单项式：都是数字和字母乘积的形式的代数式叫做单项式。单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数;数字因数叫做这个单项式的系数。注意：1.单独的一个数或一个字母也是单项式;2.单独一个非零数的次数是0;3.当单项式的系数为1或-1时，这个“1”应省略不写，如-ab的系数是-1，a3b的系数是1。②多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中，每个单项式叫做多项式的项;次数最高的项的次数叫做多项式的次数。3、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。注意：①同类项有两个条件：a.所含字母相同;b.相同字母的指数也相同。②同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关;③几个常数项也是同类项。4、合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。5、去括号法则①根据去括号法则去括号：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号;括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号。②根据分配律去括号：括号前面是“+”号看成+1，括号前面是“-”号看成-1，根据乘法的分配律用+1或-1去乘括号里的每一项以达到去括号的目的。6、添括号法则添“+”号和括号，添到括号里的各项符号都不改变;添“-”号和括号，添到括号里的各项符号都要改变。7、整式的运算：整式的加减法：(1)去括号;(2)合并同类项。第四章 基本平面图形2、直线的性质(1)直线公理：经过两个点有且只有一条直线。(两点确定一条直线。)(2)过一点的直线有无数条。(3)直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。3、线段的性质(1)线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。(两点之间线段最短。)(2)两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。(3)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。4、线段的中点：点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。AM = BM =1/2AB (或AB=2AM=2BM)。5、角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。6、角的表示角的表示方法有以下四种：①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。③用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角，如∠B，∠C等。④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。注意：用三个大写字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。7、角的度量角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。把1’的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。1°=60’，1’=60”8、角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。9、角的性质(1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。(2)角的大小可以度量，可以比较，角可以参与运算。10、平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。11、多边形：由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形。连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以画(n-3)条对角线，把这个n边形分割成(n-2)个三角形。12、圆：平面上，一条线段绕着一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆。固定的端点O称为圆心，线段OA的长称为半径的长(通常简称为半径)。圆上任意两点A、B间的部分叫做圆弧，简称弧，读作“圆弧AB”或“弧AB”;由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA、OB所组成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。第五章 一元一次方程1、方程含有未知数的等式叫做方程。2、方程的解能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。3、等式的性质(1)等式的两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式。(2)等式的两边同时乘以同一个数((或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式。4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。5、移项：把方程中的某一项,改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫做移项.6、解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母(2)去括号(3)移项(把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项。)(4)合并同类项(5)将未知数的系数化为1第六章 数据的收集与整理1、普查与抽样调查为了特定目的对全部考察对象进行的全面调查，叫做普查。其中被考察对象的全体叫做总体，组成总体的每一个被考察对象称为个体。从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。2、扇形统计图扇形统计图：利用圆与扇形来表示总体与部分的关系，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。(各个扇形所占的百分比之和为1)圆心角度数=360°×该项所占的百分比。(各个部分的圆心角度数之和为360°)3、频数直方图频数直方图是一种特殊的条形统计图，它将统计对象的数据进行了分组画在横轴上，纵轴表示各组数据的频数。4、各种统计图的特点条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况。扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。2023七年级上册数学知识点总结归纳篇8第一章 有理数(一)正负数1.正数：大于0的数。2.负数：小于0的数。3.0即不是正数也不是负数。4.正数大于0，负数小于0，正数大于负数。(二)有理数1.有理数：由整数和分数组成的数。包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。可以写成两个整数之比的形式。(无理数是不能写成两个整数之比的形式，它写成小数形式，小数点后的数字是无限不循环的。如：π)2.整数：正整数、0、负整数，统称整数。3.分数：正分数、负分数。(三)数轴1.数轴：用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。(画一条直线，在直线上任取一点表示数0，这个零点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向;选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上取点。)2.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。3.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数还是0。4.绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小。(四)有理数的加减法1.先定符号，再算绝对值。2.加法运算法则：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加。异号相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。一个数同0相加减，仍得这个数。3.加法交换律：a+b= b+ a 两个数相加，交换加数的位置，和不变。4.加法结合律：(a+b)+ c = a +(b+ c )三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。5. ab = a +(b) 减去一个数，等于加这个数的相反数。(五)有理数乘法(先定积的符号，再定积的大小)1.同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。2.乘积是1的两个数互为倒数。3.乘法交换律：ab= ba4.乘法结合律：(ab)c = a (b c)5.乘法分配律：a(b +c)= a b+ ac(六)有理数除法1.先将除法化成乘法，然后定符号，最后求结果。2.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。3.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0。(七)乘方1.求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。写作an。(乘方的结果叫幂，a叫底数，n叫指数)2.负数的奇数次幂是负数，负数的偶次幂是正数;0的任何正整数次幂都是0。(八)有理数的加减乘除混合运算法则1.先乘方，再乘除，最后加减。2.同级运算，从左到右进行。3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。(九)科学记数法、近似数、有效数字。第二章 整式(一)整式1.整式：单项式和多项式的统称叫整式。2.单项式：数与字母的乘积组成的式子叫单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。3.系数：一个单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数。4.次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。5.多项式：几个单项式的和叫做多项式。6.项：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项。7.常数项：不含字母的项叫做常数项。8.多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。9.同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。10.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。(二)整式加减整式加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。1.去括号：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变第三章 一元一次方程分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。(一)方程：先设字母表示未知数，然后根据相等关系，写出含有未知数的等式叫方程。(二)一元一次方程：1.一元一次方程：方程里只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。2.解：求出的方程中未知数的值叫做方程的解。(二)等式的性质1.等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。如果a= b，那么a± c= b± c2.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。如果a= b，那么a c= b c;如果a= b，(c0)，那么a ∕c = b ∕ c。(三)解方程的步骤解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，未知数系数化为1。1.去分母：把系数化成整数。2.去括号3.移项：把等式一边的某项变号后移到另一边。4.合并同类项5.系数化为1第四章 图形认识初步一、图形认识初步1.几何图形：把从实物中抽象出来的各种图形的统称。2.平面图形：有些几何图形的各部分都在同一平面内，这样的图形是平面图形。3.立体图形：有些几何图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形是立体图形。4.展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。5.点，线，面，体①图形是由点，线，面构成的。②线与线相交得点，面与面相交得线。③点动成线，线动成面，面动成体。二、直线、线段、射线1.线段：线段有两个端点。2.射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。3.直线：将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。4.两点确定一条直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。5.相交：两条直线有一个公共点时，称这两条直线相交。6.两条直线相交有一个公共点，这个公共点叫交点。7.中点：M点把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。8.线段的性质：两点的所有连线中，线段最短。(两点之间，线段最短)9.距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。三、角1.角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。2.角的度量单位：度、分、秒。3.角的度量与表示：①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。角的度、分、秒是60进制。4.角的比较：①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。②平角和周角：一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。平角等于180度。周角等于360度。直角等于90度。③平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。④工具：量角器、三角尺、经纬仪。5.余角和补角①余角：两个角的和等于90度，这两个角互为余角。即其中每一个是另一个角的余角。②补角：两个角的和等于180度，这两个角互为补角。即其中一个是另一个角的补角。③补角的性质：等角的补角相等④余角的性质：等角的余角相等2023七年级上册数学知识点总结归纳篇9第1章有理数及其运算复习目标：1.能灵活运用数轴上的点来表示有理数，理解相反数、绝对值，并能用数轴比较有理数的大小。2.能熟练运用有理数的运算法则进行有理数的加、减、乘、除、乘方计算，并能用运算律简化计算。3.学会用科学记数法来表示较大的数，会根据精确度取近似数，能判断一个近似数是精确到哪一位。4.能运用有理数及其运算解决实际问题。基础知识：1.大于0的数叫做正数，在正数的前面加上一个“-”号就变成负数(负数小于0)，0既不是正数，也不是负数。正数和负数表示的意义相反：例如上升/下降，增加/减少，收入/支出，盈利/亏损，零上/零下，东/西，顺时针/逆时针2.整数和分数统称为有理数。整数又分为正整数，0，负整数;分数分为正分数和负分数。3.规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。任何一个有理数都能在数轴上找到唯一的点来表示(注意：并不是数轴上的每一个点都表示有理数，有一些点表示的是无理数例如π)4.数轴上两个点表示的数，右边的数的总比左边的数大;正数都大于0，负数都小于0，正数总是大于负数。5.只有符号不同的两个数互为相反数。一般地，a和-a是一对互为相反数;特殊地，0的相反数是0。互为相反数的两个数绝对值相等(绝对值为a的数有两个：a和-a)。6.在数轴上表示一个数的点与原点之间的距离叫做这个数的绝对值;正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0;(绝对值是一个非负数)。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。7.有理数加法法则：(1)同号两数相加，取加数的符号，并把绝对值相加;(2)异号两数相加：绝对值相等时和为0;绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用大绝对值减去小绝对值;(3)任何一个数同0相加仍得这个数。8.有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数;(减法其实就是加法。)9.加减混合运算统一看成是几个数的和的形式(省略加号和括号)，根据加法的交换律和结合律进行运算。通常：(1)互为相反数相结合(2)符号相同相结合(3)分母相同的相结合(4)几个数相加得整数的相结合。10.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘;任何数与0相乘积为0。多个数相乘看负因数的个数，偶数个则积为正，奇数个则积为负;并把所有因数的绝对值相乘。11.两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;0除以任何不为0的数,都得0。12.乘积为1的两个数互为倒数，除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数;(除法其实就是乘法。)乘除混合运算统一化除为乘，再根据乘法法则进行运算。13.求几个相同因数的积的运算叫做乘方(特殊的乘法运算)，乘方的结果叫做幂。其中，a叫做底数，n叫做指数。正数的任何次幂都是正数;0的任何次幂都是0;负数的偶数次幂是正数，奇数次幂是负数。14.有理数的混合运算的运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减;如果有括号，就先算括号(先算小括号,再中括号,最后大括号)。15.科学记数法：把大于10的数表示成a×n的形式。(其中a是整数位只有一位10的数，n是正整数;n=原数的整数位数-1)。16.取近似数：精确到哪一位就看后一位，四舍五入。有效数字：从一个数的第一个非零数字起，到末位数字为止，所有的数字都是这个数的有效数字。(例如：1.804有四个有效数字1、8、0、4。0.0668只有三个有效数字：6、6、8。)2023七年级上册数学知识点总结归纳篇10代数式中的一种有理式：不含除法运算或分数，以及虽有除法运算及分数，但除式或分母中不含变数者，则称为整式。(分母中含有字母有除法运算的，那么式子叫做分式)1、单项式：数或字母的积(如5n)，单个的数或字母也是单项式。(1)单项式的系数：单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的'系数。(如果一个单项式，只含有数字因数，系数是它本身，次数是0)。(2)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数(非零常数的次数为0)。2、多项式(1)概念：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。(2)多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。(3)多项式的排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列;把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。在做多项式的排列的题时注意：(1)由于单项式的项包括它前面的性质符号，因此在排列时，仍需把每一项的性质符看作是这一项的一部分，一起移动。(2)有两个或两个以上字母的多项式，排列时，要注意：a、先确认按照哪个字母的指数来排列。b、确定按这个字母降幂排列，还是升幂排列。3、整式：单项式和多项式统称为整式。4、列代数式的几个注意事项(1)数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ”乘，或省略不写;(2)数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号;(3)数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a;(4)带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式;(5)在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成3/a的形式;(6)a与b的差写作a—b，要注意字母顺序;若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a—b和b—a 。初中数学实数知识点平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。初中提高数学成绩诀窍数学不能只依靠上课听得懂很多初中生认为自己只要上数学课听得懂就够了，但是一做到综合题就蒙了，基础题会做，但是会马虎。这类问题都是学生在课堂上都以为自己听得懂就够了。初中同学要首先对数学做一个认知，听得懂≠会做，会做≠拿的到分。听得懂只占你数学成绩的20%，仅仅听得懂只说明你理解能力还可以，不说明你能拿到很高的数学成绩。只有听的懂理解了加上练，再加上多练，达到最后又快又准的做出来，这时候的数学成绩才会有长足的进步。三个重要的数学思想1、方程的思想。数学是研究事物的空间形式和数量关系的，初中数学最重要的就是等量关系，其次是不等量关系。最常见的等量关系就是方程。2、数形结合的思想。任何一道题，只要与形沾边，就应该根据题意中的草图分析一番。这样做，不但直观，而且全面，整体性强。3、对应的思想。初中生数学成绩的提高，需要靠自己勤加练习和脚踏实地的去接受数学。
