高数极限62道经典例题求极限

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2024-01-09 13:45 标签： 常见极限公式22个
极限主要包括数列极限和函数极限，两者的求法大同小异，如果分开讨论，比较麻烦，其实数列也可以看作是以正整数n为自变量的函数，所以它们也是可以综合起来的。下文中为大家来介绍高数极限公式是什么以及求极限的方法，希望大家喜欢。考研数学高数极限公式是什么？求极限的方法总结一、高数极限公式是什么1、第一个重要极限的公式：lim sinx / x = 1 (x->0)当x→0时，sin / x的极限等于1。特别注意的是x→∞时，1 / x是无穷小，无穷小的性质得到的极限是0。2、第二个重要极限的公式：lim (1+1/x) ^x = e(x→∞)当x→∞时，(1+1/x)^x的极限等于e;或当x→0时，(1+x)^(1/x)的极限等于e。二、高数求极限的方法总结1、用极限的四则运算法则它是基于一些常见的极限，再根据下面的法则求极限，包括：①相反的收敛数列极限相反;②互为倒数的收敛数列极限也互为倒数，其中除数不为零;③和差积商的极限等于极限的和差积商，前提是这些数列的极限都存在，且作为除数的数列及极限非0;④收敛的正项数列的幂的极限等于极限的幂，不论是乘方还是开方;⑤以及收敛数列的绝对值收敛于极限的绝对值等。2、用极限的单调有界定理其中有界性是数列收敛的必要条件，如果数列无界，就一定发散，但有界数列却不一定收敛。3、用两个常见的极限求极限就是当x趋于0时，sinx/x的极限和1的无穷次方类型的极限。4、价无穷小替换要熟记常见的等价无穷小的类型。5、用洛必达法则，针对0/0型或无穷/无穷型，对分子分母同时求导后求极限的方法。6、利用泰勒公式求极限的方法还有把极限化为导数或积分求极限的方法等。大多数的求极限法中，都浸透有换元的思想，所以你还可以说有一种换元法。
各位小伙伴，大家好啊，好久不见，闲来无事，就想写一篇很久之前就想完成的文章，对于初学高数以及考研数一、数二、数三的小伙伴也会受益颇丰。需要的预备知识如下：我会持续的更新下列类型，大家可以先点个关注收藏，以免找不到，哈哈哈1.直接求解型这种类型一般来说，只对于初学者才会遇到，一旦面对应试，比如期末考试、考研等，题目不会如此简单，都会比较复杂。对于数列 \{x_n\} ， \lim_{n\to\infty}x_n=0\Leftrightarrow\lim_{n\to\infty}|x_n|=0 。也就是说，对于一个无穷小量，加不加绝对值，极限结果都一样。例如 \{\frac{(-1)^n}{n}\}与\{\frac{1}{n}\}极限正好满足上面的要求。结果均为0。 或者根据 n为无穷大量，它的倒数就是无穷小量。 还有其他的类型，基本就是根据基本类型变形而来的极限求解，那么极限求解的基本类型有哪些呢？1.\lim_{n\to\infty} q^n=0，其中0\leq|q|<1。\\ 2.\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a}=1，其中a>0。\\ 2.\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1。\\ 关于直接应用常见基本类型求解极限的练习题，下面可以供大家练手，下期会给出答案！1.\lim_{n\to\infty}(1+\frac{(-1)^n}{n});\\
2.\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1-(-1)^n}{\sqrt{n}});\\ 3.\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1-2^n}{2^n});\\ 4.\lim_{n\to\infty}\sin\frac{n\pi}{2};\\ 5.\lim_{n\to\infty}\sin n\pi;\\ 2. 分式\frac{A}{B}型\&有理型 第一类型A与B均为多项式 a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 ，其结果取决于分子分母谁的幂次更高。结论如下：\lim_{x\to\infty}\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_0}=\begin{cases} &\frac{a_n}{b_m},\qquad n=m\\ & 0\qquad n<m\\ &\infty\qquad n>m\\ \end{cases} 其中的诀窍想必大家一定是清楚的，就是x是个无穷大量，我们总是对分子分母除以一个最高阶的无穷大量以n<m为例，分子分母最大的为x^m ，导致分子全为0，从而结果为0。第二种类型就是二次根式型，一旦遇到含有根号 \sqrt{f(n)}+m 的式子，不论是在哪个位置分子或者分母，一定要有理化，然后再根据第一种类型求解极限。同样的，也给大家留些练习题练练手吧1.lim_{n\to\infty}\frac{n^2+1}{2n^2-7n};\\ 2.lim_{n\to\infty}n(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1});\\ 3.lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2+n}}{n};\\ 4.lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n}-n);\\ 3.无穷大量比较型首先我们需要明确两个无穷大量谁更大，也就是无穷大量的比较，下面比较形象的给出了一些定义：如果n\to\infty, A_n, B_n\to\infty, 那么A_n, B_n 称为无穷大量。\\ (1).如果\lim\limits_{n\to\infty}\frac{A_n}{B_n}=0,那么B_n是比A_n更高阶的无穷大量，\\意味着,B_n比A_n跑的更快一些，更具体一点\\ 如果对于同一个很大的数字C,\\B_n比A_n用了更少的步数到达；\\ (2).如果\lim\limits_{n\to\infty}\frac{A_n}{B_n}=1,那么B_n是A_n的等价无穷大量，\\记作A_n\sim B_n意味着,B_n比A_n跑的一样快；\\ (3).如果\lim\limits_{n\to\infty}\frac{A_n}{B_n}=\alpha,(\alpha\neq0,\alpha\neq1)那么B_n与A_n是同阶的无穷大量，\\换个角度，A_n\sim\alpha B_n,意味着,\alpha B_n与A_n跑的一样快；\\
这里设n\to\infty,A_n,B_n都是无穷大量，若\lim\limits_{n\to\infty}\frac{A_n}{B_n}=0,\\ 记作：A_n\ll B_n.那么常见无穷大量的收敛速度对比如下：\\ (a>1,0<\alpha<1,k\in N)\\ \ln\ln n\ll\ln n\ll n^{\alpha}\ll n^{k}\ll a^n\ll n!\ll n^n,\quad (n\to\infty) 根据这层关系，我们可以得到下面几个常用的关系比较：对于这些，我们只需要记住结论用即可，同样的，给大家带来练习题： 1.lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n^2)}{n};\\ 2.lim_{n\to\infty}\frac{\ln(2n+1)}{n};\\ 3.lim_{n\to\infty}\frac{n+\ln(n)}{n};\\ 4.lim_{n\to\infty}\frac{\ln(2n^3+1)}{n};\\ 好了，各位小伙伴，这期就更新到这里了，我们下期再见！

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