抛物线与椭圆联立矛盾与直线联立消去x只剩y后还可以对Y用韦达定理吗？也就是说用x和用y算韦达得出参数范围一样吗

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2024-01-01 04:15 标签： 抛物线与椭圆联立矛盾
2023年上海某区高三一模考题：设 k\in R ，函数 y=\left
x^2-4x+3 \right
的图像与直线 y=kx+1 有四个交点，且这些交点的横坐标分别为 x_1,x_2,x_3,x_4(x_1<x_2<x_3<x_4) ，则 \frac{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2}{k} 的取值范围为_________.一、难度分析：三星半（初中数学竞赛以及高中自助招生题）首先作为一道高三一模考中出现的填空题，还是具有一定难度的。这道题的定位作为一道大学入学的自主招生考试题，或者高中数学联赛中较为简单的题目，是比较合适的。取值范围的相关题型，需要对不等号能否取到，以及是否具有孤立的值进行思考辨别。当然这道题完全可以充当一道初中数学竞赛的题目。二、解题思路（数形结合）由于这道题目开门见山地写到了二次函数与直线，并给出了四个交点的条件。我们很容易就想到使用数形结合的方法进行解答。1、k 的取值范围首先，由于 k 存在在最后求取值范围的表达式中，所以 k 本身的取值范围很重要，也是求解的第一步。画图来确定 k 的取值范围显得比较经济快捷。对于二次函数取绝对值的函数其实很容易画图，正常地画完二次函数以后，将 x 轴下方的部分，进行180°翻折后就是最终图像。而 y=kx+1 又恒过 （0,1） 坐标。根据直线的斜率不同，我们可以观察其与翻折后的二次函数的交点，来判定 k 的取值范围。通过上述表述的画图思路，我们可以得到以下图形：由图像可知， -\frac{1}{3}<k<0 。为了清晰准确表达图像，我们采取MATLAB作图的方式，代码会在正文后公开。中学学生自己作图的话，首先需要观察二次函数的性质，发现其过 （0,3），（1,0），（3,0） ，注意到对称轴是 x=2 ，顶点坐标（未翻折前） （2,-1） 。二次函数作图的关键在于，特殊点（y轴交点、x轴交点、顶点）、特殊线（对称轴）、开口。根据所作的图，我们可以根据大小画出 x_1,x_2,x_3,x_4 。为了更加贴近中学考试，手绘图如下所示：2、韦达定理求解根据二次函数与一次函数的交点并且以平方和的形式体现，我们不难想到应用韦达定理进行求解。韦达定理： x_1 与 x_2 是一元二次方程 ax^2+bx+c=0,(a\ne0) 的两个根，那么满足：\begin{cases}
x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\
x_1\times x_2=\frac{c}{a} \end{cases} 由此，根据二次函数与一次函数交点从左至右排列，相当于进行求解： \begin{cases}
y=x^2-4x+3\\ y=kx+1 \end{cases} (x_1,x_4) ; \begin{cases}
y=-x^2+4x-3\\ y=kx+1 \end{cases}
(x_2,x_3) 左侧部分化简可以得到：x^2-4x+3=kx+1\\ x^2-(4+k)x+2=0
\begin{cases}
x_1+x_4=k+4\\ x_1\times x_4=2 \end{cases} x_1^2+x_4^2=(x_1+x_4)^2-2x_1x_4=(k+4)^2-2\times2=k^2+8k+12
右侧部分化简可以得到：-x^2+4x-3=kx+1\\ x^2+(k-4)x+4=0 \begin{cases}
x_2+x_3=4-k\\ x_2\times x_3=4 \end{cases}
x_2^2+x_3^2=(x_2+x_3)^2-2x_2x_3=(4-k)^2-2\times4=k^2-8k+8
既有：\frac{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2}{k}=\frac{k^2+8k+12+k^2-8k+8}{k}=\frac{2k^2+20}{k}=2k+\frac{20}{k}
2k+\frac{20}{k}
是一个典型的“勾号函数”，在 （0，+\infty ） 上先递减再递增，最小值在 k=\sqrt{10} 时取到；由于其奇函数的性质，在 （-\infty，0 ） 上先递增再递减，最小值在 k=-\sqrt{10} 时取到；根据之前计算的结果， -\frac{1}{3}<k<0 。带入 k=-\frac{1}{3} ,我们可以得出本题的结果， \frac{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2}{k} 的取值范围为 （-\infty，-\frac{182}{3} ） 三、解后杂想（代数方法）如果我们不使用数形结合的方法，使用代数方法进行“硬做”也是一种手段，但考试中不是十分推崇。化简带绝对值的不等式，一般有两种方法：1、平方去绝对值；2、讨论正负去绝对值。本题中，显然平方可以更好地去绝对值，因为左右两侧平方后，可以使用平方差公式进一步化简。\left
x^2-4x+3 \right|=kx+1 ，左右平方以及移项使用平方差公式化简可得：\left
x^2-4x+3 \right|^2=(kx+1)^2\\ [x^2-4x+3 +(kx+1)][x^2-4x+3 -(kx+1)]=0\\ [x^2+(k-4)x+4][x^2-(k+4)+2]=0
由于 x_1,x_2,x_3,x_4 是齐次的，所以直接可以通过韦达定理求出最后带 k 的表达式。但是通过 \Delta 来求解 k 的取值范围十分麻烦而且容易出错，远不如数形结合来的实惠。四、题目难度升级1、不对称改法一个简单的修改便可以使题目的难度增加，例如求解\frac{x_1^2+x_2^2+x_3^2}{k} ，此时韦达定理只能够使用一次，单独的不对称项需要用一元二次方程进行求解，再计算最值，题目的计算复杂度陡增。并且对题目参数需要进行一定的设计，以便考生在进行求解的时候能够化简出简单的式子，便于中学生进行最值求解。2、周期函数改法通过设置周期函数等方法，可以将 x_1,x_2,x_3,x_4 修改成 x_1,x_2,...,x_{2024} 。并且 f_1(x)=\left
x^2-4x+3 \right|,x\in(0,4) ，且 f_1(x)=f_1(x+4) 。 f_2(x)=kx+1,x\in(0,4) ，且 f_2(x)=f_2(x+4) 。确保在区间 (0,2024) 上， f_1(x) 与 f_2(x) 有2024个交点，且 x_1<x_2<...<x_{2024} 。求 \frac{x_1^2+x_2^2+...+x_{2024}^2}{k} 的取值范围。3、交点数不同修改为1、2、3交点。甚至修改直线，改成 y=kx+\frac{1}{2} 、 y=kx-1 等。需要结合图像来观察 k 的实际取值范围，有必要的情况下，需要求导来确定相切的点。五、画图代码附录学有余力的学生，在中学常规数学、小学奥数、中学数学竞赛的学习过程中，利用一些编程语言（Matlab、Python）进行辅助学习是一个比较好的方法。通过一些简单的编程方法，采取不同于快捷计算、“奥数思维”对一道题进行求解，可以拓宽视野，对题目有更深层次的理解。利用软件作图在进行函数、解析几何的求解中对题目深度理解很有帮助。上海高考中，可以使用计算器，可以通过设置初始值、结束值、步长等观察函数取值的变化，以猜出零点、最值点等特殊点，并观察函数单调性。close all;clear all;clc;
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%Time : 2023.02.26
%Author: Zhang Stewart
%function： 上海徐汇高三一模11题 作图
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x = -1:0.1:5;
%设置x轴取值范围，以向量形式显示
y1 = abs(x.*x-4*x+3);%设置y1函数取值范围，以向量元素与元素之间点乘、向量与向量之间加减显示
y2 = ones(1,61);
%设置y2函数取值范围，以向量形式显示
y3 = -x/3 + 1;
plot(x,y1,'LineWidth',2) %画y1函数，并设置函数粗细
hold on; %在一个窗口内呈现多个图像
plot(x,y2,'LineWidth',1.5,'linestyle','--') %画y2函数，并设置函数粗细与虚线属性
hold on;
plot(x,y3,'LineWidth',1.5,'linestyle','--')
xlim([0,5]) %设置窗口的x与y坐标显示范围
ylim([-1,4])
grid on , axis equal , xlabel('x') , ylabel('y') , title('k的取值范围求解')
legend('二次函数图像','y=kx+1,k=0','y= kx+1,k=-1/3')%设置标签解释不同函数有什么问题欢迎在评论区讨论或者私信 ^_^

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