1 有限长信号的傅里叶变换
给定有限长信号 s(t),t\in[0,T] ，并且积分S(\omega)=\int_{\mathbb{R}}s(t)e^{-j\omega t}dt\\ \tag{1}收敛，我们称信号s(t) 的傅里叶变换存在。其逆傅里叶变换公式为s(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}S(\omega)e^{j\omega t}d\omega\\ \tag{2}我们这里仅给出矩形波的例子这是一个长度为0.3s的矩形脉冲，其频谱为2 频域采样和傅里叶级数在奥本海姆的书中，傅里叶级数的概念被首先引出来阐述信号在频域的分解。在此，我准备从频域采样的角度来描述傅里叶级数。首先，给定一个频域的采样冲激串p_F(\omega)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\delta (\omega-k\omega_0)\\ \tag{3} 其中下标 _F 代表该采样冲激串是作用于频域的， \omega_0
代表频域采样间隔。则采样后的频谱可以表示成 \begin{align} S_F(\omega) &= S(\omega)p_F(\omega) \\
&= \sum_{k\in \mathbb{Z}}S(k\omega_0)\delta(\omega-k\omega_0)\\
\tag{4} \end{align}\\ 注意到我们这里使用的采样冲激串仍然是连续的冲激函数，这是因为公式(1)定义的频谱是连续的，因此公式(4)所表达的采样后的采样后的频谱也是连续的。对公式 S_F(\omega) 做逆傅里叶变换可得\begin{align} s_F(t)&=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}S_p(\omega)e^{j\omega t}d\omega \\&=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}\sum_{k\in \mathbb{Z}}S(k\omega_0)\delta(\omega-k\omega_0)e^{j\omega t}d\omega \\&=\frac{1}{2\pi}\sum_{k \in \mathbb{Z}}S(k\omega_0)e^{jk\omega_0t} \end{align} \\ \tag{5} 显然 s_F(t) 是一个以 T_0=\frac{2\pi}{\omega_0} 为周期的函数，而公式(5)本质上是对 s_F(t) 进行以 \omega_0 为基波周期的傅里叶级数分解。同时注意到\begin{align} S(k\omega_0)&=\int_{-\infty}^{+\infty}s(t)e^{-jk\omega_0 t}dt \\&=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}T_0s(t)e^{-jk\omega_0 t}dt \end{align} \\ \tag{6} 并且考虑信号 \tilde{s}(t)=T_0 \sum_{k\in \mathbb{Z}}s(t-kT_0) ，不难发现 S(k\omega_0) 是 \tilde{s}(t) 的第 k 次谐波的傅里叶级数，那么 \tilde{s}(t) 可以展开为\tilde{s}(t)=\sum_{k\in \mathbb{Z}}S(k\omega_0)e^{jk\omega_0 t} \tag{7} 继而有 s_F(t)=\frac{T_0}{2\pi}\sum_{k \in \mathbb{Z}}s(t-kT_0)\\ \tag{8} 即频域的采样对应了时域的周期延拓。有一点需要注意的是：我们在构建时域延拓信号 \tilde{s}(t) 时默认有 T_0>=T ，即时域信号不会因为周期延拓而混叠，这样一来我们才能利用公式(6)求解出 \tilde{s}(t) 的傅里叶系数。3 时域采样和离散时间傅里叶变换现在我们开始进入传统环节了——模数转换。为了方便处理，我们需要将时域的连续信号离散化，即时域采样。我们用采样冲激串 p(t)=\sum_{k\in \mathbb{Z}}\delta(t-kT_s) 与时域信号 s(t) 相乘得到采样后的信号s_T(t)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}s(t)\delta(t-kT_s)\\ \tag{9} 其中 T_s=\frac{2\pi}{\omega_s} 为时域采样间隔、 \omega_s 为时域采样频率。同样的，公式(9)所表示的信号仍然是一个连续的信号，其频谱为 S_T(\omega)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}s(kT_s)e^{-j\omega kT_s} \\ \tag{10} 并且易证 S_T(\omega)=S_T(\omega+m\omega_s),\forall m\in\mathbb{Z} 。公式(10)可以看作 S_T(\omega) 在频域的傅里叶级数展开S_T(\omega)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}s(-kT_s)e^{jkT_s\omega} \\ \tag{11} 其傅里叶系数可以通过 s(t) 的傅里叶逆变换表示成\begin{align} s(-kT_s)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S(\omega)e^{-jkT_s\omega}d\omega
\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S(\omega)e^{-jk\frac{2\pi}{\omega_s}\omega}d\omega
\end{align} \\ \tag{12a} 如果 S(\omega) 的带宽为 B<=\omega_s ，那么公式(12a)可以写作s(-kT_s)=\frac{1}{\omega_s}\int_{\omega_s}\frac{\omega_s}{2\pi}S(\omega)e^{-jk\frac{2\pi}{\omega_s}\omega}d\omega \\ \tag{12b}同理于上一节的讨论，公式(12b)求解的实际上是频域延拓信号 \tilde{S}(\omega)=\frac{\omega_s}{2\pi}\sum_{k\in\mathbb{Z}}S(\omega-k\omega_s) 的傅里叶级数的系数，因此公式(11)本质上也是 \tilde{S}(\omega) 的傅里叶级数展开，即有S_T(\omega)=\frac{\omega_s}{2\pi}\sum_{k\in\mathbb{Z}}S(\omega-k\omega_s)\\
\tag{13}在上述讨论中，采样定理的作用体现为：我们在构造周期延拓频谱 \tilde{S}(\omega) 的时候需要确保延拓的周期 \omega_s>=B ，这样我们才能保证\tilde{S}(\omega+m\omega_s)=S(\omega),\forall m\in\mathbb{Z} \tag{14} 即频谱不产生混叠。讨论到这里，我们可以得出如下结论：时域信号的采样对应着频谱的周期延拓，然而公式(11)与平时所见到的离散时间傅里叶变换仍然有所不同。令 s(kT_s)=s[k] ，将公式(10)改写为S_T(\omega)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}s[k]e^{-j2\pi\frac{\omega}{\omega_s} k}\\ \tag{15} 并且令 2\pi\frac{\omega}{\omega_s}=\omega' ，公式(15)可以进一步改写为 S_T(\omega')=S_T(\omega_s\omega)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}s[k]e^{-j\omega ' k}\\ \tag{16}至此，我们就得出了离散时间傅里叶变换(DTFT)。公式(16)与公式(15)的区别在于：公式(16)的右边不再包含采样率的信息，序列 s[k] 内的元素间隔为1。(16)通过频率的坐标放缩将周期为 \omega_s 的 S_T(\omega) 归一化为了频率为 2\pi 的 S_T(\omega') 。从DTFT到离散傅里叶变换(DFT)截止到现在为止，我们经过时域采样所得出的频谱依然是连续的，仍然无法在计算机中进行处理。因此我们需要对DTFT的频谱进行抽取以实现离散化。首先，我们分别重写一下DTFT和IDTFT的公式S_T(\omega)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}s[k]e^{-j\omega k} \\ \tag{17a}s[k]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}S_T(\omega)e^{j\omega k}d\omega \\
\tag{17b}类比傅里叶级数公式，我们可以看出来(17a)和(17b)本质上仍是信号的傅里叶级数展开和傅里叶系数的关系。考虑到 S_T(\omega) 是以 2\pi 为周期的函数，我们可以设在频谱的一个周期内的采样点数为 N ，则采样后的频谱可以表示成S_{TF}(\omega)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}s[k]\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-j\omega k} \delta(\omega-2\pi\frac{n}{N}) \\ \tag{18} 对应的时域的序列为\begin{align} s_F[k]&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}[\sum_{l\in\mathbb{Z}}s[l]\sum_{n=0}^{N-1}e^{-j\omega l}\delta(\omega-2\pi\frac{n}{N})]e^{j\omega k}d\omega \tag{19a} \\&=\frac{1}{2\pi}\sum_{l\in\mathbb{Z}}s[l]\sum_{n=0}^{N-1}\int_{0}^{2\pi}e^{-j\omega (l-k)}\delta(\omega-2\pi\frac{n}{N})d\omega \tag{19b} \\&=\frac{1}{2\pi}\sum_{l\in\mathbb{Z}}s[l]\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j2\pi\frac{n}{N}(l-k)} \tag{19c} \\&= \frac{N}{2\pi}\sum_{l\in\mathbb{Z}}s[l]\delta[l-k] \tag{19d} \\&=\frac{N}{2\pi}s[k] \tag{19e} \end{align} \\ 考察 s_F[k] 的周期性，我们发现公式(19c)有 \begin{align} s_F[k+mN]&=\frac{1}{2\pi}\sum_{l\in\mathbb{Z}}s[l]\sum_{n=0}^{N-1}e^{-j2\pi\frac{n}{N}[l-k-mN]}
\\&=\frac{1}{2\pi}\sum_{l\in\mathbb{Z}}s[l]\sum_{n=0}^{N-1}e^{-j2\pi\frac{n}{N}[l-k]} \cdot e^{j2\pi\frac{n}{N}mN} \\&=s_F[k] \end{align}
\\ \tag{20} 所以经过频域采样后，对应的时域信号变成了：原信号以 N 为周期延拓而产生的延拓信号，因此为了使得原信号不混叠， N 必须大于等于时域序列的长度。至此，我们阐述清楚了频域采样率与时域不混叠的关系。那么重新回到公式(18)，我们注意到只需要获得其在一个周期内各离散谱的系数 S[n],n=0,2...N-1 ，我们就能表达出公式(18)，变换到时域得到 s_F[k] ，继而得到 s[k] 。那么在频率 [0,2\pi) 内，第 n 个冲激的系数为\begin{align} S[n]=\int_{\frac{n}{N}2\pi-\epsilon}^{\frac{n}{N}2\pi+\epsilon}S_{TF}(\omega)=\sum_{k=0}^{N-1}s[k]e^{-j2\pi\frac{n}{N}k}
\end{align} \\ \tag{21} 至此我们得到了期望了离散傅里叶变换(DFT)的表达式。