写在前面的话这是我第二年当本学院实验班的高代助教。“水平不高，能力有限”，承蒙大家抬爱，总算完成了本学期习题课的教学工作。尽管助教的任务还没完全结束，但至少可以写一下习题课的总结吧！本学期共十四次习题课，内容包。罗。万。象，单列“不明觉厉”的名词的话，有：Bruhat分解，Weyl群与根系，Schubert胞腔，Grassmann流形，范畴泛性质，复形正合列，Galois上同调，Birkhoff-von Neumann定理，Dedekind行列式，Schur关于矩阵交换的定理，多项式版本的abc猜想、Fermat猜想……真真是接近“前进四”的状态了！只是我也不确定，当我加速时，是否所有人都已进入深海状态……好啦好啦，说些正经的吧！其实我也不是要一味去扩展的，更不是要大搞“名词党”。我还是有更加明确、务实的一些想法的。首先，我觉得我们的高代习题课的目的：一是呼应正课的内容，梳理理论框架和知识脉络；二是处理作业中的问题，讲解一部分典型习题；三是希望所讲内容有利于学生以后参加竞赛或升学考试；四是希望衔接后续课程，提前渗透一些更高的观点和思想；五是希望开阔眼界，保持大家对数学的兴趣，尤其希望鼓动一些人来学习代数、数论、代几等方向。啊还有第零个目的：帮助大一学生完成高中到大学的过渡。事实上，班上基本都是竞赛生，而且是最最顶尖的那一批竞赛生。积年累月的训练下，他们看待一些数学内容的角度可能是会偏向技巧化、套路化的。我们希望通过习题课，将他们引导到理论化、体系化的偏向数学研究的思维上来。这并不是说二者是相悖的，而是说将这些个技巧、套路放到一套理论体系中去，前者被后者所规范、限制、引导、提炼。举个不起眼的例子，大家经常“条件反射”地看到平方就认为大于等于零，因为凑平方这种技巧训练得也太多了；然而，我们现在是在一般的域上，像复数域、有限域，这些肯定就不对了呀！高中各种“野蛮生长”的技巧，一上大学，在高代第一节课就被“域”这一概念框了起来，没有脚下这片field，如何立足呢？反过来，限定在不同的域上，又各有各的技巧，有的同原来的相同，有的呢则是全新的，是新的理论乃至新的分支的生长点。换言之，如果你没有意识到“域”这种抽象概念的重要性，觉得被“框起来”不自由，以前的平几啊不等式啊玩得多痛快啊！不是的……其实你只是在熟悉的世界打转转，每个概念的抽象化，看似是限定了你的“自由”，实则是预言了、开启了新的世界，是扩大了你的“自由”。理解了这一点，就向现代数学的思维方式靠近了一步。接着，来说说内容的设计吧。和第一年相比，我觉得今年最大的改变，就是内容更加充实和扎实了。相信再经过几轮的积累，内容可以更加地丰富。先说基础部分。这次最满意的是秩不等式以及行列式计算这两部分。功利地讲，这两部分大概是普通高代考试（可能也是考研数学？）的重点题型吧！所以，尽管这类题目不太会出现在我们的考试中，还是老老实实地做了整理，我把我能找到的考试题、习题集、辅导材料上的题大略地归了归类，攒了个合集，希望对应考有帮助。总体而言，基础内容和扩展内容应当是对半开的关系。但实际效果可能有很大偏差……每次备课时我总在疯狂开脑洞，极力收集扩展向的素材，而并没有想着去找怎样的题目。希望以后可以将基础部分进一步补起来，让二者逐渐回归正常比例。好了，来说扩展部分的设计吧！首先是选材，一是由作业题延伸而来，二是由老师指定，三是从后续课程中截取的，四是…一点小私心…是我自己最近在看的内容相关的。要是说除教材以外的参考资料，“正常”的比如法杰耶夫、普罗斯库烈柯夫的习题集，还有复旦谢启鸿老师的博客；“不正常”的比如我从Lang的Algebra上找了好几段素材，还有Bourbaki的Algebra，至于李群、典型群等内容也是查相应的教材，还有Schubert胞腔、Pfaffian多项式、函数域上的abc猜想等我原先不熟的内容，也要查百科、查文献。我构想的习题课是部单元型连续剧，就是它虽然各集独立，但又有那么几条贯穿始终的线索。就本学期而言大致是两条线索，一是Bruhat分解-Weyl群-Schubert胞腔-Grassmann流形-Pluker嵌入，基本是代数群典型群表示论相关的内容；另一条是域扩张-数域函数域-复结构与实形式-Galois上同调-域扩张的范数-函数域上的abc猜想/Fermat猜想，基本上是数论口味的内容，至少可以说是Galois理论的铺垫吧！即使大家以后不记得我具体讲了哪些结论，至少可以记得这些是数学中的重要研究对象，记起一点点相关的idea。我有两个比喻：一是，我觉得老师就像当地导游，带领学生们游览数学大世界。高黛是其中一座公园，它和旁边的淑芬是下车后的第一站。在白天的正课上，老师带领着整个旅行团游览大路上的热门景点，必打卡的景点，就好像你来北大总得到博雅塔前和正西门外照个相吧！而到了傍晚的习题课，不知从哪里忽然钻出个没毛的光头，拉着大家伙神秘兮兮地说：“我给你们看点不一样的吧~”于是一个探险小队出发了，绝不走那些游人众多的大路，专走那些只有本地人才知道的小路。钻草丛过密道，哦竟然还可以这样穿过来！忽然…停！这里还藏着一块古石碑呢！“传说以前啊……”走着走着仿佛到了个完全陌生的地方，只见他拿手一指：“看哪儿！”原来白天游览时导游所描述的那个可望不可及的景点，竟然已出现在眼前了！更奇妙的是，不知不觉你们早已离开了高黛公园，来更广阔的黛树森林公园了！这就是我理想中的习题课的效果。当然，这些学生并不是游客、过路人，他们将来是要在此定居下来的，因此我必须带他们好好地熟悉这个园子，了解这里的一草一木。此外他们自己也不能闲着哦！必须有事没事来园子里溜达溜达、转悠转悠，毕竟谁也不可能第一次就每条路都烂熟于心啊！这就是作业和练习的必要性。或许转着转着，还可能发现一个连本地人都不知道的宝藏呢，那就可以作为本研了吧！二是，我又觉得老师像个直播带货的，课程或者说教材就像个百货商场。正课负责卖粮食和生活必需品，习题课呢负责推销各种你以前没见过的小玩意儿。“哇这个非常amazing啊！”“哇这个结果太漂亮啦！”“OMG，这个引理超好用哦！买它！”“这个定理绝了！又便宜又实惠！不讲不是数学人啊！”……本来嘛，既然不是“大纲”要求的必需品为什么要买呢？只有被助教极力推荐过，你的好奇心才会被勾起来嘛！要是再有两个人较着劲比着买，那可就更热闹了！说起来啊，学习和购物其实是一样的，知识和商品一样都是明码标价的，只是买商品付钱，“买”知识付时间罢了！换言之，知识的“价格”同样不会低于它自身固有的“价值”，即学习时间不可能“卖布头”似地无限打折。那些企图“速成”啊，“顿悟”啊，都是消费欺诈啊！“便宜没好货”嘛！但是，我确信自己的货那肯定是百年老字号，格罗皇室出品，质量绝对有保障啊！做为商家的我总得想些办法，把自己手里真正的好货卖出去，免得大家跟风抢购，全去了一些兑水商店了。所以好货也得推销，比如将一些滞销的商品捆绑销售，哎买多项式送abc猜想你看划算不；再比如厂家直销，新鲜出炉的paper您来尝尝嘛，啊不好这口啊，那这瓶98年的怎么样；再比如没事儿吆喝两声啊，“瞧一瞧看一看了啊，辛群酉群正交群了啊，还有这个射影线性代数群啊，今天全都免费送了啊，走过路不要错过了啊”……说实话，第一年时我还真有点“虚假宣传”行为，比如有一次在计划表上写“有限域上椭圆曲线的Hasse bound”，结果只是讲了一个trace和det的等式……相较而言，今年的内容都是些实打实的干货了！而且推销时基本都介绍了本款“商品”的使用情景、用品用料、注意事项等等。但愿我能实现期待的“销售业绩”啊！最后，谈谈我自己吧！我不是北大本科的，这一直是我心里的一道坎。当时在助教系统上填表时我明明把高代填到最后一个呀，结果还就选中这个了。当实验班的助教，我压力非常之大！这批学生就是我从高中到本科一直仰望的人呀！我望了四年，等了四年，盼了四年，死拼了四年，仅仅是完成了我17岁时的愿望，而已。和今年我搭档的感觉一样，第一年时我也觉得我没资格教这个班。我早看过知乎上的一些问答，说这些大神们都不屑于上习题课，宁可自己学别的，而且习题课这种东西本来就是浪费时间没有意义的嘛，听你讲题还不如我自己做的快呢！我是真的担心讲到最后会只剩下一两个人来听课，那样我所做的还有什么价值呢！好吧！第一年的第一堂课，为了把人留住，我已经摆开大干一场的架势了！讲域？那来吧！素域，特征，有限域…对，不能只讲p元域这个谁都知道，讲讲p^2元域，然后证一下域的有限子群都循环，因此有限域存在原根呐，然后再按GTM7用Gauss和证一下二次互反律，就…就这些吧？这些够吗？不够可咋办啊？我会被问倒吗？……结果，根本没讲完哈，光前半段就够了，够够的了……国庆和朋友吃饭时还聊来着：“有没有人问些超纲的问题啊？”我谨慎地回答道：“还行吧，确实有超纲，不过还没有超过我的纲。”我就这样开始自己的助教工作了。尽管在崩溃和坚持之间反复摇摆，还是热闹热闹、圆圆满满地上完了第一学期的课程，并收获了咱的第一批粉丝。（我我我……这么说可以吧……）我确实喜欢教课，站在讲台上就有一种表演欲，语气的抑扬顿挫，肢体的手舞足蹈，节奏的急徐快慢，仿佛有一种戏剧的张力。果不其然，到了今年好家伙，我真唱起戏来了，还说相声、拍醒木、念定场诗。这也是临时起意，有一阵每晚听郭德纲的《九头案》，着实精彩啊！九头十三命，那么多条线索千头万绪的，一般的数学题真没这个复杂！可是你顺着听还真能理清楚。醒木一拍，就这么一句一句把你带进故事，而且还要制造悬念，埋设伏笔，那么多个角色之间跳进跳出，还能时而插入一段民俗文化背景介绍。这个技术真的值得学习啊！以前说书的都叫做先生，也就是老师，现在看来，老师也应该是个说书人才是啊！或许像“公式相声”那般把科学“改造”相声并不可取，但反过来，未必不可以用相声的技巧改造我们讲授科学的方式。总之，为了抓住学生注意力，高效地传递知识，完全可以“无所不用其极”。这个学期，我感觉我把每周全部的热情激情兴奋头，全都倾泻在周四晚上的那间教室了！此外的每天总是消沉着，提不起精神。我真的越发觉得，我好像做不了什么像样的科研……像我这种研一研二才系统学习代数几何、代数数论，本科没有学过任何一种上同调理论到现在也基本不怎么会算上同调的人，真的还来得及吗？是的，是我的本科把我从一个更加啥都不会的高中生变成了一个说得过去的数学系学生，可我真觉得这些不够！大三大四时后续更深入的内容为什么没有跟进呢？没错！你完全可以说，我在习题课上所扩展的内容，并不是我觉得大一学生可以接受的内容，而是我希望自己能在大一或者至少本科期间，可以听到的内容！哪怕能听到就够了！我当年连听都没听过！以上为一些情绪化的表达，我相信再带几轮习题课后，这些焦躁不安的情绪终归会趋于平和哒~对内容的设计，对习题的整理，都会越来越完善。到我毕业时，大概在校的每一届数院学生都有人听过我的习题课啦~其实啊，哪怕是这些看起来“离谱”的扩展内容，讲的多了，年年都讲，甚至以后人人都讲，也就习以为常了，甚至都可以被固化成教学内容的一部分了。事实上，这本是知识更新换代的正常流程，只是后来大家受制于各种各样的“纲”，并且又安于这种受制。威海卫里作茧自缚啊！正因如此，我们才需要自然选择号嘛！“我是星，我愿投身前途未卜的群星，为梦长明，让希望做我无声永存的墓志铭。”我想好了，如果我做不了好的科研，那我至少要做个好的老师；如果注定无法成为攀登者，不如成为后来者的指路人。事实上，用不了多久，顶多大三大四，这帮娃儿们肯定就在不少地方比我厉害啦，到时他们就可以拍着我的肩膀说：“画工还需费工夫啊！”各节课内容汇总第一节：2020-09-24（域的初体验）基础部分：域同态/同构，特征与素域拓展部分：按照数论的风格举了域的多个例子，先是数域 \mathbb{Q}(\sqrt2),\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) ；然后是函数域，包括一元代数函数域和Laurent级数域，前者举 \mathbb{C}(x,\sqrt{1-x^2}),\mathbb{C}(x,\sqrt{x^3-x}) ，并解释它们和代数曲线 x^2+y^2=1,y^2=x^3-x 之间的联系，后者解释了 \mathbb{C}[[z]] 中常数项不为0即可逆，因此 \mathbb{C}((z)) 是个域；最后是有限域，在 p 奇素数时，构造 p^2 元域为\mathbb{F}_{p^2}=\mathbb{F}_p(\sqrt{c}) ，其中 c\in\mathbb{F}_p^\times 是非二次剩余。教学考虑：这里举的主要是二次扩张，这样容易讲清楚，因为不涉及正不正规的问题。我其实还准备了p进域的内容，没时间讲了，要是讲了的话，数域、函数域、有限域、p进域，数论中最重要的几个局部域/整体域就齐全了。第二节：2020-10-15（挑战无穷大）1.关系的集合论定义1.1 函数关系，等价关系，偏序关系。1.2 偏序集中的上界/上确界/极大值/最大值，Zorn引理叙述。2. Zorn引理应用，集合的势2.1 证明任意线性空间有基2.2 证明线性空间的任两个两基等势；为了说明等势这一概念，补充了Bernstein定理及其证明。2.3 用Zorn引理证Heisenberg定理： X 是无限集，则 X\times X 同 X 等势。（这个没有讲）（说起来，这段参考的知乎…）3. 公理集论与Zorn引理的证明3.1 ZF公理体系与选择公理（这个拖堂讲的）3.2 用选择公理证明Zorn引理（这个也没有讲）第三节：2020-10-22（线性结构的加工）基础内容：子空间（交、和、补），直和（内外直和、维数关系），商空间（同构定理、维数关系）扩展例子：用商空间来解释数分中的o(1), o(n), O(n)证明连续函数环C[0,1]的余维1的理想都形如 \mathfrak{m}_x=\{f\in C[0,1]|f(x)=0\} 用F[X]的商来构造域扩张第四节：2020-10-29（线性方程组&矩阵广义逆）半小时梳理线性方程组知识脉络：1.1 解集结构 1.2 数值解法 1.3 矩阵的秩 1.4 矩阵的逆。“矩阵的逆”这部分，补充了法杰耶夫的高代习题集的425，431-432，456-463。其中456-463为关于矩阵广义逆的讨论。同时通过这些问题训练分块运算技巧。概念补充：对角、上三角、幂幺、幂零，Bruhat分解（只写了结论，下一节课给的证明）第五节：2020-11-05（计算子空间&飘扬的Flags）1.子空间的具体计算（解题向）核心思想是具体描述一个子空间有两种方法：一个是给出一组生成元，一个是给出一组方程。已知方程求解空间的生成元，就是解方程的过程，我们有“行变换、化阶梯”的标准算法；反过来呢，已知生成元求它们满足的方程，同样也可以通过“行变换、化阶梯”实现。掌握二者之间的转化是有益处的，比如：计算子空间的和适合用生成元，而计算子空间的交适合用方程。当然啦，抽象化之后就是，在 V 有限维时，子空间 W\subset V 同其零化子 W^0\subset V^* 的对应。2. Bruhat分解2.1 置换矩阵，这个讲到了 S_n 的定义。至此群论中最重要的两类群：置换群 S_n 和一般线性群 \mathrm{GL}_n(F) ，均已在习题课上出场了~2.2 Bruhat分解的纯矩阵的证明。2.3 Bruhat分解的几何形式：两个旗可以由同一组基(up to 一个排列)生成。3. "大张旗鼓"3.1 维数跳跃：设 V_\bullet 是完全旗，考虑 \dim(U\cap V_i) 随 i 的变化情况。3.2 两个旗：设 M_\bullet,N_\bullet 是完全旗，考虑 d_{ij}=\dim(M_i\cap N_j) 的变化情况，进而证明 (w_{ij}) 是置换阵，其中 w_{ij}=d_{ij}-d_{i-1,j}-d_{i,j-1}+d_{i-1,j-1} 。这再次证明了Bruhat分解，并且说清了其中置换阵的含义。3.3 概念介绍：Grassmann簇/流形，Schubert胞腔（就是记录下3.1中所说的发生维数跳跃的地方，按这个分类）说起来还真没超纲，并且十分切合当前课程，因为它本质就是“行简化阶梯阵”。当然，我这里只是集合，不可能讲上面的代数簇或流形结构的。4. 三个子空间：即一般而言，给定三个子空间，通过交、和两个运算可以算出多少个不同的子空间？我算的是25个，并且画了它们形成的偏序集的Hasse图。我觉得它就是三个字母生成的自由的模格。不过课上没有讲到这儿。（2021.3.5更正：第4点，三个字母生成的自由模格应为28个元素，记作M_28，似乎是Dedekind的结果；另外，四个字母生成的自由模格有无穷个元素，例如在三维实空间中取四个一维子空间（三线不共面），则它们可生成出无穷多个子空间。参考Birkhoff, Lattice theory, Page 63, III.6。）（或许可以说：“2生4，3生28，4生无穷。”）第六节：2020-11-12（秩的不等式）1.复习3.1-3.3节在“复习”的时候，补充了复结构与实形式的内容。2.有关秩的习题：2.1 基本方法（代数法：分块矩阵+初等行列变换；几何法：线性映射+维数公式；二者混合：方程解空间、矩阵行/列空间；几何法升级：正合列+追图）2.2 基本事实（最基本的和/积的秩不等式，然后是Sylvester秩不等式和Frobenius秩不等式）2.3 题目：我把收集到的题目（来自李尚志的书、《高等代数葵花宝典》、谢启鸿博客）归了归类，包括：几道必讲经典题，应用Frobenius不等式的题，和多项式有关的题，矩阵的相抵标准型， A^k 的秩变化情况，关于幂等矩阵的题。一共列了16题。第七节：2020-11-19（期中试卷讲解）上午考完晚上讲，准备得很匆忙。1.(1) 我又补充了一道题：设 V\subseteq F^{n\times n} 子空间，非零矩阵都可逆，证明 \dim V\leqslant n . 在此基础上，又补充了可除代数的一点点内容。3. 补充了非退化双线性函数的相关内容。1.(2) 补充了Galois上同调和Hilbert 90，并用它做了这道题的推广形式。尽管后来发现，无论这题还是这题的推广，都完全不需要Galois上同调。第八节：2020-11-26（范畴初体验&矩阵交换）1.范畴初体验1.1 泛性质举例：子空间、商空间、直和、零空间、核/余核1.2 函子举例：遗忘函子(没讲)、线性空间对偶函子1.3 内射性/投射性：对线性空间证明了内射性和投射性，当然了，要用到Zorn引理1.4 正合列（没讲，下次课讲的）2. 矩阵交换2.1 全矩阵/对角/上三角和所有n阶矩阵都交换的只有纯量阵，和对角阵都交换的只有对角阵，然后是和准对角阵 \pmatrix{r\times r & O\\ O & s\times s} 都交换的，和 \pmatrix{O_{r\times r} & r\times s\\ O_{s\times r} & O_{s\times s}} 都交换的。其实我还想讨论下正规化子，即 N_G(T)=T\rtimes W ， N_G(B)=B ，而且其中还会用到Bruhat分解。但时间所限，讲完上面的我就跳到2.3了。2.2 单个矩阵（没讲，预计要下学期讲）2.3 Schur的一个定理，即 F^{n\times n} 中相互交换且线性无关的矩阵至多有 \lfloor \frac{n^2}{4}\rfloor+1 个。讲了Mirzakhani对Schur定理的证明，来自1998年的《美国数学月刊》。第九节：2020-12-03（正合列与复形&群作用与计数）1.商空间与零化子2.正合列与复形2.1 定义：正合列、复形、(上)闭链/边缘链/同调2.2 基本例子：两项、三项、四项的正合列(一端或两端带0)2.3 维数关系：先说正合列，维数交错和为0；再说复形，维数交错和等于上同调维数交错和，又称Euler-Poincare示性数；再说复形截取前k项，就得到了一个不等式，即第二组Morse不等式。2.4 长正合列举例：一个是 U\overset{f}{\rightarrow} V\overset{g}{\rightarrow} W 所给出的 f,g,gf 的核/余核构成的6项正合列，再一个是 f:V\to V, f(U)\subseteq U 所给出的 f,f|_U,\bar{f} 的核/余核构成的6项正合列。2.5 复形举例：我其实准备了一个用n个子空间造的类似Cech复形的例子，写完我就知道这个肯定讲不了……3.群作用与计数3.1 基本原理：指群作用方程，即 轨道长 x 迷向子群的阶 = 群的阶，集合的元素个数等于各轨道之和。3.2 基本例子：陪集，双陪集，共轭类（共轭类这个没讲）3.3 计数问题：(1) \mathrm{GL}_n(\mathbb{F_q}) 的Bruhat分解中 BwB 的计数问题，这会推出一个含逆序数 \ell(\sigma) 的纯组合公式：\sum_{\sigma\in S_n}q^{\ell(\sigma)}=(1+q)(1+q+q^2)...(1+q+...+q^{n-1}) 然后我又给了一个基于 S_n 的纯组合的证明。奇妙的是，本来是讲 \mathrm{GL}_n(q) ，讲着讲着就归结为S_n中的问题了，可见这两个群关系之紧密！(2) Grassmann \mathrm{Gr}(r,\mathbb{F}_q^n) 的元素个数，也就是所谓Gauss二项式系数。与Netwon二项式系数相对照，一个是n维空间中r维子空间个数，一个是n元集中r元集的个数。接着对Grassmann作Schubert胞腔分解，通过数每个胞腔的元素个数，得到了所谓的“Sylvester证明的一个有趣的结果”(百度百科, 高斯系数词条)，即 \binom{n}{r}_q=\sum_{m=0}^{r(n-r)}p(m)q^m ，其中 p(m)=\#\left\{(m_1,...,m_r)\in\mathbb{Z}^r|\matrix{0\leqslant m_r\leqslant m_{r-1}\leqslant ...\leqslant m_1\leqslant n-r \\ m_1+...+m_r=m}\right\} (3) 准备了相当多但没讲的： \mathrm{GL}_2(q) 的共轭类。但愿下学期能讲！可以当成Jordan形的一个小应用。第十节：2020-12-10（主题较杂）第3章的一点点补充。讲了逆序数其实是S_n上的长度函数，向根系、Coxeter群稍微靠拢了一点。二阶张量的分解。这个说穿了没啥，就是将一个矩阵分解成秩为1的矩阵之和。先是讨论了对称、反对称、交错在特征不为2和特征2两种情况下的关系，然后证眀了Birkhoff-von Neumann定理的一部分，即域同构是id的部分。提了一下啥是“一又二分之一”线性。（预计下学期可以讲完整的证明。）侃了侃关于定向的事情，秀了下拓扑中的绘图技能，即画了下Mobius带、Klein瓶和射影平面在 \mathbb{R}^3 中的浸入。（这部分完全是在侃，没有干货）范数与行列式（最后十分钟讲的，未完全展开。）第十一节：2020-12-17（暴算行列式）我把手头的题目，即丘维声书上的以及法杰耶夫、普罗斯库烈柯夫的习题集上的题目大致归了归类。题号足足排到了37题！1. 特殊排布1.1 三对角：先是递推式，举例：Fibonacci数列， \cos n\alpha,{\sin n\alpha}/{\sin\alpha} ，连分数。然后讨论三对角行列式的完全展开，为此需考虑满足
\sigma(i)-i|\leqslant 1 的 \sigma\in S_n 长成什么样，再应用到前面的例子中，得到Fibonacci数、Chebyshev多项式的含组合数的表达式。1.2 全三角：即对角全是a，上三角全是b，下三角全是c。也可推广即对角元无需相同。1.3-1.6 正反斜线、一横一斜一竖、下三角加次斜线、两斜一竖，这些没有讲。2.拆成矩阵乘积重点是 \lambda^m|\lambda I_n-AB|=\lambda^n|\lambda I_m-BA
，以及若干道应用它秒解的题目。3. Vandermonde行列式：先讲最基本的，然后讲了: (1)
\cos(i-1)\theta_j|_{1\leqslant i,j\leqslant n} 以及
\sin i\theta_j|_{1\leqslant i,j\leqslant n} ，刚好要用到前面讲到的Chebyshev多项式（的次数和首项系数）；(2) 缺项Vandermonde。(3) 当 a_1,...,a_n 是整数时， V(a_1,...,a_n) 被 1!2!...(n-1)! 所整除。第十二节：2020-12-24（接着算行列式）1.较复杂的行列式先是Cauchy矩阵，即 A=\left(\frac{1}{a_i+b_j}\right) ，计算它的行列式和逆矩阵，特别地，讲了Hilbert矩阵 H_n={\left(\frac{1}{i+j-1}\right)}_{1\leqslant i,j\leqslant n} 的逆矩阵总是整系数的。然后，举了两个带阶乘或组合数的矩阵。事实上，它们是Fulton, Intersection Theory, 424页, 附录A的例A.9.3和例A.9.4。2.Dedekind行列式先是 \left|\matrix{a & b\\ & a & \ddots\\ && \ddots & b \\ b & & & a }\right
，然后是 \left|\matrix{a & b &c&d\\ b & a & d&c\\c &d& a & b \\ d & c&b & a }\right
，这两个作为引子。然后用特征向量/特征根的方法，算出循环矩阵的行列式。接着，讲一般的有限交换群的群行列式的计算，这涉及到特征标构成一组基这一事实（没有证，只是写了出来），基于该事实证明了有限交换群的群行列式可写成n个一次因式之积。这部分完全参考Lang, Algebra, 548页, XIII第28题。3.特征多项式(1) 友阵，解释了首一的 f(x) 的友阵的特征多项式和最小多项式都是该 f(x) .(2) 题目： AB-BA=A^k 则 A 不可逆。 在特征0时给证明，特征p时给反例。(3) 一个幂级数等式: \mathrm{exp}\left(\sum_{m=1}^{\infty}-\mathrm{tr}(A^m)\frac{x^m}{m} \right)=\det(I-xA) . 这个是参考了Lang, Algebra, 570页, XIV第24题，或者说Hartshorne的附录C, 引理4.1。第十三节：2020-12-31（交错张量外代数）0.矩阵空间上的线性映射的行列式如：左乘A, 右乘B, 既左乘又右乘, 转置这段现准备的，没有写讲义1.伴随与分块1.1 伴随矩阵，补充了很多其他班会讲但我们的正课没讲的内容，如伴随阵与秩的关系1.2 分块矩阵的行列式以上皆突出了“引入不定元”这一骚操作，即：若 A 是域 F 上的 n 阶方阵，则 xI_n+A 一定在有理分式域 F(x) 上可逆。1.3 分块彼此交换由此开始扩展，讲了N.Bourbaki, Algebra I, P546上的引理1，并以此证明\det(T_F)=N_{K/F}(\det(T_K)) 其中F是K的子域。2.反对称阵的行列式给了三种方法：(一) 分块矩阵法，证明了Pfaffian多项式的存在性(二) 组合法，大概讲了思路，然后直接给了结果，即Pfaffian的表达式(三) 交错张量法，写了定义，然后算了四阶的例子3. 交错张量的分解我本来打算讲Grassmann的Pl"ucker嵌入的，尤其好好算一下 \mathrm{Gr}(2,4) 这个例子。但是时间肯定不够了……第十四节：2021-01-07（进击的多项式）1.多项式代入1.0 基本框架：设 \mathcal{A} 是 F -代数，则代数同态 F[x]\to\mathcal{A} 一一对应与 \mathcal{A} 中的元素。换言之，代数同态 F[x]\to\mathcal{A} 被 x 的像唯一地确定。扩展：考虑从 F[x,y],F[x,y]/(y^2-x^3+x),F[x,x^{-1}] 出发的代数同态与怎样的信息相对应，以此渗透“同态”和“点”相对应的代几思想。1.1 代入多项式：即 f\mapsto f(h) ，讨论其次数关系、运算律，以及何时为同构。扩展： F[x,y],F(x) 的自同构群又长什么样呢？1.2 代入代数数：介绍超越数/代数数/极小多项式等定义后，证明了代数数的和、差、积、取逆仍是代数数，从而形成 \mathbb{C} 的一个子域。扩展：代数整数构成 \overline{\mathbb{Q}} 的子环，这个打算留到下学期讲Cayley-Hamilton时一起证，没准到时候还会捎上Nakayama。1.3 代入矩阵：这其实是高代书会包含“多项式”一章的主要原因。讲了书上的几道题。2.根与因式2.1 公因式：回顾最大公因子的定义，然后讲了几道题。2.2 根与因式：我设想的是三个层次，先是根与一次因式的关系，然后是公共根与公因式，最后是重根与重因式。然而时间有限，我整个跳过这小节了……2.3 结式与判别式：硬着头皮飞快地讲了一遍……3.关于导数3.1 多项式的导数；3.2 有理分式的导数。强调一点：对多项式/分式而言求导是代数运算，不涉及极限过程，因此对域并无要求。然后呢，铺垫这些主要是为了讲对数导数。3.3 Mason-Stothers定理，即多项式版本的abc猜想，然后用它证明了多项式版本的费马大定理。以此结束第一学期的习题课。彩蛋：那些年助教说过的骚话……域field，即土地，亦即数学家的“工作环境”。土地天生带有扩张性，所以域最主要的是研究域的的扩张。将代数的研究对象概括为“带有运算结构的集合”，就像将绘画定义为“带有线条/图案/…的纸/丝绸/墙壁/……”一样。须知，代数结构总是从问题中提炼出来的，须体会它捕捉、临摹、突出了该问题的哪些信息。现在人们发现“外部结构”比“内部结构”更重要！即：范畴，好比是一幅只有线条的素描画。写向量时不要标一个箭头 \overset{\to}{x} ，因为，我们这里的“向量”已经不再是高中的“矢量”即“有大小有方向的量”了。事实上我们并没有单独定义“向量”这个概念，而是用八条公理定义了线性空间，然后把其中的元素叫做向量，于是多项式、函数这些都可以是向量，还可以讨论有限域上的向量，但这些要是再按“有大小有方向的量”来理解，就很奇怪了！总之，不要加箭头！这属于学物理或学工科的人的行为！再者说，你又不是一方通行你玩什么矢量啊！线性空间的所有子空间构成一个格，数学系系格！啊，常言道，讲课要结合时事嘛！计划上写着：（1.复习；2.秩的不等式 2.1基本技巧 2.2基本事实 ……）讲了大半节后，同学问：“你现在讲的这些是‘基本技巧’还是‘基本事实’啊？”我：“不……我是在复习啊……”重新定义复习……\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 ，你看这是一个三维空间，然后一个二向箔飞过来了啊！它就成了二维了啊！就被画进针眼画师的画里了，对吧！那就回不去了，对吧！所以复合映射不可逆。高瘦 x 矮胖 = 虚胖。（注：指 A\in F^{n\times m}, B\in F^{m\times n} 而 m<n ，则 AB 一定不满秩。）算错分块矩阵时“大意了啊，没有闪！”再用几何方法“几何方法绝不翻车！”然后……讲期中卷子，标题叫：“灾后重建”。范畴就是：态射更重要，对象不重要。（忽然激动）听到没有！对象不重要！有没有对象不重要！第一次定场诗，用的全斋对联“天道几合，万品流形先自守；变分无限，孤心测度有同伦。”第二次定场诗：“一杯茶来一包烟，一道矩阵算一天；算了一天又一天，一看答案——就半篇！”拍醒木（由板擦扮演），“接演长篇单口相声《高代习题课》！”“哎这位说了：‘怎么是单口啊？’那可不得是单口嘛！我站上面叭叭讲你就得叭叭听啊，我讲啥你就得听啥，我就是唱戏你也得听啊！‘哎这您得来一个！’那就来一个啊！”然后用侯宝林“文昭关”（也有点儿像“卖西瓜”）的调唱了一遍……咱们的行列式定义很不一样啊，就别说离了北大了，就是离了这个班，他们的行列式都不是这么定义的……第三次定场诗：“辛群酉群正交群，射影线性代数群；实数复数P进数，霍普夫氏双代数；方形圆形三角形，希尔伯特点概形；数域实域有限域，离散完备赋值域。”然后声明：“以上内容今天都不讲……”第三次增加了收场：“对酒当歌，人生几何；譬如朝露，去日苦多；慨当以慷，忧思难忘；何以解忧——唯有高代呐！”安师名言：“迹，即行列式求导的痕迹。”交错张量外代数，格拉斯曼射影嵌入；分块矩阵打洞术，左行右列加减乘除。改革春风吹满地，高代助教真争气，又讲题来又唱戏，考完期末——爱咋咋地！2020最后一天高能改编激情献唱《空白格》：其实很简单，其实很自然，明明两行之内就写的完。其实并不难，是你太慌乱，一时之间没转过那道弯。不想让你为难，不确定你还需要给我个答案。我想你是会做的，我猜你也舍不得，可是怎么说，总觉得，你的证明留了太多空白格。也许分儿不是你的，爱你却又该割舍，扣掉或许是选择，但它也可能是我们的缘分。但它也可能，是来年的缘分！（好，各位明年见！）台下的神捧哏：“空白格是什么格？”浔阳江头夜送客，高代作业还没做，没做为啥来上课，因为今天不收了！至此，长篇单口相声《高代习题课》上部，全剧终！