三角函数不定积分万能公式的题怎么积分？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-11-30 13:45 标签： 三角函数不定积分万能公式
结论一.\color{red}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)dx} 证 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx ,令x=\frac{\pi}{2}-t\Rightarrow \sin x=\cos t,dx=-dt 于是\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx=\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}f(\cos t)(-dt)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos t)dt Q.E.D. 结论二.\color{red}{\int_{0}^{\pi}xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(\sin x)dx} 证 令x=\pi-t\Rightarrow sinx=sint,dx=-dt \int_{0}^{\pi}xf(\sin x)dx=\int_{\pi}^{0}(\pi-t)f(sint)(-dt)=\int_{0}^{\pi}(\pi-x)f(\sin x)dx 上面第二个等号将t写作了x，不影响积分结果 =\pi\int_{0}^{\pi}f(sinx)dx-\int_{0}^{\pi}xf(\sin x)dx 于是知\int_{0}^{\pi}xf(\sin x)dx=\pi\int_{0}^{\pi}f(sinx)dx-\int_{0}^{\pi}xf(\sin x)dx 2\int_{0}^{\pi}xf(\sin x)dx=\pi\int_{0}^{\pi}f(\sin x)dx即\int_{0}^{\pi}xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(\sin x)dx Q.E,D.结论三. \color{red}{华莱士公式} （点火公式）\color{red}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}xdx} \color{red}{=\frac{(n-1)!!}{n!!}H} n为偶数时点火成功， \color{red}{H取\frac{\pi}{2}} ;n为奇数时点火失败， \color{red}{H取1} \color{red}{n!!} 读作n的双阶乘。当n为奇数时，它是从1到n所有奇数相乘；当n为偶数时，它是从2到n所有偶数相乘。证
结论四.\color{red}{\int_{0}^{\pi}f(\sin x)dx=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx} 证 \int_{0}^{\pi}f(\sin x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}f(\sin x)dx 其中\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}f(\sin x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin (\frac{\pi}{2}+u))du [令x=\frac{\pi}{2}+u] =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx【结论一】 所以有\int_{0}^{\pi}f(\sin x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx =2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx
结论五.\color{red}{\int_{0}^{\pi}xf(\sin x)dx=\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx} 证 \int_{0}^{\pi}xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(\sin x)dx=\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx 第一个等号结论二，第二个等号结论四 结论六. \color{red}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x(f(\sin x)+f(\cos x))dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx} 证 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}xf(\sin x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{\pi}{2}-x)f(\sin(\frac{\pi}{2}-x))dx =\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)dx-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}xf(\cos x)dx 把\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}xf(\cos x)dx移到等号左边 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}xf(\sin x)dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}xf(\cos x)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)dx \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x(f(\sin x)+f(\cos x))dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx 第一个等号运用了区间在现公式 结论七结论八. \color{red}{\int\tan^nxdx=\frac{\tan^{n-1}x}{n-1}-\int\tan^{n-2}xdx} 证 \int\tan^nxdx=\int\tan^{n-2}\tan^2xdx =\int\tan^{n-2}(\sec^2 x-1)dx =\int\tan^{n-2}\sec^2xdx-\int\tan^{n-2}xdx =\int\tan^{n-2}xd(\tan x)-\int\tan^{n-2}xdx =\frac{\tan^{n-1}x}{n-1}-\int\tan^{n-2}xdx 结论九. \color{green}{形如\int\sin^p x\cos^q xdx的积分} 1)p或q为奇整数，设q为奇整数\color{green}{\int\sin^p x\cos^{q}xdx=\sum_{k=0}^{\frac{q-1}{2}}(-1)^kC_{\frac{q-1}{2}}^{k}\frac{\sin^{p+2k+1}x}{p+2k+1}+C} 2)p+q为负偶整数时\color{green}{\int\sin^p x\cos^q xdx=\sum_{k=0}^{-\frac{p+q}{2}-1}C_{-\frac{p+q}{2}-1}^{k}\frac{\tan^{p+2k+1}x}{p+2k+1}+C} 证结论十. \color{green}{\int\frac{dx}{a\sin x+b\cos x}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\ln\left|\tan\frac{x+\arctan\frac{b}{a}}{2}\right|+C} 证补充说明朋友们要注意，并不是说看到与结论相关的，我们就一定要用结论。我在这上面总结的结论不是说考试的时候看到了就可以用，很多时候我们都是用上面的推导里面的一些方法来进行解题。然后如果没有用上面的方法，当然很多题也是能够做出来的。下面举两个例子。还在更新中！！感谢大家的支持！！！类似的一篇文章收藏是赞同的两倍！求求你们点个赞吧 \color{red}{真是妙啊}

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展开全部用万能公式。积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。万能公式包括三角函数、反三角函数等。万能公式，可以把所有三角函数都化成只有tan(a/2)的多项式。将sinα、cosα、tanα代换成含有tan(α/2)的式子，这种代换称为万能置换的代换公式。万能公式，可以把所有三角函数都化成只有tan(a/2)的多项式之类的。用了万能公式之后，所有的三角函数都用tan(a/2)来表示，为方便起见可以用字母t来代替，这样一个三角函数的式子成了一个含t的代数式，可以用代数的知识来解。万能公式，架起了三角与代数间的桥梁。具体作用含有以下4点：1、将角统一为α/2。2、将函数名称统一为tan。3、任意实数都可以表示为tan(α/2)的形式（除特殊），可以用正切函数换元。4、在某些积分中,可以将含有三角函数的积分变为有理分式的积分。总结：因此，这组公式被称为以切表弦公式，简称以切表弦。它们是由二倍角公式变形得到的。而被称为万能公式的原因是利用的代换可以解决一些有关三角函数的积分。参见三角换元法。已赞过已踩过你对这个回答的评价是？评论
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周期函数在一个周期上的积分与起点无关，证明如下：假设 f(x+T)=f(x) ,并且有 b-a=T ,那么就有\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{a+T}f(x)dx
=\int_{a}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{T}f(x)dx+\int_{T}^{a+T}f(x)dx 而最后一个积分可以化成：\int_{T}^{a+T}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(x+T)d(x+T)=\int_{0}^{a}f(x)dx 因此有：\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{a+T}f(x)dx=\int_{0}^{T}f(x)dx 这就说明如果积分区间长度正好是一个周期，那么起点可以等于0对于你的题目可以得：\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}(1+\sin ^2x)dx=\int_{\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}-\frac{\pi}{4}}(1+\sin ^2x)dx =\int_{0}^{\pi}(1+\sin ^2x)dx=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sin ^2x)dx =\pi+2\frac{1\cdot\pi}{2\cdot2}=\frac{3\pi}{2} 起点也可以如图中那样 =-\frac{\pi}{2}

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