来强答一发。题面为「陈景润是如何证明『1+2』的？」这个问题有两个点，其一是「1+2」，其二是「陈景润」。先谈「1+2」，这是徐迟《哥德巴赫猜想》中给出的简化写法，在陈的 paper 中使用的其实是 (1,2)。我也想如此行文，但这会与后文的最大公约数混淆，因此就用 \{a,b\} 来简述如下命题：每一个充分大的偶数是一个不超过 a 个素数的乘积与一个不超过 b 个素数的乘积之和。这样，如果证明了命题 \{1,1\}，也就基本上解决了整个猜想。再谈「陈景润」，在陈景润于 1973 年发表全部证明后，在很短的时间内至少出现了 Halberstam & Riehert (1974)[1]，Halberstam (1975)[2]，潘承洞, 丁夏畦, 王元 (1975)[3]，Ross (1975)[4]，Fujii (1977)[5] 五个简化证明。然而题主偏要问原来那个最初的证法，还要用相对通俗的语言来描述。这就很尴尬了。在介绍这玩意之前，由于这个问题下的几个回答，我们来谈谈这个猜想本身。这个猜想本来有俩，「每一个不小于 6 的偶数都是两个奇素数的和」以及「每一个不小于 9 的奇数都是三个奇素数的和」。前面的可以推出后面的，加个 3 就得证了，但是后面的却不能推出前面的，因为不能减个 3。这俩猜想于 1742 年提出，然而到了 1900 年还是没有一点进展。正当一大伙人一筹莫展的时候，一帮子数学家开始发威，对这个猜想搞出了三条路子——「圆法」、「筛法」和「密率」，「密率」和本题没啥联系所以就不讲了。当然大家都知道陈景润走的是「筛法」。其实到这里我们就已经可以知道了， @ffout 的回答显然是不切题的。我们看到了标志性的 \int_0^1 \mathrm e^{2\pi\mathrm i m\alpha}\mathrm d\alpha 就知道了，这是在介绍「圆法」。「圆法」全称为 Hardy-Littlewood-Ramanujan 圆法，这仨人大家肯定不陌生，拉马努金、哈代和小木头。1920 年开始，哈代和小木头开始在堆垒素数论里搞事，恰好这玩意跟哥德巴赫猜想有那么些联系。也就是说这套理论给出了一种方法，一种用数学语言描述「有拆法」这玩意的方法，也就是通过上面说的那个积分。考虑这个积分，m=0 时，\int_0^1 \mathrm e^0 \mathrm d\alpha=1。m\neq0 时，指数上不能是 0 了，根据欧拉公式，整个幂就成了 0，所以整个积分也就是 0。利用这个性质，我们可以把积分改造成拆法的函数。每一个 N=p_1+p_2,\ p_1,\ p_2\geq3 的拆法就可以写成 D(N)=\int_0^1\left(\sum_{2<p\leq N}\mathrm e^{2\pi\mathrm i \alpha p}\right)^2 \mathrm e^{2\pi\mathrm i\alpha(-N)}\mathrm d\alpha，同理 N=p_1+p_2+p_3,\ p_1,\ p_2,\ p_3\geq3 的拆法可以将其改造为 T(N)=\int_0^1\left(\sum_{2<p\leq N}\mathrm e^{2\pi\mathrm i \alpha p}\right)^3 \mathrm e^{2\pi\mathrm i\alpha(-N)}\mathrm d\alpha。这样，证「总有拆法」就是要证对任意满足题意的 N 总有 D(N)>0 以及 T(N)>0，于是就可以开始讨论积分了。这是「圆法」的主要思想。然后我们来讲「筛法」。当然不是 @丧心病狂刘老湿 所谈的筛法，所以他对容斥原理的理解虽然正确，但也不切题。「筛法」其实是一种寻找素数的方法，我们小时候可能都列过素数，比方说 100 以内的素数，我们首先去掉所有 2 的倍数，然后去掉所有 3 的倍数，然后去掉所有 5 的倍数……用数学语言怎么描述呢？我们需要注意这么几个家伙：首先是「被筛的玩意」，比如说上面的「100 以内的大于 1 的整数」，因为随便筛啥都可以，所以这玩意是一个任给的数集，记作 \mathscr A，素数个数看来和被筛的玩意有关，记作 S(\mathscr A)。然后是「怎么筛」，也就是「筛的方法」。首先我们看到上面提到的「2，3，5……」这些玩意绝对是关键的东西，而且好像也会变，还是个数集，得嘞记作 \mathscr P。所以这个 S 就得写成 S(\mathscr A;\mathscr P)。我们再来看「去掉某某的倍数」，也就是「留下不是某某的倍数的数」，怎么判断这些「不是某某的倍数的数」？我们想到了最大公约数，如果两个数互质，那这玩意自然不是那玩意的倍数。于是引入记号 (x_1,x_2) 表示 x_1,\ x_2 的最大公约数，当这玩意得 1 的时候这俩数就互质。还能不能更简单一些？现在「筛的方法」已经可以表述成「留下和 2 互质的数，留下和 3 互质的数，留下和 5 互质的数……」了，我们发现，当筛到 30 以后的时候其实可以不用像「判断 31 是否和 2 互质，是否和 3 互质，是否和 5 互质」这么麻烦了，其实可以直接判断「是否和 2\times3\times5 互质」，这样做快得多。当然如果这个时候用 30 判断 2、3、5 的话肯定会出 bug，所以「素数积」这玩意一定是会变的，只有等到筛过这个数了，才能把这个数乘进来。怎么标度这个变呢，我们想到用这里面最大的素数来描述这个素数积的大小，最大值设成 z。于是我们可以定义一个新的函数 P(z)=\prod_{p<z\\p\in\mathscr P}p，这里的 p<z 就解决了这个 bug。这样 P(z) 其实就相当于一个快速判断是否为素数的工具了，记为「筛子」。于是记录一个范围内素数个数的函数就好写了，S 现在和 z 也有关了，写成 S(\mathscr A;\mathscr P,z)。具体怎么办，碰到素数就加 1 咯。于是就有 S(\mathscr A;\mathscr P,z)=\sum_{a\in\mathscr A\\(a,P(z))=1}1。这样得到的 S(\mathscr A;\mathscr P,z) 就是集合 \mathscr A 经过筛子 P(z) 筛过之后所剩的元素个数，称为筛函数。其中，\mathscr A, \mathscr P 是任给的，和其它因变量没有关系。而 z 和 P(z) 是有关系的，因为 P(z) 有个「p 一定要小于 z」的条件，所以 z 控制着筛子的大小。利用这个性质，我们来看看筛函数和 \{1,1\} 是怎么搞在一起的。和圆法一样，我们想把这个素数的计数器改造成拆法的计数器。既然对任意的 N 都存在 p_1,\ p_2 使得 N=p_1+p_2，那对于任意 N,\ p_1 也应该存在 p_2 使得 N-p_1=p_2，也就是说既然 N 有拆法，那 N 减掉每一个不超过它的素数得到的这么多数中肯定有素数。比如 10 如果有拆法，那「10-2、10-3、10-5、10-7」里肯定有素数。对应到筛函数里，\mathscr P 就应该是全体素数，也就是需要筛出素数来。\mathscr A 就是所有的 N-p，z 只要让筛子足够大就行。我们知道如果要验证一个数 N 是否是素数，只需要验证它能否被小于 \sqrt N 的数整除就行了，所以控制筛子大小的 z=\sqrt N 也就足够了。比如 N 是 100，那 z 只要是 10 就行了，毕竟在这样的筛子下第一个筛不过去的合数是 121，已经超过 100 了。用数学语言写出来，取集合 \mathscr P 为全体素数，\mathscr B=\mathscr B(N)=\{N-p,\ p\leq N\} 为所有的 N-p，z=\sqrt N，于是如果能证明 S\left(\mathscr B;\mathscr P,\sqrt N\right)>0，则就证明了 \{1,1\}。那陈景润的 \{1,2\} 又是怎么来的呢？既然没人证得出 \{1,1\} ，那我们只能把筛子的条件放宽一点，也就是让筛子变小。前面讲过，让 z 从 1 变到 \sqrt N，可以留下 N 以内所有的质数。同理，让 z 从 1 变到 \sqrt[3]N，可以留下 N 以内所有的质数，以及质数乘以质数得到的合数。因为在这样的筛子下，第一条漏网之鱼一定会大于 \sqrt[3]N\cdot\sqrt[3]N\cdot\sqrt[3]N=N。从而，如果能证明 S\left(\mathscr B;\mathscr P,N^{1/\lambda}\right)>0，则就证明了 \{1,a\}，其中 \lambda\geq2，如果 \lambda 是正整数，a=\lambda-1，否则 a=\lfloor\lambda\rfloor 。另外，当被筛的数取 \mathscr A=\{n(N-n),\ 1\leq n\leq N\}，则如果能证明 S\left(\mathscr A;\mathscr P,N^{1/\lambda}\right)>0，则就证明了 \{a,a\}。现在这个玩意是大于 0 的，紧接着我们就可以问，它能大到哪去呢？如果我们能求得 S\left(\mathscr B;\mathscr P,N^{1/\lambda}\right) 的一个上界，那么我们就得到了偶数表为一个质数和一个质因子不超过 a 个数之和的表法个数的上界。既然这个筛子不能太小，那 \lambda 就要越小越好。直到 1920 年 Brun 才首先对原来的破筛法做了具有理论价值的改进，同时证明了 \{9,9\}，从此启发了一群人。1950 年 Selberg 利用求二次型极值的方法对筛法做了另一重大改进，这一改进不仅效果比 Brun 筛法好，而且从此可以用筛法估计上界了，马季亚巴库内，于是又启发了一群人。1941 年 Kuhn 首先提出了所谓的「加权筛法」，利用这种方法可以得到更强的结果，后来许多数学工作者对各种形式的「加权筛法」进行了深入的研究，不断提高了筛法的作用。陈景润正是由于提出了新的加权筛法才证明了 \{1,2\}，现在所有的最好结果都是利用加权形式的 Selberg 筛法得到的。为了实现陈景润的加权筛法，在估计余项上会出现 Bombieri-Виноградов 定理所不能克服的困难。因而，陈景润引入并证明了新的一类均值定理：\sum_{d\leq \sqrt x \log^{-B} x}\max_{y\leq x}\max_{(l,d)=1}\left|\sum_{a\in E(x)}g(a)\left(\phi(y;a,l,d)-\frac{y}{\phi(d)a}\right)\right|\ll \frac{x}{\log^A x}.\tag{*} 这也是陈景润最近改进 D(N) 上界估计的基础。那么陈景润的加权筛法究竟是沿着哪条思路想出来的？陈景润的加权筛法是沿着 {1, 4} 和 {1, 3} 的证法想到的。证明 {1, 4} 时出现了\left|\mathscr A^{[b]}\right|\geq\boxed{\sum_{a\in\mathscr A\\\left(a,P\left(\sqrt[b+1]N\right)\right)=1}1}+O(\nu_1(N))=S\left(\mathscr A;\mathscr P,\sqrt[b+1]N\right)+O(\log N).\tag1 而在证明 {1, 3} 时使用了\begin{align} \left|\mathscr A^{[b]}\right|&\geq\boxed{\sum_{a\in\mathscr A\\\left(a,P\left(\sqrt[\nu]N\right)\right)=1}\left(1-\frac12\rho_1(a)\right)}+O\left(\left(\sqrt[\nu]N\right)^{\nu-1}\right).\\ &\mathrm{where}\ \rho_1(a)=\sum_{p_i\mid a,\ p_i\nmid N,\\ \sqrt[\nu]N\leq p_i<\sqrt[b]N}1,\ P(z)=\prod_{p<z\\p\mid N}p.\tag2 \end{align} 这里不再对 1 而是对一个函数求和。从而上式是去估计一个加权的筛函数 S(\mathscr A;\mathscr P,z,\rho)=\sum_{a\in\mathscr A\\(a,P(z))=1}\rho(a)。也就是对每个元素加了权，再进行筛选，从而这种筛法称为「加权筛法」。所以，只要恰当选择权函数就可以让我们得到更好的结果。但是还得注意到，引进权函数之后我们的估计会大大复杂，所以在主项和余项估计中就产生了新的问题和困难需要克服。陈景润选择了如下的一个筛函数，并得到了这样的定理：\begin{align} \left|\mathscr A^{[b-1]}\right|&\geq\sum_{\left(a,P\left(\sqrt[\nu]N\right)\right)=1}\left(1-\frac12\rho_1(a)-\frac12 \rho_2(a)\right)+O\left(\left(\sqrt[\nu]N\right)^{\nu-1}\right).\\ &\mathrm{where}\ \rho_1(a)=\sum_{p_i\mid a,\ p_i\nmid N,\\ \sqrt[\nu]N\leq p_i<\sqrt[b]N}1,\\ &\rho_2(a)=\left\{ \begin{matrix} 1,& a=p_1\cdots p_b,\\& \sqrt[\nu]N\leq p_1<\sqrt[b]N\leq p_2<\cdots<p_b, \\&(a,N)=1;\\ 0,& \mathrm{otherwise}. \end{matrix} \right. \tag3 \end{align} 证明这一引理之后，就可以得到 \left|\mathscr A^{[2]}\right|>0.62c(N)\frac{N}{\log^2 N}，从而证明了 {1, 2}。但是，因为在 b = 2 时在估计主项和余项时出现了至今仍然无法克服的困难，利用陈景润的加权筛法不可能证明 {1, 1}。具体的证明过程参如下链接。他写得下。^Halberstan H, Richert H E. SIEVE METHODS[M]. ACADEMIC, 1974.^Halberstam, H., A proof of Chen's theorem, Asterisque, 1975, 24-25: 281-293.^潘承洞, 丁夏畦, 王元. ON THE REPRESENTATION OF EVERY LARGE EVEN INTEGER AS A SUM OF A[J]. Science in China Ser A, 1975, 18(5):599-610.^Ross P M. On Chen's Theorem that Each Large Even Number has the Form p(1)+p(2) OR p(1)+p(2)p(3) [J]. Journal of the London Mathematical Society, 1975, 10(4).^Fujii A. Some remarks on Goldbach’s problem[J]. Acta Arithmetica, 1977, 32(32):27-35.

陈景润证明的不是1+1=2，而是证明了“1+2”，1+1=2是数学公理不需要证明，而这里所说的1+2也不是简单的数字相加，而是对著名的哥德巴赫猜想的一种证明。陈景润的成果是证明了1+2，而这又是距离1+1的最近的一步，陈景润的证明是对于哥德巴赫猜想的一种证明，哥德巴赫猜想就是“任何一个大于2的偶数都可以写成两个质数之和”，比如说8=3+5，4=2+2等等。质数就是除了1和它本身之外不能被其它的数整除的数，而陈景润证明的1+2说明了大偶数可以表示为一个质数与不超过两个质数乘积之和，这里的1和2就是由此而来的，而不是简单的数字相加。哥德巴赫猜想的并不复杂，但是想要完美证明，的确不是一件简单的事，要知道当初哥德巴赫可是写信直接求助于大名鼎鼎的数学家欧拉，欧拉用了很久的时间都没有证明，所以哥德巴赫猜想由此出名，而这个猜想已经困扰了数学家们两个多世纪了。哥德巴赫猜想为什么这么重要呢？这是因为哥德巴赫猜想一旦证明，将会使数学诞生出新的分支，新的数学分支又可以为新的物理理论提供支持，最终催生出新的物理理论。陈景润证明的1+2，可以说是离1+1很近了，只要1+1被证明了，哥德巴赫猜想也就算是被完全证明了，所以说陈景润的成就的确是不容小视的。陈景润证明的1+2到1+1仅仅一步之遥，但是这一步之遥，直到50年后的今天，也没有实现。陈景润的定理被称为“陈氏定理”，从9+9到1+2，用了46年，然而想要到1+1，不知还要用多少年。进入近现代以来，人类已经用计算机验证了很多的数，都是对的，但是谁也无法保证会不会出现一个很大的偶数，它不满足哥德巴赫猜想呢？很多人都知道陈景润证明了1+2，但是却并不清楚这里的1+2只是对于哥德巴赫猜想的一种简化，而最终极的1+1，也不是证明1+1=2。至于证明这个到底有什么意义，我想数学家的追求不就是解决数学难题，推出新的数学理论吗？所以这么大的一个难题摆在人类面前，有什么理由不去解决它呢？说不定解决之后会有很多的惊喜等待着人类呢。镜像科普1.3万获赞 978粉丝我是镜像科普，带你探索未知。

说到陈景润的“1+2”，不得不提哥德巴赫猜想。那么，数学中璀璨的明珠哥德巴赫猜想到底是什么呢？1742年，著名的数学家哥德巴赫在给欧拉的信中提出了这一猜想：任何一个大于等于6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和、任何一个大于等于9的奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这引起了欧拉的高度重视，虽然欧拉本人认为这个猜想是对的，但是自己无法给出证明，连这个当时最著名的数学家都无法给出证明，于是，这个猜想就遗留下来了。在这么长的时间中，这个猜想一直无人碰触，直到1920年，挪威的布朗证明了“9 + 9”，他用的是筛选方法。之后在布朗的启发下，一众数学家开始攀登哥德巴赫猜想的高山，取得了不少成果。而陈景润证明的被称为陈氏定理，也就是上文提到的：任何一个充分大的偶数都可以表示成一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和。有的人问，能不能通俗易懂的介绍一下陈景润证明的过程呢？说实话，周山小编一直好奇，甚至想搞清楚哥德巴赫猜想和陈景润的“1+2”到底是什么？这里我干脆把陈景润当时的简化版的论文附上，看看大家是不是和周山小编一样，看也是看不懂？！这里我说明一下，周山小编虽然才疏学浅，不过好歹也是上个世纪90年代的大学生，也学习过线性代数和微积分，不过想看明白下面这些公式符号，充分调动我所有的脑细胞，最后还是一头雾水。（注：原版论文有200页，简化后的版本30页）现在是不是明白了，数学家哪有那么好当的，这个需要真本事，不是一天半天能够弄明白的。所以，我们只能通过通俗的方式表述它。1+2其实是一种弱化了的哥德巴赫猜想，陈景润证明了任意一个充分大的偶数都可以写成一个素数和最多不超过两个素数之积的和。如果想证明哥德巴赫猜想，那么证明1+2是一步步逼近终极答案的最后一步。很多人一看到这个1+2就会非常疑惑，怎么1+2还需要证明？这里的1+2当然不是算术，这是哥德巴赫猜想的一种简单方便的表述。我们大众所熟知的1+2=3,1+2=3这是由皮亚诺公理定义的，既然是定义，那就不需要证明。其实陈景润的实际工作是证明每个充分大的偶数都可表示为一个素数和一个素因子个数不超过2的正整数之和，即（1,2）。 杨乐、张广厚、华罗庚、陈景润在一起研讨。筛法是公元前300年左右由古希腊著名数学家埃拉托色尼提出的。陈景润在这个筛法的基础上，大大改进了这个算法，并创立了加权筛法的新技术。利用这个技术，陈景润把哥德巴赫猜想推进到最后一步， 后面的数学家不禁感叹，陈景润一下子把筛法发挥到了极致，人们几乎不可能在筛法上继续还有突破了。事实上，在1973年之后的将近50年间，人们再也没有更进一步推进到1+1了。“哥德巴赫猜想”研究三杰──中国科学院院士王元、陈景润和潘承洞（左起）在一起虽然看不懂公式，我们就了解一下陈景润拿下数学桂冠的背景资料以及过程吧：1965年初，陈景润将关于哥德巴赫猜想研究的手稿给王元（1930年-2021年，数学家，中国科学院院士，中国科学院数学研究所原研究室主任、所长。今年5月14日，王元逝世，他主要从事解析数论研究）看，王元说：“当他的手稿到我手上时，我想了几分钟就懂了，可我不相信这个想法会做出来，后来想了想，这篇文章中只有他用的苏联数学家一条定理的证明我没有看懂，其他都没有错误，就觉得他是对的，但这篇文章的发表不是经过我签字的。最后，关肇直和吴文俊支持他发表这个工作。后来，意大利一位数学家用简单方法证明了我认为有问题的那个定理，同时，苏联数学家也发表文章对其工作进行了修正。这样，陈景润的文章就没有任何问题了。”后来陈景润证明“1+2”的论文以简报形式发表在1966年5月15日出版的《科学记录》上。不过，其中的证明过程太复杂了，陈景润又试图简化证明过程。1972年，他将“1+2”证明全文投交《中国科学》，该文被送交闵嗣鹤和王元审查。最熟悉这方面研究的人是王元和潘承洞，但那时彼此都不敢来往，王元只能独立审查。王元说：“因为这是个大结果，为了慎重起见，我就叫陈景润从早晨到晚上给我讲了三天，有不懂的地方就在黑板上给我解释。他讲完了后，我确信这个证明是无误的。”但审稿意见的签署却非易事，如果不明哲保身有可能会搭上自己的命运和前途。在当时的社会环境影响下，搞纯理论研究被看成搞封建主义、资本主义……“如果支持‘1+2’发表，轻则受到批判，重则后果难测。不支持呢，让这样为中华民族争光的数学成果埋没掉，良心上过不去。”王元说，“经过反复思考，我决定支持‘1+2’尽快发表，在‘审稿意见’上写下‘未发现证明有错误’。”闵嗣鹤也支持发表。这样，陈景润“1+2”的详细证明终于发表在1973年3月15日出版的《中国科学》上。现在，陈景润走了多年了，他儿子陈由伟除了很顺利拿到了数学专业的硕士学位以外，他还选择开了一家医疗公司，走上了创业的道路。