回顾：一元复合函数 y = f( \varphi(x))
\Leftrightarrow y=f(u),
~~ u= \varphi(x) 其求导有链式法则： \frac{\mathrm{d} y} {\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} y} {\mathrm{d} u} \frac{\mathrm{d} u} {\mathrm{d} x} 画出函数关系图： y \to u \to x ，可见从 y 到 x 有一条路径，所以结果是 1 项的和，每一段路径（对应一个导数）乘起来。这个规则推广到多元复合函数也是适用的。本篇就来讲一讲这个基本方法，掌握了它各种多元复合函数求导，包括各种隐函数求导，无论多复杂都手到擒来。一. 基本步骤非常简单：（1）先理清函数关系，画出函数关系图；（2）按照规则写出式子（有几条路径就是几部分的和，路径的每段对应的导数用乘法连起来）。剩下的就只是计算，还要注意一元函数关系用直立的导，多元函数关系用偏导；还有通常的二元函数或多元函数（非隐函数，方程式才隐含隐函数），比如 z = f(x,y) , 其中的 x,y 是相互独立的，即 \frac{\partial x}{\partial y}
= 0
, \,
\frac{\partial y}{\partial x} = 0
, 也即通常求偏导时，将其余变量当常数对待。很多学生追求题海战术，往往忽略第一步，结果做了大量的题目，遇到难题还是不会。二. 若干例子下面通过几个例子来阐述。例1 u = e^{x^3+y^2+z}, \, z = x \sin y ,
求 \frac{\partial u}{\partial
x} .解：（1）分析函数关系， u 是 x,y,z 的函数， z 是 x,y 的函数，据此画出函数关系图：（2）按规则写出式子u 到 x 有两条路径： u 直接到 x ， u 先到 z 再 z 到 x \frac{\partial u}{\partial
x} = \frac{\partial u}{\partial
x} + \frac{\partial u}{\partial
z} \frac{\partial z}{\partial
x} =\cdots （计算略)注意：上式两个 \frac{\partial u}{\partial
x} 的含义是不同的，左端的 \frac{\partial u}{\partial
x} 是整个函数关系中的偏导关系，而右端的\frac{\partial u}{\partial
x} 只是这个分支路径的偏导关系，只考虑 u 对 x 的偏导，将 z,y 当常数对待。说明：整个函数关系是指“复合之后 u 只是 x,y 的二元函数（不含中间变量）”，即u = e^{x^3+y^2+x \sin y} 而将整个函数关系（含中间变量）表示成的上图，是对整个函数关系的一种分解，分解之后每部分关系都是相对独立的关系（不再混杂不清），即\left\{ \begin{array}{l} u = e^{x^3+y^2+z}, \\ z = x \sin y \end{array} \right. 故在按函数关系图写出式子时，不需要再考虑混杂关系，只需要按规则写即可。例2 隐函数求导也一样，除了时刻注意到隐含的函数关系。比如， F(x,y,z)=0 ,求 \frac{\partial z}{\partial
x} 和 \frac{\partial^2 z} {\partial
x ^2}
.解：(1) F(x,y,z)=0 隐含了函数关系 z = f(x,y) . 【当然，根据问题需要，它也可以隐含函数关系： x = g(y,z), \, y = h(x,z) 】先画出函数关系图（ F 是 x,y,z 的函数， z 是 x,y 的函数）：为了求 \frac{\partial z}{\partial
x} ，两边同时对 x 求导，注意隐含的函数关系 z = f(x,y) .按规则写出式子： \frac{\partial F}{\partial
x} = \frac{\partial F}{\partial
x} + \frac{\partial F}{\partial
z} \frac{\partial z}{\partial
x} =F'_x + F'_z \frac{\partial z}{\partial
x}
=0
\Rightarrow \frac{\partial z}{\partial
x}
= - \frac{F'_x}{F'_z} (2) 再求二阶偏导，按定义二阶偏导就是对一阶偏导结果，再求一次一阶偏导 \frac{\partial^2 z} {\partial
x ^2}
= \frac{\partial}{\partial x} \Big( \frac{\partial z}{\partial x} \Big) ，代入=\frac{\partial}{\partial x} \Big( - \frac{F'_x}{F'_z} \Big) 画出函数关系图，注意 F'_x , F'_z
的地位与 F 是相同的，仍有相同的函数关系：所以，上式先是商式求导，再注意到上图的函数关系，正常计算即可（略）。例3 设 F(x,y) 有二阶连续偏导，已知方程 F\big(\frac{x}{z}, \frac{y}{z} \big)=0 , 求 \mathrm{d} z .解：（1）先理清函数关系F\big(\frac{x}{z}, \frac{y}{z} \big)=0 是方程式，所以这是个隐函数，其中有 x,y,z ，所以实际上是 G(x,y,z)=0 , 它隐含的函数关系是 z = f(x,y) .要求 \mathrm{d} z ， 那就是全微分公式，需要先求 \frac{\partial z}{\partial
x} 和 \frac{\partial z}{\partial
y} 又 F 中的两个位置变量带表达式，所以，先引入中间变量（复合函数）简化关系，令 u = \frac{x}{z}, \,
v= \frac{y}{z} , 则方程式变为 F(u, v) = 0 画函数关系图（别忘了隐函数关系）：(2) 方程式两边 F(u, v) = 0 同时对 x 求导，按照上图和规则写式子：F 到 x 共有 3 条路径： F 到 u 到 x , F 到 u 到 z 到x , F 到 v 到 z 到 x. 故\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial F}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x}+ \frac{\partial F}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x}
+
\frac{\partial F}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} = 0 u,v 是自己引入的中间变量，不是原题目里的，按照约定用位置下标来写，即计算上式得F'_1 \frac{1}{z} + F'_1
\cdot (- \frac{x}{z^2} ) \cdot \frac{\partial z} {\partial x} + F'_2 \cdot ( - \frac{y}{z^2} ) \cdot \frac{\partial z} {\partial x} = 0 可解出 \frac{\partial z} {\partial x} = \frac{z F'_1}{x F'_1 +y F'_2} 同理，方程两边同时对 y 求导，可推得 \frac{\partial z} {\partial y} = \frac{z F'_2}{x F'_1 +y F'_2} (3) 于是，由全微分公式，可得\mathbb{d} z = \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{d} x +
\frac{\partial z}{\partial y} \mathrm{d} y = \frac{z ( F'_1 \mathrm{d} x + F'_2 \mathrm{d} y)}{x F'_1 +y F'_2}
例4 方程组 \left\{ \begin{array}{l} F(x,y,u,v) = 0 \\ G(x,y,u,v) = 0 \end{array} \right. 分析：若从 F(x,y,u,v) = 0 解出 v = g(x,y,u) 再代入 G(x,y,u,v)=0 可得 H(x,y,u) = 0 , 该隐函数可隐含函数关系 u = u(x,y) ; 同理，若先从第1个方程解出 u 再代入第2个方程，可确定隐函数函数关系 v = v(x,y) .故该方程组隐含两个二元函数关系：\left\{ \begin{array}{l} u =u(x,y)
\\ v = v(x,y)
\end{array} \right. 那么就可以求 \frac{\partial u} {\partial x}, \, \frac{\partial u} {\partial y}, \, \frac{\partial v} {\partial x}, \, \frac{\partial v} {\partial y} .画出函数关系图：原方程组两边同时对 x 求导，根据上图和规则可得\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\partial F}{\partial x} + \dfrac{\partial F}{\partial u} \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial F}{\partial v} \dfrac{\partial v}{\partial x} = 0 \\ \dfrac{\partial G}{\partial x} + \dfrac{\partial G}{\partial u} \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial G}{\partial v} \dfrac{\partial v}{\partial x} = 0\
\end{array} \right. 即\left\{ \begin{array}{l} F'_x + F'_u \dfrac{\partial u} {\partial x} + F'_v \dfrac{\partial v}{\partial x} = 0 \\ G'_x + G'_u \dfrac{\partial u}{\partial x} + G'_v\dfrac{\partial v}{\partial x} = 0\
\end{array} \right. 解这个关于 \frac{\partial u} {\partial x} 和 \frac{\partial v} {\partial x} 的二元一次方程组，即可求得\frac{\partial u} {\partial x} 和 \frac{\partial v} {\partial x}.同理，原方程组两边同时对 y 求导，解方程组可求得\frac{\partial u} {\partial y }和 \frac{\partial v} {\partial y}.总结：以上就是多元复合（隐）函数（无论有表达式还是无表达式）求导（包括求一阶、二阶导）的基本方法，通过一两道题掌握了这个基本方法，不用搞题海战术，这类题也都能轻松解决。主要参考文献高等数学，同济版。————————————————————原创作品，转载请注明。