这里是一则小广告：关注作者请点击这里哦：zdr0我的专栏里面不仅有学习笔记，也有一些科普文章，相信我的专栏不会让您失望哦～大家可以关注一下：数学及自然科学-尽力写最好的讲义，尽力写最好的科普。第三章 线性系统的时域分析法在确定了控制系统的数学模型后，便可以使用几种不同的方法来分析控制系统的动态性能和稳态性能。在经典控制理论中，常用的方法是时域分析法、根轨迹法和频域分析法。不同的方法有不同的特点和适用范围，但是比较而言，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。3.1 系统时间相应的性能指标控制系统性能的评价分为动态性能指标和稳态性能指标两类。为了求解系统的时间响应，必须知道的是输入信号（即外部作用）的解析表达式。然而，在一般情况下，控制系统的外加输入信号具有随机性而无法预先确定，因此，我们需要选择若干典型的输入信号。3.1.1 典型输入信号为了方便进行分析和设计，同时也为了便于对各种控制系统的性能进行比较，我们需要假定一些基本的输入函数形式，在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数。控制系统中常用的典型输入信号有：单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加速度函数、单位脉冲函数和正弦函数。它们的时域表达式和复频域表达式分别为：单位阶跃函数：\sigma(t)=\left\{\begin{matrix} 1 &,t\geq 0 \\
0 & t<0 \end{matrix}\right.\tag{3.1} \mathscr{L}\{\sigma(t)\}=\frac{1}{s}\tag{3.2} 单位斜坡函数:t,\quad t\geq 0\tag{3.3} \mathscr{L}\{t\}=\frac{1}{s^2}\tag{3.4} 单位加速度函数:\frac{1}{2}t^2,\quad t\geq 0\tag{3.5} \mathscr{L}\{\frac{1}{2}t^2\}=\frac{1}{s^3}\tag{3.6} 单位脉冲函数:\delta(t)\tag{3.7} \mathscr{L}\{\delta(t)\}=1\tag{3.8} 正弦函数:A\sin(\omega t)\tag{3.9} \mathscr{L}\{A\sin(\omega t)\}=\frac{A\omega}{s^2+\omega^2}\tag{3.10} 在实际情况中，究竟要采用哪一种典型的输入信号取决于系统常见的工作状态；同时，在所有可能的输入信号中，往往选取最不利的信号作为系统的典型输入信号。这种处理方法在许多场合下式可行的。一般选择的规则如下：阶跃函数：系统的工作状态突然改变或突然受到恒定输入作用的控制系统；斜坡函数：输入信号随时间变化的控制系统；加速度函数：可作为宇宙飞船控制系统的典型输入；脉冲函数：控制系统的输入信号是冲击输入量；正弦函数：系统的输入信号具有周期性的变化时。虽然这些输入信号各不相同，但是，在线性系统中，它们所对应的输出响应所描述的系统性能是一致的。应当指出的是，有些系统的实际输入信号是变化无常的随机信号，这时就不能用上述的确定性的典型输入信号去替代实际的输入信号，而必须采用随机过程的理论进行处理。为了评估线性系统对时间相应的性能指标，需要研究控制系统在典型输入信号的作用下的时间响应过程。3.1.2 动态过程与稳态过程在典型输入信号的作用下，任何一个控制系统的时间响应都应由动态过程和稳态过程两部分组成。\rm{i}) 动态过程动态过程又称为过渡过程或瞬态过程，是指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。根据系统的结构和参数选择情况，动态过程表现为衰减、发散或等幅振荡形式。显然，一个可以实际运行的控制系统，其动态过程必须是衰减的，换句话说，系统必须是稳定的。动态过程除了提供稳定性的信息外，还可以提供响应速度以及阻尼情况等信息。这些信息用动态性能描述。\rm{ii}) 稳态过程稳态过程是指在典型输入信号的作用下，当时间 t\to+\infty 时系统输出量的表现方式。稳态过程有称为稳态响应。表征系统输出量最终复现输入量的程度。提供系统有关稳态误差的信息，用稳态性能来表示。3.1.3 动态性能与稳态性能\rm{i}) 动态性能通常在阶跃函数的作用下，测定或计算系统的动态性能。因为一般来讲，阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态，如果系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么系统在其他函数形式的函数作用下，其动态性能也是令人满意的。描述稳定的系统在单位阶跃函数的作用下，动态过程随时间 t
的变化状况的指标称为动态性能指标。为了便于分析和比较，假定系统在单位阶跃输入前处于静止状态，而且输入量即其各阶导数均等于零。实际上对于大多数控制系统来说，这样的假设是符合实际情况的。图片3.1：单位阶跃函数。其中，动态性能指标通常如下：延迟时间 t_d ：指的是响应曲线第一次到达其终值一半所需要的时间；上升时间 t_r ：指的是相应从终值 10\% 上升到 90\% 所需要的时间。对于有振荡的系统，亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需要的时间。上升时间是系统相应速度的一种度量。上升之间越短，响应速度越快；峰值时间 t_p ：指的是响应超过其终值达到第一个峰值所需要的时间。也可用于评价系统的响应速度；调节时间 t ：指的是响应达到并保持在终值的 \pm5\% 内所需要的时间；超调量 \sigma\% ：指的是响应的最大偏移量 h(t_p) 与终值 h(\infty) 的差与终值 h(\infty) 的百分比。可表示系统的阻尼程度。即：\sigma\%=\frac{h(t_p)-h(\infty)}{h(\infty)}\cdot 100\%\tag{3.11} 若 h(t_p)<h(\infty) ，则响应无超调。超调量亦称为最大超调量，或百分比超调量。上述的五个动态性能指标，基本上可以体现系统动态过程的特征。\rm{ii}) 稳态性能稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下进行测定或计算。若时间 t\to\infty ，系统的输出量不等于输入量或输入量的确定函数，则系统存在稳态误差。稳态误差是系统控制精度或抗扰能力的一种度量。3.2 一阶系统的时域分析一阶系统指的是以一阶微分方程作为运动方程的控制系统。3.2.1 一阶系统的数学模型对于一阶系统的数学模型，我么通过一个例子进行说明，图片3,2：典型的一阶系统。如图片 3.2 所示的 RC 电路，其运动微分方程为：T\dot{c}(t)+c(t)=r(t)\tag{3.12} 其中， c(t) 为电路的输出电压； r(t) 为电路的输入电压； T:=RC 为时间常数。当该电路的初值条件为零时，其传递函数为：\Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{1}{Ts+1}\tag{3.13} 应当指出的是，具有同一运动方程或传递函数的所有线性系统，对同一输入信号的相应是相同的。当然，对于不行形式或不同功能的一阶系统，其相应特性的数学表达式具有不同的物理意义。3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应设一阶系统的输入信号为单位阶跃函数 r(t)=\sigma(t) ，则由式 (3.13) 可得一阶系统的单位阶跃响应为：h(t)=1-\exp^{-\frac{t}{T}},\quad t\geq 0\tag{3.14} 即一阶系统的单位阶跃响应是一条初值为零，以指数规律上升到终值 h_{\infty}=1 的曲线。而且，一阶系统的单位阶跃响应是非周期响应，具备以下两个重要特点：\rm{i}) 可使用时间常数 T 去度量系统输出量的数值。\begin{matrix} t & \%h(\infty)\\
T & 63.2\%\\
2T & 86.5\% \\
3T &
95\%\\
4T &
98.2\% \end{matrix}\tag{3.15} 根据这一特点，我们可以使用实验的方法测定一阶系统的时间常数，或判定所测系统是否属于一阶系统。 \rm{ii})
响应曲线的斜率初值为 \frac{1}{T} ，并随时间的推移而下降。例如：\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}h(t)|_{t=0}=\frac{1}{T},\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}h(t)|_{t=T}=0.368\frac{1}{T},..., \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}h(t)|_{t\to\infty}=0\tag{3.16} 从而使单位阶跃响应完成全部变化量所需的时间为无限长，即 h(\infty)=1 。此外，初始斜率特性也是常用的确定一阶系统时间常数的方法之一。根据动态性能指标的定义，一阶系统的动态性能指标为：t_d=0.69T,\quad t_r=2.2T,\quad t_s=3T\tag{3.17} 显然，峰值时间 t_p 和超调量 \sigma\%
都不存在。由于时间常数 T 反映了系统的惯性，所以一阶系统的惯性越小，其响应的过程越快；反之越慢。3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应当输入信号为理想单位脉冲函数时，由于 R(s)=1 ，所以，系统的输出量的 Laplace 变换与系统的传递函数相同，即 C(s)=\frac{1}{Ts+1} ，这时系统的输出称为脉冲响应，其表达式为：k(t)=\frac{1}{T}\exp(-\frac{t}{T}),\quad t\geq0\tag{3.18} 典型响应曲线的斜率：\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}k(t)|_{t=0}=-\frac{1}{T^2},\quad\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}k(t)|_{t=T}=-0.368\frac{1}{T^2},\quad\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}k(t)|_{t=\infty}=0\tag{3.19} 在初始条件为零的情况下，一阶系统的闭环传递函数与脉冲响应函数之间，包含着相同的动态过程信息。这一特点同样适用于其他各阶线性定常系统，因此常以单位脉冲输入信号作用于系统，根据被测定系统的单位脉冲响应，可以求得被测系统的闭环传递函数。3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应设系统的输入信号为单位斜坡函数，则由式 (3.13) 可以求得一阶系统的单位斜坡相应为：c(t)=(t-T)+T\exp(-\frac{t}{T}),\quad t\geq0\tag{3.20} 式中， (t-T) 为稳态分量， T\exp(-\frac{t}{T}) 为瞬态分量。式 (3.20) 表明：一阶系统的单位斜坡响应的稳态分量，是一个与输入斜坡函数斜率相同但时间之后 T 的斜坡函数，因此，在位置上存在稳态跟踪误差，其值正好为时间常数 T ，一阶系统单位斜坡响应的瞬态分量为衰减非周期函数。在阶跃响应曲线中，输出量和输入量之间的位置误差随时间而减小，最后趋近于零，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的初始斜率也最大；在斜坡响应曲线中，输出量和输入量之间的位值误差随时间而增大，最后趋于常值 T ，惯性越小，跟踪的准确度越高，而在初始状态下，初始位置和初始斜率为零，因为：\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}c(t)|_{t=0}=1-\exp(-\frac{t}{T})|_{t=0}=0\tag{3.21} 显然，在初始状态下，输出速度的输入速度之间误差最大。3.2.5 一阶系统的单位加速度相应设系统的输入信号为单位加速度函数，则由式 (3.13) 可以求得一阶系统的单位加速度响应为：c(t)=\frac{1}{2}t^2-Tt+T^2(1-\exp(-\frac{t}{T})),\quad t\geq 0\tag{3.22} 因此系统的跟踪误差为：e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T^2(1-\exp(-\frac{t}{T}))\tag{3.23} 上式表明，跟踪误差随时间的推移而增大，直到无穷大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。\large{\bm{\rm{Reference:}}} [1]. 自动控制原理—胡寿松.