关于转动惯量怎么算的求法

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-10-20 09:20 标签： 转动惯量怎么算
说个不用暴力积分的方法，用到平行轴定理，说得高大上点儿就是用了自相似的思想。我们把长方体分成8个完全相同的小块。很容易知道，每个小长方体都和大长方体相似，质量是大长方体的1/8，线度是大长方体的1/2。在形状和转轴都相同的情况下，转动惯量正比于质量和线度的平方，因此每个小长方体绕其体对角线转动的转动惯量是大长方体绕其体对角线转动惯量的1/32。示意图把上面说的这些梳理一下，就是：设原长方体质量为 m ，绕体对角线的转动惯量为 I ，则每个小长方体质量为 \frac{1}{8}m ，每个小长方体绕其体对角线的转动惯量为 \frac{1}{32}I。由平行轴定理，每个小长方体质量绕大长方体体对角线的转动惯量为I_{k}=\frac{1}{32}I+\frac{1}{8} m\cdot d_k^2\\其中 d_k 为每个小长方体平行于转轴的体对角线与转轴的距离（示意图中每条虚线与红线的距离）。由立体几何可以得到，d_k\ \ (k=1,2,3,...,8)分别为两个0，两个 \frac{a\sqrt{b^2+c^2}}{2\sqrt{a^2+b^2+c^2}} ，两个 \frac{b\sqrt{a^2+c^2}}{2\sqrt{a^2+b^2+c^2}} 和两个 \frac{c\sqrt{a^2+b^2}}{2\sqrt{a^2+b^2+c^2}} （使用对称性会很方便）。所以我们可以得到\begin{align} I&=\sum_{k=1}^{8}{I_k}\\&=8\times\frac{1}{32}I+\frac{1}{8}m\sum_{k=1}^{8}{d_k^2}\\&=\frac{1}{4}I+\frac{1}{8}m\cdot\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{a^2+b^2+c^2} \end{align}\\ 即I=\frac{m(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}{6(a^2+b^2+c^2)}\\

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