小学分数的意义第1篇五年级“分数的意义”这节内容是对分数意义的一次重大拓展：“把一些物体看做一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数表示。”这与学生三年级学习的“分数的初步认识”不同，可是教学常常因为学生的一知半解而使旧知掩盖了新知重点，教师该怎样处理呢？以下是我在教学“分数的意义”这一课时的一个片段，记录了学生由旧知到新知的重建过程。
课始，我在黑板上写下1/4，提问：“谁来说说它的含义？”学生纷纷举手，有的说把一个苹果平均分成4份，取其中的一份就是四分之一；有的说把一个面包平均分成4份，取其中的一份就是四分之一；还有的说把一个饼平均分成4份，取其中的一份就是四分之一……可说来说去都是围绕将某一食品或某一水果平均分成4份。我开玩笑地说：“一群馋猫，说来说去都是分吃的。难道就不能说点别的？老师给你们提供一个素材，说说杯子吧！”有个心直口快的学生说：“把一个杯子平均分成4份，取其中的一份就是四分之一。”听到他的发言，同学们迟疑了一会儿，用半信半疑的目光密切注视我的表情，希望从我这儿得到一个肯定或否定的评价，而我却笑而不语。这时一位学生自信地站起来更正道：“将一个杯子中的水平均分成4份，取其中的一份可以用四分之一表示。”其他同学立即向他投去赞许的目光，都觉得这个说法似乎比前一种说法更有道理。我没做任何评价，继续说：“更换一下背景，说说电视机吧！”教室里一片寂静，大家都不敢说了，只有一个调皮的学生小声地说：“把一台电视机平均分成4份，取其中的一份是四分之一。”孩子们的目光一下都集中到了我这里，看来“小调皮”替大家说出了心中的答案，他们急切地希望我能给个答复。我微笑着继续说：“说说我们的课桌吧！”也许是前几次的微笑“默许”让孩子们胆儿更大了，在我的“怂恿”下，孩子们成了一群“破坏王”，桌子、椅子、电视机都被平均分成了4份。一个平常成绩很好的学生突然站起来说：“老师，我反对将生活用品进行平均分，将茶杯、电视机平均分成4份，取其中的一份有什么价值呢？”他的话一说完，教室里的嬉笑声戛然而止，他的发言赢得了诸多同学的赞赏。大家一致的结论是“生活用品不能用分数表示”。我故意跟他们抬杠：“你们说不能，我说可以！我偏要将杯子、电视机这些物品平均分成4份，取其中的四分之一！”孩子们跟我争论，我笑着拉长了声调说：“看来你们不相信，可书上说可以！你们可以翻开书第61页看一看。”孩子们急速地翻书，很想了解其中的究竟。
待学生自学后，我笑着说：“我没骗你们吧，用的东西也能用分数表示，书上将杯子、电视机这些物品平均分成4份，对不对？”经过自学的孩子们可不是那么好忽悠了，立刻与我辩驳：“老师，书上是将一盒杯子平均分成4份，取其中的一份，用四分之一表示，开始同学说的是将一个杯子平均分成4份，这两种情况是不一样的。”“书上是把8台电视机平均分成4份，取其中的一份，用四分之一表示，而这个四分之一表示的是2台电视机，这个四分之一当然是有意义的！”“这2台电视机既可以用四分之一表示，又可以用2表示,这和我们以前学过的分数不同。”……孩子们的思维在渐渐深入，一步步接近教学的目标。
这一环节以学生的旧知为立脚点，通过开玩笑式的辩驳，突显了这节课的重点――把一些物体看做单位“1”，平均分成若干份，取其中的一份就是几分之几。另外，还向孩子们隐约地透漏了四分之一的双层含义，一层是作为一个具体的量的含义，另一层是作为一个分率的含义，这对孩子们的后续学习是大有帮助的。
（作者单位：岳阳市岳阳楼区站前小学）小学分数的意义第2篇
【关键词】小学数学 分数的意义 教学 分析
中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2013.10.064
小学五年级的学生对分数并不觉得陌生，因为他们在三年级的时候就已经对分数有了初步的认识，知道如果将一个苹果平均分为两块，那么每块就是这个苹果的一半，即二分之一，数学表达为1/2。不过，对于为什么可以这么理解与表达，学生就说不出原因了。要让他们从本质上理解分数，进而掌握知识的重点，实现知识迁移，就必须依靠数学的课堂教学了。下文中作者从全新的角度分析了《分数的意义》这节课存在的教学问题以及具体的改善实践。
一、教学存在的问题
1.教师方面。
（1）进行分数意义的教学时，教师会讲解平均分这一知识点，不过由于学生没有关于平均分的经验，所以很难抓住重点，经常出现乱分或者自认为是这样的心理。究竟是什么原因导致了这些问题？与哪些因素相关？有没有更好的解决方法呢？
（2）把一个物体视为整体相对容易，可是要把多个物体视为整体对于学生来说就很难了。数学教师应该怎样帮助学生构建知识关联的网络，从本质上理解“1”作为单位的内涵，从而准确区别单位“1”和自然数“1”之间的相同点与不同点呢？
（3）由于分数的意义这个知识内容过于抽象，因此很难与应用建立关联。如果以分数形式来表示实物的话，学生很容易接受；可是如果拿来平行比较的话，学生就很容易混淆，无法建立起彼此之间的对应联系。尤其是抓不准单位“1”的时候，就很容易找不到和分数对应的物体，这样会严重限制学生运用数学知识能力的提升。
2.学生方面。
（1）学生由于分数意义这一概念过于抽象而始终不理解，尤其是对于为什么一定要将整体进行平均分存在疑虑。如果没有强调平均分这一知识点，就可能导致学生思考的随意性，觉得任意分好像也没有什么问题，进而形成不愿意花功夫理解抽象知识、建立不起相关学习经验的尴尬局面。
（2）学生由于没有建立起对整体单位的深刻认知，而产生理解的偏差。对于学生来说，将一个物体视为单位“1”很容易接受，但是将多个物体同样视为单位“1”，就显得很难理解，没有过渡，无法形成知识的迁移。既然单位“1”和自然数“1”都是一样的“1”，怎么会代表完全不同的意思呢？学生很容易陷入这种认知的混沌中。
（3）学生盲目的套用理论知识，极易导致分数值和实际的物体对不上，无法以分数形式正确理解现实生活，在生活中完全用不上学到的分数知识。
3.问题原因分析。
（1）学生很难理解分数的意义，不明白平均分的真正原因，觉得随便分也可以，主要是源于他们的生活经验有限、理解能力发展程度不高、抽象思维能力有限等，这些因素共同导致了他们对知识理解的偏差。作者认为数学教师可以借助现实生活中的素材来构建情境，通过实物展示、认知刺激等提升学生的理解能力，在不断的磨合中总结经验，将抽象的概念变得形象具体，解决平均分这一难点，务求从源头上解开学生心中的疑虑。
（2）学生混淆自然数“1”以及单位“1”，是因为没有准确的掌握标准量，究其原因主要还是由于学生没有足够的生活积累，因此必须强化数学和实际生活之间的联系。学生很容易接受将单个物体视为单位“1”，可无法将多个物体视为单位“1”，这其实非常符合他们的认知水平。针对这种情况，数学教师需要尽量联系身边的实际，让学生明白自然数“1”就仅仅是一个数字而已，但是单位“1”则不仅能够代表一个物体，还能够代表许多物体，并用身边的实例向学生进行讲解，这样可以帮助他们构建自己的理解与认知体系。
（3）学生无法将分数值和实际物体对应起来，主要是由于他们没有建立起统一的认知。教师如果在这种情况下还一味的讲解理论，而不用实物进行对比，只会让学生更加迷茫。所以，数学教师应借助具体情境来统一学生的认知偏差，只有这样才可以消除学生认识混乱的情况。
二、改善问题的实践
对于上面的问题，作者认为还是要以教学实践为切入点进行改善。下面作者就简单阐述一下自己在教学中采用的实践方式。
1.平均分。
教学时，作者手中拿着一张正方形的纸，并对学生说：“大家先来认识一个分数1/2，你们知道它代表的意思吗？”接着作者就将纸张对折了一下展示给学生看；学生回答：“代表如果平均的将一个物体分成两份，其中的一份就是1/2”；作者接着随意折了一下纸张，又问：“我用这个表示1/2可以吗？”；学生回答：“不可以，你没有平均分”；作者就让学生自己动手折出1/2来，并同桌之间互相检查对方折得是否合理，还要说明理由。学生通过自己动手演示，折出了很多分数，并向同桌讲述了自己的折叠过程，这样能够有效提升他们对于平均分的理解程度，明白其重要性，进而建立起对分数的明确认知。
2.单位“1”。小学分数的意义第3篇
一、分数概念的引入
《数学课程标准》中指出:数学教育应该“在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上”,“帮助他们在自主探索和合作交流中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法”,“数学应源于生活,回归生活”。教学中,教师让学生操作测量:让学生用米尺测量黑板的长度,量了几次后还剩下一段不够一个计量单位(例如,不够1米).这时,要把这个计量单位分成若干等份,例如分成10等份,用这样的1份作单位来量.这一份是一个计量单位的十分之一(就是1米的十分之一,是1分米).如果,量了几次后,仍有剩下一段不够一个(分米的)计量单位,还要把这个(分米的)计量单位再分成10等份,用这样的1份作单位来量.这一份又是一个(分米的)计量单位的十分之一.这些被等分后得到的计量单位最好都要用分数来表示.教师指出:人们在实际测量中往往不能得到整数的结果,就要用新的数──分数来表示测量的结果。然后给学生介绍下面这个分数:
二、教学分数的意义
《分数的意义》是在学生已对分数有了初步认识的基础上进行教学的。教学的重点是理解分数的意义,学习的难点是理解“把几个物体看作‘一个整体’来平均分”。为使学生全面理解单位“1”,教师可作这样的分析:
教师让学生用自己的方法表示出和,可以提示学生用“折一折、画一画、涂一涂……”等办法,然后让学生展示自己的作品,教师并作讲解:
1、展示表示的作品
①老师提问:“你是怎么做的?”学生回答:“我是折出来的,对折了两次,其中涂色的部分就是这个圆的。”老师指着其中一块空白的部分,问:“这一部分用什么分数表示?”学生说:“也是用。”
②老师让学生自己说出是怎样创造的。
③老师用怀疑的语气问:“你是怎么想的?”那名学生说:“把四个圆放在一起,那个涂色的圆形是。”老师紧追不舍地问:“你是把谁平均分了?”学生说:“把这4个圆平均分。”老师满意地点点头,说:“对,我们把4个圆形组成了一个整体,把这个整体平均分。”同时,把4个圆形绑在一起了,变成了。老师指着任意一个圆形,要求学生说出用哪个分数表示。学生都能答出用表示。
2、展示表示的作品
老师让学生阐述创造的理由。(详细过程略)
3、为使学生加强理解,让学生再在纸上画出图2并做讲解
教师问:正方形的纸是怎样分的?分成几份?空白部分和阴影部分各表示这张纸的几分之几?(引导学生回答:把正方形的纸平均分成四份;空白部分是其中的一份,是它的四分之一,即;阴影部分是其中的三份,是它的四分之三,即.)教师在图上分别标上和.
在以上分析的基础上,指出一个物体、或许多物体组成的整体,通常把它叫做单位“1”,进而得出分数的意义是:“把单位‘1’平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数,叫做分数.”其中“平均分”是十分重要的.
为方便学生更一步理解,可以多举一些例子,例如:教师让班上第1小组的男生站起来,问:站起来的男生是这个小组人数的几分之几?把什么看作单位“1”?站起来的男生是全班同学的几分之几?又把什么看作单位“1”?学生回答后,教师说明,由于单位“1”不同,第1小组男生所表示的分数也要发生变化.
三、由具体到抽象理解分数的意义
认识单位“1”的基础上,让学生进一步理解分数的意义,比如:
师:认识了单位“1”,现在谁会用简洁的语言说说表示什么?
(把单位“1”平均分成4份,表示这样3份的数。)
依次出示、,请学生说意义。
生:把单位“1”平均分成若干份,表示这样3份的数。
生:把单位“1”平均分成4份,表示这样一份或几份的数。
生:把单位“1”平均分成若干份,表示这样一份或几份的数。小学分数的意义第4篇
1、教材分析
《百分数的意义和写法》是人教版小学数学第十一册第五单元百分数中较为重要的教学内容。它是在学生学过整数、小数，特别是分数的概念和应用题的基础上进行教学的。百分数的意义和写法，是这部分内容的基础，学生只有理解了百分数的意义，才能正确地运用它解决实际问题。
2、学生分析
对于百分数，学生在生活中已有一定的经验积累，如何激活学生的相关经验，适时进行数学化，让学生完成百分数意义的建构，是本课教学的关键。
3、教学目标
(1)知识与技能：使学生理解百分数的意义，掌握百分数的读、写法，应用百分数解决简单的实际问题。
(2)过程与方法：通过观察思考、比较分析、综合概括，经历百分数意义的探索过程，让学生主动参与，学会交流讨论。
(3)情感、态度、价值观：结合相关信息，让学生体会百分数与生活的密切联系。
4、重点、难点：借助生活经验，通过生活实例来理解百分数的意义。
二、说教法
《数学课程标准》强调从学生的生活经验和已有的知识背景出发，为学生提供充分的从事数学活动和交流的机会，促使他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识、数学思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验。本节课我在教学中主要体现以下的教学方法:
1、选择与学生生活背景有关的情境导入新课,为学生发现数学问题、探索数学问题提供丰富、生动、有趣的资源。新课开始,联系学生生活的具体实例引出百分数,再让学生试着找出日常生活见到的百分数,使学生感受到数学与日常生活的密切联系,感悟到数学来源于生活,生活中处处有数学。
2、自主探究、合作讨论、引导学生积极思维,体现学生的主体作用。这节课主要通过几条信息让学生探索、发现规律,进而概括百分数的意义。然后让学生自学课本,理解百分数的读、写法,发挥教科书的示范作用。最后让学生分组讨论分数与百分数的区别,进一步深化百分数的意义。这样教学循序渐进,不仅使学生获得知识与技能,同时关注学生的数学思考、解决问题、情感态度与价值观。
三、说学法
1、通过学生自主探索、独立学习、合作交流，逐步理解百分数的意义，培养学生初步的概括能力和自学能力。
2、利用所学的知识去探索解决实际问题，培养学生运用知识的能力、分析解决问题的能力和初步的创新能力。
四、说教学流程
(一)创设生活情境，初步理解百分数
给学生一段含有百分数的信息:期末考试，我们班的数学成绩情况如下：得优的学生占65%，得良的学生占25%，及格的学生占10%。
师：在这条信息中出现了一种我们没有学过的数，你们知道这是什么数吗?并让学生试着说一说，是怎样理解这里的百分数的?在生活中你见过百分数吗?说一说自己收集到的信息。
(二)自主探究,解决问题。
1、百分数的意义
(1)出示两条信息：①长城干红葡萄酒的酒精度是
11%;②五粮液酒的酒精度是39%。问:喝同样多的长城干红葡萄酒和五粮液酒,哪个容易醉?为什么?
(2)出示信息:某小学六年级的100名学生中有三好学生17人,五年级的200名学生中有三好学生30人。提问学生哪个年级的三好学生人数占的比率大。学生通过计算，比较，得出六年级三好学生人数占的比率比五年级大。
(3)概括百分数的意义。
2、自学百分数的读、写法
分三个层次学习：(1)、学生先自由看书;(2)、指名学生汇报百分数的写法，老师要重点指导百分号的写法，做示范;(3)、汇报百分数的读法,学生容易把分母100的分数的读法与百分数的读法混淆，要指出两者的区别，并出示不同的百分数让学生读
3、探究百分数与分数有什么区别和联系
师提供信息，下列三句话中的分数，哪些可以改成百分数?哪些不能?
(1)修了一条路的3/5。(2)杨树的棵数是松树的1/4。(3)一根绳长5/8米。
学生在做出判断后，组织学生讨论百分数和分数有什么区别和联系，并小结。
(三)拓展延伸,深化提高
1、先读出下列百分数，再用合适的百分数填空。
100%2%120%90%10%
(1)小汽车的速度是卡车速度的()
(2)今天来这上课的同学占全班同学的()
(3)由于这次测验，同学们准备很充分，不及格人数只占总人数的()
(4)去年植树节，我班植树中，成活的棵数占总棵数的()，死亡的棵数占总棵数的()。
2、出示信息:(1)我国的耕地面积约占世界的7%。(2)我国的人口占世界的22%。
看了这两条信息,你想到什么?
3、出示两种衣服的标签：A含棉100%，B含棉75%，如果你是顾客，你会买哪一种，请说说你的想法。小学分数的意义第5篇
一、对“分数的意义”教学现实的追问
笔者听过多节五年级“分数的意义”的课，有常态课，也有观摩课，尽管这些课上教师行为、学生课堂表现有较大差别，但是他们的课堂教学结构却大同小异。笔者新近对某小学五年级数学教师的教学计划决策和课堂交互决策作质性研究，以其中的一节“分数的意义”为例，该教师的课堂情况可以大致归纳如下：学生动手操作学具用语言（或具体分数）表示结果。即在课堂上，每个学生都有一副学具，有糖果、棋子、圆形纸片和方形纸片等。学生任意“操作”一个分数，教师再抽查学生用语言表述自己分物的过程和具体分数，比如“我有八个棋子，把它们平均分成4份，其中的1份占这个整体的四之一，用表示。”
类似这样的教学过程可以图示如下：
图1 “分数的意义”现实教学过程图
在课前和课后的及时访谈中我们了解到，教师之所以作出这样的教学决策主要基于对教材的认识和解读。教材（人教版）提供了四条信息（图2）：（1）言语“你能举例说明的含义吗？”（2）圆纸片、方纸片和线段图；（3）香蕉和面包，并附“每根是这把香蕉的”“每份是这盘面包的”的示范语言；（4）分数意义和单位“1”含义的描述语言。教师由信息（1）（3）（4）决策课堂活动的主要形式是学生动手操作并言语表述；由信息（2）和（3）决策学生的操作活动是“分实物”。也就是说，教师从上述信息中作出了两个推理和决策，一是视纸片和面包为起到等同作用的实物；二是视言语表述为分数意义学习的唯一路径。于是，便产生了图1所示的教学过程。
基于这种现实教学中并不鲜见的现象，通过对教材资源进行深度挖掘，并对信息的意义及信息之间的关系进行深度剖析，我们不禁要追问：纸片与面包完全等同吗？分数意义学习只有“分实物言语表述”的单一走向吗？
二、分数意义教学中的纸片：由实物走向模式
对问题“纸片与面包是否完全等同”，在了解关于分数及其意义的一些基本原理后便可明确作答。
（一）表达“部分与整体关系”意义的模式
我们知道，分数的重要意义之一就是表示了“部分与整体的关系”，这个看似简单的命题，我们的孩子实际上很难达成认识和理解。除了分数本身比较抽象外，更主要的原因在于教师没有明确引导学生建立一些能更形象、更全面说明分数意义的模式。
关于“部分与整体关系”意义的模式有四个渠道可以建立：范围、长度、集合和面积。范围模式对儿童来说是最具体也最容易操作的，整体（单位“1”）是一个范围，而部分是大小与形状的叠合。教师们通常采用这个模式进行分数学习的后续讲解，教师们最常用到的范围模式有圆形和矩形，其实三角形也是一个不错的选择：
图3 “部分与整体关系”之范围模式图例
但是，它们各自有些特点需要注意。圆形模式便于儿童发现整体却对部分较难理解，矩形模式易于儿童理解部分却难于理解整体，而三角形模式两方面都比较困难。
集合模式则用一个集合作为整体，如图4所示：
图4 “部分与整体关系”之集合模式图例
集合模式对于儿童理解分数有一定困难，因为他们连分实物都会产生一些困难，何况这种抽象的模式。不过，教师可以通过操作实物渗透集合均分的思想，也可以渗透一个整体中可以包含不同类别的物体的意义，比如教师可以在提供的学具中既包含糖果，也包含棋子。需要注意的是，即使教师不准备这样做，自己也应该很清楚这一点，因为教师对分数意义全面、完整的理解对学生建构分数的意义具有重要作用。
线段图属于长度模式，小学生比较熟悉，也比较容易理解。面积模式包含了范围模式所涉及的情况，这个模式适合于较大儿童（四年级及其以上），图5可以帮助孩子更好地理解这类模式。
图5 “部分与整体关系”之面积模式图例
由上可知，分数表达了“部分与整体的关系”，而范围、长度、集合和面积则把这种关系和意义模式化，使孩子们对分数意义的理解更直观、渐进和全面。进一步地，如果能够意识、找到并恰当运用这些模式，我们的教学也许会更有效。
(二)教材中具有“模式”功能的信息源
那么，教材中是哪些信息在提示我们要构建并运用模式作为学生认识和理解分数意义的桥梁呢?
我们回到图2，结合上述的分析便不难理解，教材中呈现的线段图、圆纸片和方纸片，特别是纸片，除了是实物外，更重要的是兼具了“模式”的功能。线段图属于长度模式，圆纸片和方纸片既属于范围模式也属于面积模式。如此的话，教材中的信息源除了“分实物”“言语表述”和“符号”外，又多了一个元素，即“模式”。
相对于以往对教材中纸片的认识，通过今天的讨论，纸片便“返璞归真”，兼具实物与模式的功能，其中，模式的功能似乎更富含教学的意蕴。通过对“分数的意义”教材的重新解读，纸片实现了由实物走向模式的角色转换，并将因此给“分数的意义”的教学带来新的生机和活力。
三、构建“模式主导，双向多维”的教学结构
(一)模式的核心地位
在教材所呈现的四个元素，即实物、模式、言语和符号中，模式是联结其余三个元素的桥梁。
首先，纸片是面包、香蕉等实物平均分的模式化。模式是实物操作的数学转化，从实物走向模式是学生经历数学思维抽象、归纳并建立逻辑关系结构的过程，是数学化的过程，即模式化的过程就是数学化的过程。弗赖登塔尔说“没有数学化就没有数学”，真正的数学知识应当是关于抽象的数学对象的研究，而并非对于真实事物或现象量性属性的直接研究。所谓数学是模式的科学，由实物操作走向模式走出了数学味。
其次，模式与符号和言语之间分别建立了双向逻辑关系，即模式?圮符号、模式?圮言语、符号?圮言语(经模式表象)。这样的关系可图示如下：
在上述图形中，模式元处于中心地位。模式由实物操作数学化而来，形成“分数意义”抽象的研究对象，并为分数意义的学习提供直观材料和意义建构的载体。例如，平均分香蕉为4份(实物操作)，将该过程模式化为平均分成4份的长方形纸片，该模式与符号、言语“把香蕉平均分成4份，其中的一份是整体的四分之一”形成双向逻辑关系，而符号与言语之间经由长方形纸片模式建立了双向逻辑关系。这里提到的双向逻辑关系在后面的探讨中，将更详细地予以解释。
据此，通过分析教材、提取信息解读信息背后的含义建构信息之间的关系等步骤，纸片的“模式”功能在上述关系图中的核心地位凸显出来，它不仅能使分数意义的教学活动的数学味更加显现，也能使该教学过程显得立体多元。
(二)“模式主导，双向多维”教学结构的操作要义
如果把上面对模式、符号、言语、实物之间的关系的分析和探讨相应地进行教学过程化，那么，“模式主导，双向多维”的教学结构便水到渠成。如图6：
图6“分数意义”之“模式主导，双向多维”教学结构示意图
把这样的双向关系转化为相应的分数意义的学习活动，则至少有六种路径：
(1)由模式写符号；(2)由符号选模式；(3)根据符号进行言语表述(借助模式表象)；(4)由表述写符号(借助模式表象)；(5)根据模式进行言语表达分实物的过程(结合符号)；(6)言语表达分实物过程后再选模式或画模式。
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其中，(1)与(2)，(3)与(4)，(5)与(6)，是三组互逆的学习过程，能够培养学生的逆向思维，进而使传统教育中所忽视的发散思维能力得到很好的培养，从而促进学生创造性思维的养成。而实物操作到模式的数学化过程则是分数意义学习的逻辑起点。
以上解析了分数意义的学习过程，对于教师而言，“模式主导，双向多维”教学结构的操作要义如下。
要义一：(1)创设情境，引导学生经历由实物操作走向模式的数学化过程；(2)给模式写符号，同时给符号选模式；(3)借助模式表象，给符号进行言语表述，同时给表述写符号；(4)给模式，儿童言语表达分实物的过程，同时儿童言语表达分实物的过程后再选模式或画模式。
要义二：(1)分实物后引导学生经历实物操作到模式的数学化过程，然后写出分数符号；同时，先给出符号由学生选模式，然后再表述分实物的过程；(2)给符号后要求学生言语表达(或画)模式，再依此描述分实物的过程；同时，言语表述模式后，描述分实物的过程，再写出符号。
前者将实物操作到模式的数学化过程相对独立化，后者则将该过程糅合于各个双向的逻辑关系之中。
(三)两种教学结构的比较
图1和图6分别基于教学现实和理论分析勾勒出两类小学五年级“分数的意义”的教学结构，即“分数的意义”现实教学过程和“模式主导，双向多维”的教学过程。前者呈现断裂性和单向性的特点，学生学习分数意义的活动断裂进行(分实物言语表述符号或分实物言语表述分物过程)，跨越了“实物到模式”的数学化的过程，并构建了“实物到言语”的单向学习活动，使整个学习活动显得单一和断裂，不利于学生全面、深刻地理解分数的意义，不利于学生体悟和积累数学化的数学经验，其根本是不利于学生数学思维的发展。逆向思维是发散思维的一种重要形式，发散思维又是创造性思维的基础。所以归根结底是不利于学生创造性思维的培养。
后者呈现多维性和双向性的特点，模式元素是整个结构的核心，各个元素之间的关系是双向互动的关系，从多个维度(实物模式?圮符号、实物模式?圮言语或实物模式、模式?圮符号?圮言语等维度)实现学生对分数意义的全面理解，有利于学生积累丰富的数学活动经验，更有利于学生数学思维、创造性思维的良好发展，为学生未来的数学学习生活注入活力。
调研中有教师说，在一次小学数学毕业会考中，有一道题目是要求学生根据给出的分数在给出的方格图中用阴影表示出来(即给出符号选择模式)，绝大多数学生没有做出来。这实际上就是在教学中没有注意到“模式主导，双向多维”的教学模式所致。
四、“模式主导，双向多维”教学结构的教学意义
我们归结分数意义的教学结构，并非仅仅追求外在教学形式的简单改变，意在深入挖掘其内蕴的教学意义，使教学形式的改变由内至外而发生，而非外力强加的、缺乏灵魂的生硬动作。
“模式主导，双向多维”的分数意义的教学，其内涵的意义至少有以下两点。(1)数学化是数学学习的逻辑起点。数学的研究对象是从现实事件中抽象出来的模式，而不是现实事件本身。从现实事件抽象出模式的过程，是数学化的过程。(2)数学学习过程是各路径双向互动、多路径融会贯通的有机整体。数学学习过程是多路径交错的动态过程，各路径相对独立，又整体关联，相互依存。独立的路径双向互动，并非单一走向；关联的路径融会贯通，以一定的模式相互整合，构成数学知识意义生成的有机载体。
上述教学意义的提炼，期望有助于教师更有效地教学“分数的意义”，进一步地，能把这些教学意义合理迁移到其他的数学教学领域。小学分数的意义第6篇
一、小学数学分类思想的意义
在小学数学中，分类能力的发展，反映了儿童的思维发展，特别是概括能力的发展水平。它既是学生逻辑思维能力发展的重要方面，又对促进学生逻辑思维能力的发展具有重要作用。
1.为达到高级思维奠定基础
加涅的智慧技能的学习过程和条件的层级关系是：辨别（以辨别为条件）具体性概念（以具体性概念为条件）定义性概念（以定义性概念为条件）规则（以规则为条件）高级规则。由于分类活动往往涉及辨别，因此学习往往可以从分类开始，然后在此基础上抽象为具体概念和定义性概念，最后为形成规则和高级规则奠定思维基础。
2.形成完善合理的知识结构
分类往往是为了建立一定的序，因此知识积累到一定程度，运用分类思想能够帮助学生有条理、有顺序，并且不重复、不遗漏地归纳整理知识，形成完善合理的知识网络图。根据学习心理学的研究表明，良好的知识结构对于提取知识和解决问题是十分重要的。
3.发展儿童的组织策略
组织策略即根据知识经验之间的内在关系，对学习材料进行系统、有序的分类、整理与概括，使之结构合理化。应用组织策略可以对学习材料进行深入的加工，进而促进对所学内容的理解与记忆。可见学会分类是发展组织策略的重要前提。根据研究表明，小学中低段儿童虽然不能自发地产生和运用组织策略，却能通过一段策略训练后学会使用组织策略。 因此通过数学学习渗透分类思想后，可以发展儿童的组织策略，并迁移到其他学科的学习中去。
二、小学数学教材部分有关分类思想的内容
分类思想贯穿整个小学数学阶段，除了人教版一年级上册有分类单元以及三年级上册数学广角涉及分类思想外，教师要挖掘教材中其他隐含的分类思想，如下表（以人教版教材为例）。
三、小学分类思想的教学策略
1.用分类思想引入新知识和新概念
（1）用分类活动引入新知识
从学习心理学角度来看，在低段往往通过设置具体的分类活动，使学生通过概念形成，达到不严格的具体性概念阶段。如在“认识三角形和四边形”时，可以出示点子图，根据图形是否为封闭图形分为封闭和不封闭图形。在封闭图形中，根据图形有几条线段围成，分为三角形、四边形、五边形三类。在学生完成点子图上的三角形和四边形后，又根据三角形是否有一个直角再分为两类。
（2）用分类思想引入新概念
而到了中高段，则可以适时地根据学生的思维能力来逐渐地通过概念同化来形成定义性概念，从而促进学生抽象思维的发展。如在引入平行线的概念时，不少教师是通过日常生活中的具体事例介绍，再经抽象概括形成“平行线”的概念。可是，实际生活上见到的都不可能是严格定义上的平行直线，可能是射线，或者是平行线上的两条线段。因此，我们也可以通过让学生将同一平面内两条线段的关系进行分类，得到有交点和没有交点两种情况，然后再将没有交点的进行分类，得到适当延长后就会有交点的，和无论怎么延长后都没有交点。然后让学生想象每幅图中的两条线段向两方无限延长，成为两条直线的情况，从而认识同一平面内的两条直线只有有交点和没有交点两种位置关系。这就为更加理性地认识平行线，通过概念同化来定义平行线做好了充分的铺垫。
（3）引导学生关注分类的依据
在引入概念时，教师应适时地引导学生思考为什么要这样分类，怎样分类更合理。例如“三角形分类”的教学，应该将重点集中于“为什么要这样的分类”“怎样分类较为合理”，而不应在“角的度量”等实践活动上花费过多的时间和精力。教师可首先对角的分类情况作出回顾，特别要提醒：在各种角中直角是较为特殊的，而后引导学生思考三角形分类和角的分类有什么不同？能否参照角的分类去进行？并引导学生对这样一种分类方法的合理性作出具体分析：第一，是否存在交叉重复的情况，即如一个三角形既是直角三角形，同时又是锐角三角形？第二，分类是否有遗漏，是否可能存在这样一个三角形，它既不是直角，也不是锐角或钝角三角形？
2.用分类思想归纳整理知识
当知识积累到一定程度往往需要用分类来归纳所学的知识，到了中高年级尤其如此。因此需要学生掌握合理的分类方法，满足互斥、无遗漏、最简便的原则，以形成完善合理的知识网络。
在小学阶段，学生需要掌握的内容，根据数学分类的方法常有以下几种：1.根据数量特征和数量关系进行分类。如整数、小数、分数的分类，运算法则的分类，等等。2.根据图形的特征或相互间的关系进行分类。如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。如果以边的长短关系分类，三角形可分为不等边三角形和等边三角形；等边三角形又可分为正三角形和等腰三角形。3.根据解决问题的探索方向进行分类。如：直线行程问题和环行行程问题，可以看出他们在解决问题的方法上有相似性。
为了使学生形成良好的知识结构，用分类思想归纳整理知识时，往往需要同时借助比较、对比、举例等方法来突出各个知识点之间的区别和联系，查缺补漏，消除错误的知识印象。为了更加形象直观，也可借助表格、图表等表示，如“韦恩图”就是个很好的工具。
另外教师应注意在运用分类思想整理归纳知识时，引导学生自主地构建知识网络。如吴正宪老师教授数的整除复习课时，当学生出现不恰当的分类时，吴老师放慢速度，耐心等待，不急于告知，而是通过一个个问题，如“什么叫整除？能举个例子来说明吗？”“这个整除到底管谁？”等等，巧妙地引导学生，留给学生足够的思维空间去自主构建关于数的整除的知识网络图。
3. 用分类思想解题
用分类思想解题是小学数学中一个十分重要的解题方法。首先通过一一枚举，然后根据对象正确分类，并不重复又不遗漏，既能解决很多问题，又能预防学生的错误甚至盲目拼凑的毛病，培养学生缜密的思维。如2、3、4能排多少个数字，根据数位的分类排列，就不会有遗漏。
4.通过动手实践和合作交流渗透分类思想
新课程强调动手实践、自主探索和合作交流的学习方式，对于分类思想的教学同样也需要联系学生的实际经验，强调通过动手实践和合作交流来让学生亲身体会为什么要分类和新课程中关于分类的方法，即“同一标准下的一致性，不同标准下的多样性”。如吴正宪老师教学二年级《搭配问题》一课中，首先联系学生穿衣搭配的情境，让学生在多层次的活动中体验无序之乱，从读中悟序，然后通过学生之间合作交流，学生演示和教师演示，用符合表示，等等，让学生体会在分类的过程是否可能出现交叉重复的情况，是否有遗漏，使分类思想的渗透润物细无声。
5.引导学生根据数学的量性特征进行分类小学分数的意义第7篇
【关键词】小数的意义 网络 学前调查
目前正在使用的北师大版教材将“小数的认识”分为两个阶段来学习。“小数的初步认识”安排在三年级上册第八单元，主要是联系儿童的现实生活，以元、角、分和常用的长度单位为背景，让学生初步认识小数。“小数的意义”安排在四年级下册第一单元，这一阶段教科书将在学生认识小数现实模型的基础上，借助面积模型和线段模型，与十进分数之间建立联系，进一步促进学生对小数的理解。即将学习“小数的意义”的四年级学生，有多少能正确建立小数与分数的联结？有多少能用面积模型和线段模型表征小数？对于小数序列、小数稠密性和小数估测的能力又如何？没有形成这些能力的学生存在哪些主要类型的错误想法？为了解以上问题，笔者精心设计了问卷，借助相关系统的测评功能和数据搜集分析功能开展了学前调查，并在此基础上提出了教学建议。
一、测试问卷、对象及过程
2017年1月13日，笔者选择了所在县市的三个学校的871名三年级学生参加测试。测试问卷包括小数与分数的联系、小数图形表征、小数序列、小数稠密性和小数估测五类共11道选择题。每道题目的各选项根据三年级上册“小数的初步认识”后测搜集到的学生可能出现的答案设置而成。（具体题目见“测试结果及分析”）
测试前先委托任课教师向参加测试的班级说明测试要求，并将要求以校讯通短信的形式告知家长。当日晚6：00，将问卷链接发送至参加测评班级的微信群，学生点开链接进行答题。整个过程要求他人不得提供任何帮助，学生觉得作答完毕，点击提交问卷。2017年1月14日，根据学生的答题情况，电话通知了三个学校的各6名学生返回学校进行面对面访谈，所有访谈由笔者亲自完成。
二、测试结果及分析
（一）各题正确率统计及分析
从图1可以看出，对于小数与分数的联系、用面积模型和线段模型表征小数、小数序列、小数稠密性和小数估测等知识有接近半数或超过半数的学生已经了解。其中第9题关于小数序列的题目正确率最高，第2题、第4题关于两位小数和分数的互化正确率最低。
（二）小数与分数的联系答题情况统计及分析
（由于“问卷网”中不支持分数的输入，所以所有分数采取文字的形式输入）
从表1可以看出，像（1）（2）这样的题目主要的错误类型是将[a].[b]或[a].0[b]看成[ba]或[ab]（对于[a].0[b]，他们忽视0的存在，将0.05与0.2一样处理），其中看成[ba]的占多数。将0.2与零分之二对等的学生占了33.41%，将0.05与零分之五对等的学生占了33.30%。这部分学生直接将小数表面的数字认为就是分数的分子和分母，而没有明白[a]和[b]表示的意义。
从表2可以看出，这两题的主要错误和小数化分数的主要错误是相对应的，将[ba]看成[a].[b]或[b].[a]，看成[a].[b]的居多。将十分之三看成10.3的占了38.81%，将一百分之七看成100.7的占了39.72%。这两类学生从分数表面有的数字来拼凑答案，直接把分子、分母添上小数点变成小数的形式，认为就化成小数了，同样也没有明白各个数字表示的意义。
（三）小数的图形表征答题情况统计及分析
本次测查中图形表征的题目采取了两种表示连续量的图形，分别是一维线段模型和二维的面积模型。从表3中可以看出，不管是面积模型还是线段模型，主要的错误都是选择了表示0.01的图示，错误率分别是24%和18.25%。这些学生潜意识里有十等分的概念，但错认为0.1是表示均分成100份中的一份，说明他们并没有形成正确的位值概念。
从表4中可以看出，对于两位小数的图形表征，两种模型的主要错误刚好和一位小数的图形表征相反，最主要的错误是选择了表示0.1的图。面积模型和线段模型的错误率分别是19.40%和29.05%，这又一次说明部分学生对于小数部分位值的理解有困难。
（四）小数序列答题情况统计及分析
该题选11.0、11、11.00这三个答案都是正确的，正确率是79.6%。主要错误是10.10，占了19.29%。这部分学生是将小数的整数部分和纯小数部分割裂开来处理，这也说明他们对小数部分的位值概念缺乏理解。
（五）小数的稠密性答题情况统计及分析
这道题的主要错误是认为7.3和7.4之间没有小数，占了30.42%，说明这些学生不知道数与数之间可以继续被分割。认为7.3和7.4之间有1个、9个、10个小数的学生分别占了7.12%、6.43%、3.44%，这些学生知道小数可以再进行等分，但似乎没有体会到可以经过无数次均分。本题选择错误的学生都没有形成小数稠密性的概念。
（六）小数的估测能力答题情况统计及分析
本题有53.50%的答案是正确的，但从访谈中了解到，他们中的大多数并不能从“将整体1进行十等分”的角度去思考比1多的部分，而是通过1.5这个中间数找到的。主要错误是选择1.9元，占了24.11%，这些学生能够判断大括号括着的部分比1.5大，比2小，但只局限在知道大概的区间。本题不管是从正确答案的访谈还是错误答案的分析都说明学生将整体1进行十等分的意识非常薄弱。
三、对教学的启示
（一）基于学生的已有经验组织教学
从已有经验向科学概念的运动过程就是教学。测查结果显示，通过“小数的初步认识”的学习以及平时生活经验的积累，上述五个知识点已经有接近半数或超过半数的学生有正确经验，其他学生也有自己的想法。教学时建议教师搜集学生生成的正确素材和错误素材，组织学生对生成的素材进行分析、归类和归因，从而实现有效教学。
（二）教学过程中要凸显“整体1”
从表1、表2中看出，很多W生将[a].[b]、[a].0[b]看成[ba]或[ab]，将[ba]看成[a].[b]或[b.a]。从表5中看出部分学生认为10.9+0.1是10.10。这些错误表明学生还不明白小数点左右两边所表示的意义、小数点的作用以及小数点两边数之间的关系，他们将小数点左右两边的数当作两个独立的整数看待。要让学生明白小数点左右两边的数所表示的意义，笔者认为首先要强调小数的“整体1”，如2.3元，“整体1”是1元，整数部分的2表示有两个1元，小数部分的3表示将“整体1”平均分成10份，每份是0.1元，3份是0.3元。除了借助教材中提供的连续量的情境强调“整体1”外，建议加入一些离散量的情境，如一串冰糖葫芦有10颗，3.5串有几颗。在多元情境中让学生理解小数中的“整体1”就是分数中的“整体1”。
（三）让学生经历十等分、百等分及单位累加的过程
为了消除学生将小数点左右两边的数当作两个独立整数来看待的错误想法，除了凸显“整体1”，在教学中还要强调让学生经历十等分、百等分的过程，在动手中加深印象。北师大版四下“小数的意义”教材编排非常重视纯小数与十进分数之间的联系，然而教材只是要求学生用数表示阴影部分，并没有设计十等分的活动，笔者觉得这样做学生可能只会关注涂色的那一份或几份，却忽视了“整体1”被等分成几份。所以建议，教学中只提供空白的正方形，让学生经历十等分、百等分的过程，积累基本经验，加深印象。此外，为了让学生理解“小数序列”这一概念，当学生经历十等分、百等分产生小数的计数单位后，可结合面积模型或者是计数器，采用单位累加的形式进行其他小数的学习，如3个0.1就是0.3。这样的视觉表征可让学生轻松地掌握像0.9进位至1.0、0.99进位至1.00这样的小数序列概念。
（四）利用数线的无限分割，加强小数稠密性概念的教学
从表6中我们发现，有51.66%的学生不能理解小数的稠密性概念。小数的稠密性与整数的离散性有区别，与分数的稠密性相类似，虽然这个特性不属于小学数学的学习范围，但笔者觉得在教学中教师应该采取相应的措施让学生有所理解。比如，学生有直尺画线的经验，且直尺又具有十等分的属性，教师可从直尺中引入数线的学习，不仅可以激发学生的兴趣，还能让学生感受到0和1之间、1和2之间……还藏着很多数。借助直尺抽象出数线后，再借助课件分步展示将数射线十等分再十等分，让学生不断感受细分的过程，逐渐体会两个小数之间还存在着无数个小数。
（五）借助多元情境，培养小数的估测能力
估测实际上是对小数基本概念的应用，学生必须明确地知道“整体1”是什么，并明白各计数单位之间十等分的关系才能进行估测。如果按照上面的四条建议实施教学，学生的估测能力定会有提高。但除上述建议，笔者觉得教师还应创设多元化的情境让学生经历估测的过程。如提供长度的情境、面积的情境、容量的情境等，在各种不同的情境中经历估测，使学生进一步感知比较隐性的“整体1”，体会小数部分所对应的大小，会用小数表示对应的数量。
参考文献：
[1]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.

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展开全部稠密就是非常非常密集，中间可以无限插入元素。比如任意两个实数中间都有无限多个实数，所以是稠密的。稠密性”的概念在泛函分析和实变函数中经常出现，用来度量两个集合之间的包含关系：设（X,p）是度量空间，集合E为X的子集，如果X对于的的任意元素x，任意正数epss>0，有E中的元素z，使得p(z,x)<epss，那么就说E在X中是稠密的，其中p(z,x)是指两个元素之间的距离。例如p(2,3)=1,p(1+i,1)=1。稠密的具体例子是有理数集在实数集中是稠密的，因为任意一个实数r，可以找到一个有理数列，这个有理数列的极限是该实数r。扩展资料：通有稠密性定理微分动力系统的一类基本定理。这些基本定理指出在微分动力系统中具有某性质的子系统集是全体系统集合的无穷个开稠集的交集(即通有集)。如科普卡一斯梅尔定理就是一个通有稠密性定理。又如，设M是紧致微分流形，Diff <M)是M上全体C'微分同胚形成的空间，具有C'拓扑，那么存在一通有集罗CDiff <M>，使得对任意.f E } , .f的周期点是双曲的，它们在非游荡集} <.f)中稠密，而且其稳定流形与不稳定流形是横截相交的.这个通有稠密定理由皮尤夫(Pugh,C.)给出。参考资料来源：百度百科—通有稠密性定理已赞过已踩过你对这个回答的评价是？评论
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