先简短地回答下我对“什么是导数”的认识：导数是用来找到“线性近似”的数学工具。下面我来解释一下，为什么我是这样认为的。在我学习微积分的过程中，我对导数的认知经历了三次变化：导数是变化率、是切线的斜率、是速度、是加速度导数是用来找到“线性近似”的数学工具导数是线性变换我认为第一种认知比较片面，在多元函数的情况下甚至是错误的。第二种认知更接近微积分的本质，第三种认知是为了实现第二种认知发展出来的。因为种种原因，我们的学习都是从第一种认知开始的。我会在本文分别介绍一下这三种认知。最后会通过第三种认知回答“多元微积分中，可微函数的切线为什么会共面（此平面即切平面）？”1 导数是变化率、是切线的斜率、是速度、是加速度微积分的发明人之一是牛顿，牛顿主要还是研究物理为主，微积分不过是他发明出来研究物理的一个数学工具（大师就是这么厉害）。因为牛顿研究物理的缘故，所以牛顿用变化率的方式引入了导数（牛顿称之为“流数”）。在物理里面变化率还是很自然的概念，比如为了求瞬时速度：同理，求加速度的话就是求速度对于时间的变化率，这里就不赘述了。学习物理的一般习惯把导数看作变化率。还可以顺便得到了切线的斜率：我们一般是上面这样的学习过程，所以我们认为，导数是曲线的变化率、是瞬时速度、是加速度，还可以是切线的斜率。1.1 但是！把导数看作是变化率、是切线的斜率，在一元函数的时候是正确的，但是，敲黑板，说但是了哈。在二元函数中，比如这样一个曲面上的一点a：在曲面上可以做无数条过a点的曲线（图上随便画了三根）：把导数看作是变化率、是切线的斜率，在多元函数中是片面的，甚至是不正确的。我们必须要重新审视“导数是什么”这个问题。顺便说一下，把导数继续看作变化率，切线的斜率，可以得到偏导数、方向导数、全导数，可以参看我之前写过的一个回答： 什么是全导数？ 。2 导数是用来找到“线性近似”的数学工具讲这个之前，我们要先理解微积分的基本思想。这个思想在我的很多回答中都提到了，这里简单的阐述下。2.1 微积分的基本思想微积分的基本思想是“以直代曲”：“以直代曲”的意思就是，切线可以在切点附近很好的近似曲线：我觉得下面这幅图也挺有意思，如果在曲线上多选几个点，都作出附近的切线，我们可以透过切线看到曲线的轮廓：这里我希望给你一个直观印象，切线可以在切点附近很好的近似曲线。如果仔细看泰勒公式、洛必达法则等，还会通过代数发现这一事实。2.2 导数是用来找到“线性近似”的数学工具因为“以直代曲”是微积分的基础，所以我们首要任务就是要找到这个“直”，也就是切线，也就是所谓的“线性近似”。导数就是为了完成这个任务需要使用的数学工具。我们来看看，在一元函数中：因此，在一元函数中，我们把导数看作斜率，可以找到我们想要的“线性近似”（切线），但是在二元中，我们需要新的技术手段。3 导数是线性变换3.1 二元函数的“线性近似”导数最主要的目的是找到“线性近似”，在一元函数的时候是要找到切线，在二元函数的时候是要找到一个切平面（可以参考我之前的回答： 如何理解全微分？ ）：一个平面是没有斜率的概念的，因此我们不能把导数继续看作斜率了，我们需要别的方法来找到这个切平面。3.2 线性变换对线性代数不熟悉的话，可以先看下我之前的回答 什么是仿射变换？ 。下面就会用到大量的线性代数基础知识，我不再进行解释了。还是从一元的时候开始推：上图的\vec{\Delta x}指向右边，实际上求出的A是右导数，我换个方向就可以求出左导数：如果A=B，相当于左右导数相等，我们就称为此点可导。顺便说一句，此时在 a 点附近同样也有 f(x)\approx f(a)+A\Delta x 。二元函数的时候，\vec{\Delta x}有无数的方向（不像一元的时候只有左右两边）：我们把这些\vec{\Delta x}分别记为 \vec{\Delta x_1},\vec{\Delta x_2},\vec{\Delta x_3},\cdots,\vec{\Delta x_n},\cdots ，那它们的切线分别为：\vec{T_1}=A_1\vec{\Delta x_1},\vec{T_2}=A_2\vec{\Delta x_2},\vec{T_3}=A_3\vec{\Delta x_3},\cdots,\vec{T_n}=A_n\vec{\Delta x_n},\cdots导数分别就是 A_1,A_2,A_3,\cdots,A_n,\cdots （可以理解这些都是方向导数）。导数：如果有 A=A_1=A_2=A_3=\cdots=A_n=\cdots，那么此点可导，此点导数即为A。为什么A就是导数？A不是还没有完成找到切平面的任务吗？3.3 通过导数A来找到切平面首先，所有的\vec{\Delta x}肯定是共面的：因为此点可导，即所有的\vec{\Delta x}的导数都是A，所以变换后的结果也共面（线性变换的特点是，变换前是共面的，变换后也是共面的）：看看动画吧（可以旋转视角来观察）：此处有互动内容，点击此处前往操作。对所有的\vec{T}=A\vec{x}+\vec{a}的都进行 A 变换，实际上就得到了切平面：至此，导数完成了找到“线性近似”的任务。这里也很自然的回答了“多元微积分中，可微函数的切线为什么会共面（此平面即切平面）？”注意，有一点需要特别说明的是，因为矢量的起始点要求是在原点，但是我上面把起始点放在a点了，所以实际上是仿射变化，所以实际上\vec{T}=A\vec{x}+\vec{a}， A 仍然是导数。欢迎加入马同学图解数学系列课程

本节介绍导数部分的内容，极限、中值定理等相关内容见下方：10分钟掌握高等数学上册函数极限求解问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握高等数学上册函数图像绘制问题（考研、期末复习均可以用）更新丨10分钟掌握中值定理相关问题（考研、期末复习均可以用）码字不易，看完后请给个赞吧如果有考研或是期末复习方面问题的话可以随时留言或者私信公众号【答学百科】，更多期末复习资料更多更新内容也可以点击下方链接加入社群----------分割线-----------大部分同学学习极限部分时会觉得非常痛苦，因为套路技巧太多了，不好计算。到了导数这一节部分同学在高中的时候有学习过，所以会觉得比较简单，下列正式介绍下导数内容一、导数的定义1、导数的几何意义（1）两点之间的斜率首先先看下两点之间的斜率a,b 点的斜率为 k_{ab}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} （2）导数的几何定义当两个点非常接近时，图像如下aa' 的斜率为k_{aa'}=\frac{\Delta y}{\Delta x} ( \Delta y=f(a')-f(a),\Delta x=a'-a )当 a' 非常接近 a 时，即 \Delta x\rightarrow0 时。斜率为 k_{aa'}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} ，将该式子即函数在 a 点的导数当 \Delta x\rightarrow0 时，又将 \Delta x 写成 dx ，并将\Delta y 写成 dya,b 点斜率（导数）图像如下：2、导数的代数定义若极限k_{aa'}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}} 存在，则称 f(x) 在 x=x_{0} 处可导，极限记为 y'丨_{x=x_{0}} 或f'(x_{0}) 或 \frac{dy}{dx}丨_{x=x_{0}} 3、关于导数的注解及性质（1）导数定义中 \Delta x\rightarrow0 与极限一样，包含了正负，即( \Delta x\rightarrow0^{+} 与 \Delta x\rightarrow0^{-} )，记 \lim_{\Delta x \rightarrow 0^{-}}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=f_{-}^{'}(x_{0}) 为左导数；记 \lim_{\Delta x \rightarrow 0^{+}}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=f_{+}^{'}(x_{0}) 为右导数，f'(x_{0}) 存在的充要条件是 f_{-}^{'}(x_{0}) 与 f_{+}^{'}(x_{0}) 都存在且相等（这里指的是左右导数存在且相等，与导数的左右极限相等不是一个概念）【例题】判断 y=\left
x \right
在 x=0 是否可导解答：\lim_{\Delta x \rightarrow 0^{+}}{\frac{f(\Delta x)-f(0)}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0^{+}}{\frac{\Delta x}{\Delta x}}=1\lim_{\Delta x \rightarrow 0^{-}}{\frac{f(\Delta x)-f(0)}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0^{-}}{\frac{-\Delta x}{\Delta x}}=-1 左导数不等于右导数，所以在x=0不可导（2）可导必连续，连续不一定可导（3）设 f(x) 在 x=a 处连续，且 \lim_{x \rightarrow a}{\frac{f(x)}{x-a}}=A ，则有 f(a)=0,f'(a)=A 备注：判断一个函数在某个点的导数是否存在时，需要考虑以下几点：①不可跨越该点；②必须保证左右导数都能取到；可能有的人不理解意思，下面通过一道例题来进行分析【例题】以下哪个式子存在可以证明函数 f(x) 在 x=0 处可导？A、\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(\Delta x)-f(-\Delta x)}{\Delta x}} 存在B、\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(1-cos\Delta x)-f(0)}{\Delta x}} 存在C、\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(sin\Delta x)-f(0)}{\Delta x}} 存在分析：这三个式子咋一看，感觉都符合题目要求，但实际一揣摩，就会发现问题A 选项，该选项的分子中不含有 f(0) 这一项，那么会存在什么问题呢，结合图像来看一下：假设函数在 x=0 处为可去间断点，那么将该式子带入 A 选项可得， \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(\Delta x)-f(-\Delta x)}{\Delta x}} =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta x+1-(-\Delta x+1)}{\Delta x}} =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{2\Delta x}{\Delta x}}=2 导数存在，所以可导？大错特错，从题设中可以看出，函数在 x=0 处是断点，根据可导的性质：可导必连续，不连续必不可导可知，函数在 x=0 处是不可导点，因此在判断函数是否可导时必定不可跨越要求的那个函数点， A 选项有误B 选项，由选项可知 1-cosx\geq0 ，因此在计算极限时，仅能证明右导数存在，而无法证明 左导数存在，因此 B 选项有误C 选项满足 f(0) 未跨越，且左右导数都存在的条件，因此可以判断该选项正确解答：答案选 C 二、求导工具1、基本公式（1）常数函数： (C)'=0 （2）幂函数： (x^{n})'=nx^{n-1} （3）指数函数： (a^{x})'=a^{x}lna ，特别的， (e^{x})'=e^{x} （4）对数函数： (log_{a}x)'=\frac{1}{xlna} ，特别的， (lnx)'=\frac{1}{x} （5）三角函数： (sinx)'=cosx ， (cosx)'=-sinx ， (tanx)'=sec^{2}x ， (cotx)'=-csc^{2}x ， (secx)'=secxtanx ， (cscx)'=-cscxcotx （6）反三角函数： (arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} ，(arccosx)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} ，(arctanx)'=\frac{1}{1+x^{2}} ， (arccotx)'=-\frac{1}{1+x^{2}} 2、四则运算求导法则（1）加减： (u\pm v)'=u'\pm v' （2）乘法： (uv)'=u'v+uv' ，(ku)'=ku' ， (uvw)'=u'vw+uv'w+uvw' （3）除法： (\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} 3、复合函数求导设 y=f(u) ， u=\varphi(x) 皆可导，且 \varphi'(x)\ne0 ，则 y=f(\varphi(x)) 可导，且 \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=f'(\varphi(x))\varphi'(x) 4、反函数求导（1）设 y=f(x) 可导且 f'(x)\ne0 ， x=\varphi(y) 为反函数，则 \varphi'(y)=\frac{1}{f'(x)} （2）设 y=f(x) 二阶可导且 f'(x)\ne0 ， x=\varphi(y) 为反函数， \varphi''(y)=-\frac{f''(x)}{f'^{3}(x)} 【例题】求解 y=arcsinx 的导数解答：x=siny ， x'=cosy ，由公式可得 y'=\frac{1}{x'}=\frac{1}{cosy} ，又 cosy=\sqrt{1-sin^{2}y} ，再将x=siny带入，可得 y'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} 三、求导类型及方法1、显函数求导显函数求导，即直接给定一个函数 y=f(x) ，直接利用第二点中的求导工具求解函数导数，特别的，这里介绍一种先取对数再求导的方法：【例题1】求解 y=x^{x} 的导数解答：lny=xlnx ， (lny)'=\frac{y'}{y}=lnx+1 ， y'=(lnx+1)y=(lnx+1)x^{x} 【例题2】求解 y=\frac{\sqrt[2]{x^{2}+x}\sqrt[3]{x+2}}{\sqrt[3]{x^{2}+2x}\sqrt[5]{x^{3}+2}} 的导数解答：有的同学拿到这种题目后，不假思索的直接开始利用除法的求导公式进行解答，然后算着算着发现计算量太大，最后算出来的结果极为复杂，且不知如何进行化简类似这种类型题的话亦可以采取求对数的方法进行解答，对函数取对数可将乘除法变成加减法，方便运算lny=\frac{1}{2}ln(x^{2}+x)+\frac{1}{3}ln(x+2)-\frac{1}{3}ln(x^{2}+2x)-\frac{1}{5}ln(x^{3}+2) ， (lny)'=\frac{y'}{y}=\frac{1}{2}\frac{2x+1}{x^{2}+x}+\frac{1}{3}\frac{1}{x+2}-\frac{1}{3}\frac{2x+2}{x^{2}+2x}-\frac{1}{5}\frac{3x^2}{x^{3}+2} ， y'=(\frac{1}{2}\frac{2x+1}{x^{2}+x}+\frac{1}{3}\frac{1}{x+2}-\frac{1}{3}\frac{2x+2}{x^{2}+2x}-\frac{1}{5}\frac{3x^2}{x^{3}+2})y 2、隐函数求导所谓隐函数，即函数 y=f(x) 由 F(x,y)=0 确定，求 y 对 x 的导数，称为隐函数求导，更为简单理解就是根据题设的函数，无法将 x,y 进行分离，例如函数e^{xy}=ln(x+y)-\sqrt{x+y} ，无法将两个未知数分离的函数【例题】设 ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}=arctanxy 确定 y 为 x 的函数，求 \frac{dy}{dx} 分析：题目中的 y 需要当成是复合函数 f(x) 进行求导，即原表达式是 ln\sqrt{x^{2}+f(x)^{2}}=arctanxf(x) ，这么看应该比较直接解答：对式子两边进行变形，得 \frac{1}{2}ln(x^{2}+y^{2})=arctanxy ，两边对 x 进行求导，得 \frac{x+yy'}{x^{2}+y^{2}}=\frac{y+xy'}{1+(xy)^{2}} ，移项后可得到 y' 与 x,y 的关系式3、参数方程求导参数方程，即 x,y 不直接发生函数关系，而是通过中间参数 t 确定的方程，即 x=x(t),y=y(t) ，则 \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{y'(t)}{x'(t)} ， \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{d(\frac{y'(t)}{x'(t)})/dt}{dx/dt}=\frac{y''(t)x'(t)-y'(t)x''(t)}{x'^{3}(t)} 【例题】设 x=t-sint,y=1-cost ，求解 \frac{dy}{dx},\frac{d^{2}y}{dx^{2}} 解答：\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{sint}{1-cost} ， \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{d(\frac{y'(t)}{x'(t)})/dt}{dx/dt} =\frac{cost(1-cost)-sintsint}{(1-cost)^{3}} =\frac{cost-1}{(1-cost)^{3}} 4、分段函数求导分段函数，即针对不同定义域，其函数表达式不一样，因此分段函数的导数在分段点处采用导数定义进行求解，在连续处采用求导工具求解5、高阶导数求导（1）直接求导法： y^{(n)}=(y^{(n-1)})'=(y^{(n-2)})''... （2）公式求导法： (uv)^{n}=\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}{u^{(i)}v^{(n-i)}} （3） (sinx)^{(n)}=sin(x+\frac{n\pi}{2}) ， (cosx)^{(n)}=cos(x+\frac{n\pi}{2}) 公式法一般用来求解带有规律性的函数求导【例题】求解 y=x^{2}e^{x} 的导数解答：(x^{2}e^{x})^{n}=\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}{(x^2)^{(i)}(e^{x})^{(n-i)}} =C_{n}^{0}x^{2}(e^{x})^{(n)}+C_{n}^{1}(x^{2})'(e^{x})^{(n-1)}+C_{n}^{2}(x^{2})''(e^{x})^{(n-2)} =x^{2}e^{x}+2nxe^{x}+n(n-1)e^{x} ，因为 2x 的三阶及三阶以上导数均为0，故无需再继续尽心求导四、微分微分表达形式： dy=df(x)=f'(x)dx ，这里的 dx 是必须写的微分实际就是导数 \frac{dy}{dx}=\frac{df(x)}{dx}=f'(x) 的变形，两边同时乘以 dx 即可得到微分 dy=f'(x)dx 备注：可导与可微是两个等价条件，即可导必可微，可微必可导五、题型分析1、题型一、导数与微分基本概念【例题1】设 f(x) 连续，且 \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{f(x)-2}{sinx}}=1 ，求 f'(0) 分析：根据极限定义，分母为无穷小，且极限存在，因此分子也必须为无穷小，所以 f(0)=2 解答：利用导数定义： \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{f(x)-2}{sinx}} =\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{f(x)-f(0)}{x-0}}\frac{x}{sinx} =\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} =f'(0)=1 ，所以 f'(0)=1 【例题2】设 f(x)=x(x-1)(x+2)...(x-99)(x+100) ，求 f'(0) 解答：利用导数定义： f'(0)=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} =\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{x(x-1)(x+2)...(x-99)(x+100)}{x}} =\lim_{x \rightarrow 0}(x-1)(x+2)...(x-99)(x+100) =100! 2、题型二、基本求导类型参见上述几道例题：显函数求导、隐函数求导、参数方程求导分段函数求导【例题】设分段函数 f(x)=\frac{sinx}{x}(x\ne0) ，f(x)=1(x=0) ，求 f'(0) ，并讨论 f(x) 在 x=0 处的连续性解答：（1） \lim_{x \rightarrow 0}{f(x)}=1=f(0) ，所以 f(x) 在 x=0 处连续，当 x\ne0 时， f'(x)=\frac{xcosx-sinx}{x^{2}} ，当 x=0 时， \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{f(x)-f(x)}{x-0}} =\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{\frac{sinx}{x}-1}{x}} =\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{sinx-x}{x^2}} =0 ，所以 f'(0)=0 （2） \lim_{x \rightarrow 0}{f'(x)} =\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{xcosx-sinx}{x^{2}}} =\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{-xsinx}{2x}}=0=f'(0) ，所以 f'(x) 在 x=0 处连续3、题型三、导数的几何应用首先掌握两个公式：曲率： K=\frac{\left
y'' \right|}{(1+y'^{2})^{3/2}} 曲率半径： \rho=\frac{1}{K} 【例题】设 y=x^{n} 在 x=1 处的切线与 x 轴交于点 (x_{n},0) ，求 \lim_{n \rightarrow \infty}{(x_{n})^{\frac{2n^2+1}{n}}} 解答：由 y'=nx^{n-1} ，得 y'(1)=n，则切线为 y-1=n(x-1) ，另 y=0 ，得 x_{n}=1-\frac{1}{n} ，则 \lim_{n \rightarrow \infty}{(x_{n})^{\frac{2n^2+1}{n}}}=\lim_{n \rightarrow \infty}{[(1-\frac{1}{n})^{(-n)}]^{-\frac{2n^2+1}{n^2}}} =e^{-2} 4、题型四、高阶导数高阶导数例题见三.5码字不易，看完后请给个赞吧其他内容需要的同学请自取10分钟掌握高等数学上册函数极限求解问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握高等数学上册函数图像绘制问题（考研、期末复习均可以用）更新丨10分钟掌握中值定理相关问题（考研、期末复习均可以用）如果有考研或是数学方面问题的话可以随时留言或者私信，也可以点击头像信息加群一起交流