m的44的n次方减1为什么是3的倍数6倍n的4次方？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-06-25 08:45 标签： 4的n次方减1为什么是3的倍数
既约和分解的理论有意思。稍微装一下……因为这涉及到我们怎么用话语体系。我们常用的数集包括但不限于有 \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C} ，分别对应整数集（全体整数），有理数集（全体有理数），实数集（全体实数），复数集（全体复数）。而另外有个记号，对于某个环 M （一种代数结构，这里并不要求除法能封闭，即俩这样的元素除可能结果不在里面，譬如整数除以非零整数，就得扩展到有理数才能包罗），对应的一元多项式 M[x] 表示所有的由 M 中元素（数）作为系数的关于 x 的多项式。说人话就是，当我们谈论整系数的一元多项式时，我们说的往往是 \mathbb{Z}[x] 。但问题来了，因式分解其实涉及“除”（提取公因式的过程是在分解，说除不严谨是因为我们没有规定除法，而是构造了更小的俩对象使它们乘积为这个目标），那么分解到什么地步就是个问题。其实一般说来我们还是关注到底在整数、有理数、实数还是复数范围内进行分解。例子那我们说点务实的，举点例子。 x^{2} - 2 可以分解吗？在整数范围和有理数范围内，都没有了。但是当我们扩展到实数范围的时候，平方差公式又可以用了， (x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2}) 。这里我们就看到，这个 \sqrt{2} 能不能用，能不能出现。重点：我们需要约定在哪个范围进行因式分解。学过一点一元二次方程我们大概知道， -1 是个不能开平方的数。有一点涉猎的话，虚数单位 \mathrm{i} 可以引入。顺带一提，它的“相反数”也满足平方为 -1 。这个和因式分解有关吗？有的。 x^{2} + 1 在整数、有理数、实数范围内都不可分，复数范围里就可以： (x + \mathrm{i})(x - \mathrm{i}) 。吐个槽：按照适当规范的写法，约定俗成的虚数单位需要用诸如\mathrm的语法恢复正体，常数有这个要求，也是和最常用到的脚标等计数作区分。这个问题本身好了现在愉快地回答这个问题本身。这个式子和 m^{4} + 1 比较相似，完全可以按一元的多项式来处理。整数和有理数。不可再分。由艾森斯坦判别法（这个千万记得用，非常强大）可以得知，如果有有理根，则一定在 \pm 1 之中。经检验都不对。故不可分。实数。经典技巧。m^{4} + 1 = m^{4} + 2m^{2} + 1 - 2m^{2} = (m^{2} + 1)^{2} - 2m^{2} = (m^{2} + \sqrt{2}m + 1)(m^{2} - \sqrt{2}m + 1) 那么对应地， m^{4} + n^{4} = (m^{2} + \sqrt{2} mn + n^{2})(m^{2} - \sqrt{2}mn + n^{2}) 3. 复数。二次的可以再分，参m的4次方十n的4次方等于多少？ - 微笑的猫咪的回答 - 知乎 这个没走实数到复数的路径，而是直接用上面拆含复数的平方差公式的方式进行了分解。如果要还原回实数域的分解，只要把共轭的两组拼回去就行。为什么这个式子实数域一定可分回答一下怎么判断这个可分的 @东东 复系数一元多项式在复数的扩域 \mathbb{C}[x] 中可分。一个 n 次多项式，计重的前提下，恰好有 n 个根。那么实系数（甚至整系数）的一元多项式肯定有四个根。而对于实系数的多项式，还有个虚根成对的性质。因此基本推论便是所有实系数多项式在实数范围内一定可以分解为若干个一次和或二次的因式的乘积（于是一个四次的必然可分，只是区别在于 1. 四个一次-四个实根，2. 两个一次一个二次-两个实根一组共轭虚根，还是 3. 两个二次因式-两组共轭虚根）。这就给我们提供了一个反向思考的便利：无论怎么拼凑，肯定得有两个二次式，至于二次式能不能分，就看各自的判别式了。尽管说待定系数会非常繁复，但起码这给了思考的方向。坚定相信有，然后凑出来。因而，实数范围内分解一元多项式，只要有超过二次的，一定没拆完。二次的，得用判别式检验。不可分解的术语是“既约”，可分解一般是“不既约”。因式分解“分干净”的标准为：在约定范围内，每个因式都是既约的。

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