在动量算符与哈密顿算符的对易关系力学中寻找守恒量（运动常量或运动积分）有哪些常用方法？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-06-13 09:39 标签： 拉格朗日力学
最近学些新知识不亦说乎，但是知识仓库还是要定期填补。刚体运动无非移动、旋转，这里要用哈密顿力学去描述，就用一个例子来串一串吧。陀螺仪是一个经典力学中很重要的仪器，但同时用牛顿力学去描述又很麻烦。（可以试着拿叉乘们试一下）麦子曾在
爱XR的麦子：【知识仓库】哈密顿力学-最小作用原理
中提过，用拉格朗日或哈密顿力学的好处在于他的系统性，一步一步的可操作性，都让这个方法显得很适合解决复杂系统。这里，我们就用明确的8步来描述陀螺仪就好。定义坐标系（我知道这张图太丑了，别介意。。。）这里用 \beta,\ \phi,\ \theta 三个轴来定义其运动。 \phi,\ \theta 好理解，跟一般的球坐标 (Spherical Coordinates) 是一样的，而 \beta
是这个陀螺仪自旋的旋转轴。这样定义会比用 x,\ y,\ z 要方便许多。定义转动惯性因为是绕着 \beta 自转的，我们定义这个轴的转动惯性为 \mathcal{J} ，角速度为 \dot{\beta} 。至于绕其他轴旋转则无偏好性，理论上由于对称性，转动惯性应该是一样的。定义这个转动惯性为 \mathcal{I} ，角速度为 \dot{ \phi} 和 \dot{\theta} 。定义角速度上图中将角速度看成向量，则与旋转轴方向平行，也就是说 \dot{\vec \beta} = \dot{\beta} \hat{\beta} ， \dot{\vec \phi} = \dot{\phi} \hat{z} ， \dot{\vec \theta}
的方向在 x-y 平面上。可以看出 \dot{\vec \phi}
不在我们期待的方向上，所以需要对其进行下分解，\dot{\vec \phi} = \dot{\phi} \cos(\theta) \hat{\beta} - \dot{\phi} \sin(\theta) \hat{\theta} 由此我们将这个系统分成了三个方向：顺着自转轴的角速度， \dot{\beta} + \dot{\phi} \cos(\theta) x-y 平面上的，也就是垂直于自转轴的， \dot{\theta} 同时垂直于自转轴和 \dot{\vec \theta} 的， -\dot{\phi} \sin(\theta) 计算能量对于三个角速度我们都需要计算动能，也就是说T = \frac{1}{2} \sum_i \mathcal{I}_i \omega_i^2 \Rightarrow T = \frac{1}{2} \mathcal{J} (\dot{\beta} + \dot{\phi} \cos(\theta))^2 + \frac{1}{2} \mathcal{I} \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} \mathcal{I}(-\dot{\phi} \sin(\theta))^2
而势能就是重力势能V = mgl \cos(\theta) 这里 l 为原点到陀螺仪质心的距离。计算拉格朗日量好的，开始固定操作了。\mathcal{L} = T - V \\ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \mathcal{J} (\dot{\beta} + \dot{\phi} \cos(\theta))^2 + \frac{1}{2} \mathcal{I} \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} \mathcal{I}(-\dot{\phi} \sin(\theta))^2 - mgl \cos(\theta) 计算正则动量P_{\theta} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}} = \mathcal{I} \dot{\theta} \\ P_\phi = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}} = \mathcal{I} \dot{\phi} \sin^2(\theta) + \mathcal{J} (\dot{\beta} + \dot{\phi} \cos(\theta)) \cos(\theta) \\ P_\beta = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\beta}} = \mathcal{J}(\dot{\beta} + \dot{\phi} \cos(\theta)) 判断守恒并写出哈密顿量因为这里的拉格朗日量是 \mathcal{L} = \mathcal{L}(\theta, \dot{\theta}, \dot{\phi}, \dot{\beta}) ，所以 P_\phi,\ P_\beta 是守恒的。不确定的朋友可以参考下同时拉格朗日量与时间不相关，所以哈密顿量也是守恒的，也就是总能量。H(\theta, P_\theta, P_\phi, P_\beta) = \frac{P_\theta^2}{2\mathcal{I}} + \frac{(P_\phi - P_\beta \cos(\theta))^2}{2\mathcal{I} \sin^2(\theta)} + \frac{P_\beta^2}{2\mathcal{J}} + mgl \cos(\theta) = E 运动状态得到了哈密顿量后，可以思考下，因为 P_\phi,\ P_\beta 是守恒的，换言之他们是常数。那么整个哈密顿量实际的变量就只有 \theta 和 P_\theta 而已。H(\theta, P_\theta) = \frac{P_\theta^2}{2\mathcal{I}} + U_{eff}(\theta) = E 整个 U_{eff}(\theta)
就是后三项，本质上就充当了势能的角色。因为 P_\theta = \mathcal{I} \dot{\theta} ，\Rightarrow \frac{P_\theta^2}{2\mathcal{I}} = \frac{1}{2} \mathcal{I} \dot{\theta}^2 = E - U_{eff}(\theta) 因此\dot{\theta} = \sqrt{\frac{2}{\mathcal{I}}(E - U_{eff}(\theta))} 可以看出，要描述整个系统，我们还需要从起始条件中得到总能量 E ，以及两个正则动量 P_\phi,\ P_\beta 。好了，大家可以拿起小时候的陀螺仪试着耍耍了，看看能不能得到守恒的 P_\phi,\ P_\beta ，而加速度 \dot{\theta} 随着 \theta 变化而变化的结果呢？

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