\[PartialD] can also stand for derivation[5], and that is the short fot D[ ]. But still
complex, right?
In some differential equations, x'[t] is allowed, which will be mentioned in the next passage.
So you may find it out that there are two ways for you to express a function, that is, in the front of the line with two "[" s, or add "//N" in the end.
1.1. 多项式的最大公因式与最小公倍式:
目标多项式: [公式] 与 [公式]
多项式的最大公因式:
PolynomialGCD[(1 + x)^4, (1 + x)^6, x^2 + 2 x + 1]输出: (1 + x)^2多项式的最小公倍式:
PolynomialLCM[(1 + x)^4, (1 + x)^6, x^2 + 2 x + 1]输出: (1 + x)^61.2. 取出分母与系数:
Denominator[(1 + x)/x]输出: xCoefficient[3x^2+a b x+x y z b+2c b^2, b]输出: a x+x y z别小瞧, 我经常一算就出个几万项结果, 就是靠这个函数来分类化简的.1.3. 展开三角函数:
TrigExpand[Sin[2 x]]输出: 2 Cos[x] Sin[x]1.4. 幂级数展开 (泰勒展开):
将对象 [公式] 在 [公式] 处展开到 [公式] 这个阶段.
Series[1/2*(E^x - E^-x), {x, 0, 7}]输出: [公式]1.5. 级数的展开系数:
SeriesCoefficient[Cos[x], {x, 0, n}]输出: [公式]1.6. 傅里叶级数展开与分段函数的表示手段:
将目标函数 [公式]
分别进行傅里叶正弦级数展开与余弦级数展开.
f = If[0 <= x <= 1, x, 2 - x];FourierSinSeries[f, x, 3]FourierCosSeries[f, x, 3]输出: [公式][公式]1.7. 拉普拉斯变换:
LaplaceTransform[t^2 + 6 t - 3, t, s]输出: [公式]1.8. 拉普拉斯逆变换:
InverseLaplaceTransform[(3 p + 9)/(p^2 + 2 p + 10), p, t]输出: [公式]1.9. 解方程:
Solve[2 x^2 - x - 1 == 0]输出: {{x -> -(1/2)}, {x -> 1}}1.10. 解超越方程:
目标方程 [公式]
FindRoot[4^x + 2^(x + 1) - 3, {x, 0}]输出: {x -> 0.}1.11. 解方程组:
Solve[{x + y == 1, 3 x - 2 y == 1}]输出: {{x -> 3/5, y -> 2/5}}Solve[a x + y == 7 && b x - y == 1, {x, y}]输出: {{x -> 8/(a + b), y -> -((a - 7 b)/(a + b))}}1.12. 解不等式:
Reduce[x^2 - 3 x + 2 > 0]输出: x < 1
x > 21.13. 方程整数解:
Reduce[(a - 1) (b - 2) == 0, {a, b}, Integers]输出: a == 1
b == 21.14. 求数列通项公式:
就是通过递归公式求通项, 下面的 Simplify 加不加都可以, 是化简结果用的.
Clear[a, n]Simplify[RSolve[{a[n] == a[n - 1] + 3 a[n - 2], a[0] == 1, a[1] == 1}, a[n], n]]输出:[公式]1.15. 定积分/不定积分:
Integrate[3 Cos (5 x)/E^(2 x), {x, -1, 1}]输出: [公式]至于不定积分, 只需要把『{x, 下限, 上限}』换成『x』就可以了.
1.16. 含参定积分设定参数取值范围:
Clear[x, a, b]Assuming[{a > 0, b > 0}, Integrate[Log[x], {x, a, b}]]输出: ConditionalExpression[a - b - a Log[a] + b Log[b], a < b]1.17. 数值积分:
NIntegrate[Sqrt[(Sin[x])^3 + 1], {x, 0, 1}]输出: [公式]1.18. 分段函数积分:
f = If[x >= 0, 1/(1 + x), 1/(1 + E^x)];Integrate[f, {x, -1, 1}]输出: Log[1 + E]1.19. 求解微分方程:
Clear[x, y]DSolve[y'[x] - 3 x y[x] == 2 x, y[x], x]输出: [公式]1.20. 求解有边界条件的微分方程:
DSolve[{y''[x] + 2 y'[x] + 2 y[x] == -E - x, y[0] == 0, y'[0] == 0}, y[x], x]输出: [公式]1.21. 矩阵的表达:
在 Mathematica 里, 矩阵与向量其实就是表格.
表格就是大括号 { } 与其里面用逗号分隔开的元素构成的.
当然这样的表格只有一行, 两行的表格表达为 {{ },{ }} 并以此类推.
用我们最熟悉的泡利矩阵举个例子吧:
Clear[t1, t2, t3]t1 = {{0, 1}, {1, 0}}; t2 = {{0, -I}, {I, 0}}; t3 = {{1, 0}, {0, -1}};上面就是三个泡利矩阵的写法.
想要直观一点的看到矩阵就用函数 MatrixForm[ ]
Clear[t1, t2, t3]t1 = {{0, 1}, {1, 0}}; t2 = {{0, -I}, {I, 0}}; t3 = {{1, 0}, {0, -1}};MatrixForm[t2]输出: [公式]表格一定要手打吗? 不一定.
其实 Mathematica 很少涉及循环结构, 但却有很多按规律生成表格的函数.有哪些函数呢? 我不告诉你, 需要的话自己去 Bing 一下的.1.22. 矩阵的乘法:
矩阵的乘法我们不能省略乘号, 要写一个『 . 』在两个矩阵之间.
Clear[t1, t2, t3]t1 = {{0, 1}, {1, 0}}; t2 = {{0, -I}, {I, 0}}; t3 = {{1, 0}, {0, -1}};MatrixForm[t2.t2]MatrixForm[t1.t2]输出: [公式]那你可能要问了, 行向量和列向量如何区分呢?
答案是不区分, 其实也没那么不可思议, 你用向量左乘方矩阵它自然会把它当作行向量来算.因为列向量左乘方阵根本就 make no sense .所以不会造成歧义也就不必区分.除了最基础的矩阵乘法还有克罗内克积直积直和之类一大堆怪浪怪浪的乘法.
需要的话自己上网冲浪去查一下罢.1.23. 特征值与特征向量:
就是三个函数: Eigenvalues[ ], Eigenvectors[ ], Eigensystem[ ],
分别是求本征值, 本征矢, 同时求本征值与其对应的本征矢.
Clear[t1, t2, t3]t1 = {{0, 1}, {1, 0}}; t2 = {{0, -I}, {I, 0}}; t3 = {{1, 0}, {0, -1}};Eigenvalues[t2]Eigenvectors[t2]Eigensystem[t2]输出:{-1, 1}{{I, 1}, {-I, 1}}{{-1, 1}, {{I, 1}, {-I, 1}}}草死, 怎么写成本征了, 还是觉得本征好听些, 其实本征就是特征, 量子力学害人不浅 (确信).
最后多提一点就是, 不是说你把矩阵写在变量的地方就能得到矩阵的函数, 也不要想着把矩阵当作幂级数展开的因子或者什么的. Mathematica 没那么智能, 但这些操作仍然是可以完成的, 比如说对于矩阵 [公式] 你想表达 [公式] , 你就得用函数 MatrixExp[A] 而不能写作 E^A 或者 Exp[A]. 此外就是还有 MatrixPower,
MatrixLog, MatrixFunction 之类的函数. 点到为止, 你自己感受一下吧.
2. 图形与动画部分:2.1. 画一元函数图:
Clear[x]Plot[x^0.25, {x, 0, 10}]
2.2. 指定坐标轴刻度:
Plot[Sin[x], {x, 0, 10}, Ticks -> {{0, Pi, 2 Pi, 3 Pi}, {-1, 1}}]
2.3. 曲线颜色, 虚线, 宽高比, 多个函数图像在同一坐标系下显示:
Clear[x]pic1 = Plot[{x, Sin[x]}, {x, -Pi/2, Pi/2},PlotStyle -> {{Red, Dashed}, Green}];pic2 = Plot[ArcSin[x], {x, -1, 1}, PlotStyle -> {Blue}];Show[pic1, pic2, {PlotRange -> All, AspectRatio -> 1}]
2.4. 参数曲线作图:
目标参数曲线为 [公式]
Clear[t]ParametricPlot[{2 (Cos[t])^3, 2 (Sin[t])^3}, {t, 0, 2 Pi}]
2.5. 极坐标绘图:
Clear[θ]PolarPlot[2Cos[3θ], {θ, 0, 2Pi}]
2.6. 同坐标系下显示定义域不同的函数, 设定坐标轴宽高比:
Clear[x]pic1=Plot[x^2, {x, -1.2, 1.2}];pic2=PolarPlot[1, {θ, 0, 2Pi}];Show[pic1, pic2, {PlotRange -> All, AspectRatio -> 1}]
2.7. 坐标轴带箭头:
Clear[x]Plot[x, {x, -0, 5}, AxesStyle -> Arrowheads[0.07]]
2.8. 图像尺寸, 缩放:
Clear[x]Plot[x, {x, -0, 5}, ImageSize -> 300]
2.9. 图例注记, 标注:
Clear[x]Plot[{Sin[x], Cos[x]}, {x, -2 Pi, 2 Pi}, {PlotLegends -> {sin, cos}}]
2.10. 刻度字号, 刻度标注, 生成表格:
Clear[x, i]ticks = Table[Pi*i, {i, -2, 2, 1/4}];pic = Plot[Sin[x], {x, -2 Pi, 2 Pi}, Ticks -> {ticks}, TicksStyle -> 20];Magnify[pic, 0.4]
2.11. 图中图, 图中放图:
Clear[t]para = PolarPlot[2 Cos[3 t], {t, 0, 2 Pi}, {Axes -> False, PlotStyle -> Green, ImageSize -> 85}];Graphics[{Purple, Disk[], Inset[para, {0.2, 0}]}]
2.12. 去边框, 光滑化 (增加绘图点数), 坐标轴名称:
Clear[x, y, z]Plot3D[0.25 Sin[8 Sqrt[x^2 + y^2]], {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, {Boxed -> False, PlotPoints -> 50, AxesLabel -> {x, y, z}}]
2.13. 空间参数曲线, 三维参数绘图:
目标参数曲线为 [公式]
Clear[t]ParametricPlot3D[{Sin[t], Cos[t], t/5}, {t, -9, 7}]
2.14. 方程作图, 方程曲线, 方程空间曲线:
Clear[x, y, z]ContourPlot3D[x^2 + y^2 == z, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, {z, 0, 2}, PlotPoints -> 40]
2.15. 二维简谐波动画:
Clear[x, y]Animate[Plot3D[5 Sin[2 Pi t - Pi (x + 2 y)], {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, PlotPoints -> 30], {t, 0, Infinity}]
这个其实是会动的.2.16. 绘制运动轨迹, 质点运动:
Clear[x, t]Animate[ParametricPlot[{Cos[x] - Cos[80 x] Sin[x], 2 Sin[x] - Sin[80 x]}, {x, 0, t}, PlotPoints -> 200, PlotRange -> {{-1.5, 1.5}, {-3, 3}}], {t, 0, 7}]
2.17. 模拟质点运动, 模拟平抛运动, 帧数设定:
Clear[x, y, t]x[t_] = 7 t;y[t_] = 7 - 5 t^2;Animate[Graphics[{Disk[{x[t], y[t]}, 0.1]}, PlotRange -> {{0, 10}, {0, 9}}], {t, 0, 2}, RefreshRate -> 60]
麻烦你自己脑补一个黑点平抛运动吧