一、知识重点梳理 知识点一：方程和方程的解 1.方程：含有_____________的______叫方程 注意：a.一定是等式b.一定含有未知数。 易错点：（1）.方程式等式，但等式不必定是方程；（2）.方程中的未知数可以用x表示，也可以用其余字母表示；（3）.方程中可以含多个未知数。考法：判断是不是方程： 例：以下式子：(1).8-7=1+0(2). 1、一元一次方程： 一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(此中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。 重点讲解： 一元一次方程须满足以下三个条件： 1）只含有一个未知数； 2）未知数的次数是1次； 3）整式方程． 2、方程的解： 判断一个数是不是某方程的解：将其代入方程两边，看两边能否相等． 知识点二：一元一次方程的解法 1、方程的同解原理（也叫等式的基天性质） 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 假如，那么；(c为一个数或一个式子)。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 假如，那么；假如，那么 重点讲解： 分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。 即：（此中m≠0） 特别须注意：分数的基本的性质主若是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数） 化为整数，如方程： － =1.6，将其化为： － =1.6。方程的 右侧没有变化，这要与“去分母”差别开。 2、解一元一次方程的一般步骤： 解一元一次方程的一般步骤 变形 详尽方法 变形依据 注意事项 步骤 去分 方程两边都乘以 1．不可以漏乘不含分母的项； 各个分母的最小公倍 等式性质2 2．分数线起到括号作用，去掉分母 母 数 后，假如分子是多项式，则要加括号 1 去括 先去小括号，再去 乘法分配律、 1．分配律应满足分配到每一项 号 中括号，最后去大括号 去括号法规 2．注意符号，特别是去掉括号 把含有未知数的 1．移项要变号； 移 项移到方程的一边，不 等式性质1 2．一般把含有未知数的项移到方程 项 含有未知数的项移到 左侧，其余项移到右侧 另一边 合并 把方程中的同类项 同 分别合并，化成 合并同类项 合并同类项时，把同类项的系数 类 “ax b”的形式 法规 相加，字母与字母的指数不变 项 （a 0） 未知 方程两边同除以 数的 未知数的系数 a，得 系数 等式性质2 分子、分母不可以颠倒 b 化成 x “1” a 重点讲解： 理解方程ax=b在不一样条件下解的各种状况，并能进行简单应用: ①a≠0时，方程有独一解； a=0，b=0时，方程有无数个解； ③a=0，b≠0时，方程无解。 牛刀小试 例1、解方程 （1）y-y1 2 y2 2 5 例2、由两个方程的解同样求方程中子母的值 已知方程x104x的解与方程5x2m2的解同样，求m的值. 例3、解方程知识与绝对值知识综合题型 解方程：|2x1| 7 3 2 二、经典例题透析 种类一：一元一次方程的相关看法 1、已知以下各式： ①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦ ) A．－5B．5C．7D．2 种类二：一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。如 果我们在坚固掌握这一老例解题思路的基础上，依据方程原形和特色，灵巧安调停题步骤，而且奇妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的成效。 1．巧凑整数解方程： 2、 贯穿交融： [变式]解方程：＝2x－5 2．．巧去括号解方程： 4、 贯穿交融： [变式]解方程： 3 4．运用拆项法解方程： 5、 5．巧去分母解方程： 6、 贯穿交融： [变式]（2011山东滨州）依照以下解方程的过程，请在前面的括号 内填写变形步骤，在后边的括号内填写变形依照。 解：原方程可变形为(__________________________) 去分母，得3（3x+5）=2(2x-1).(__________________________)

为了用弧α的三角函数表示弧α/n的三角函数，而作公式时，会遇到必须解高次方程这种代数方面的困难。如果在公式(B)中将nα换成α，而将α换成α/n，并用余弦表示正弦的幂，则得出按已知值cosα求未知量x=cos(α/n)的方程。
这个方程一般有n个不等的实根。事实上，所有余弦为已知值cosα=m的弧的集合，由下公式确定：α=±arc cos m+2kπ,

如果选取＋号。则得无限多个弧,
它们只终于单位圆上n个几何方面不同之点，因为给数k加上n的整数倍的项等于给α/n加上2π的倍数（就是说，得到终于同一点的弧）。因而
(在一般情况)有n个相异的值，同样，所有形如
的弧终于n个几何方面不同的点。组(2)与组(3)中的弧两两关于横坐标轴对称，即如在(3)中任意整数k换成-k，则得与组(2)中某一个弧相反的弧。弧的符号的改变不影响余弦的值，因而x=cos(α/n)在一般情形有n个相异的实根。例如，当n=3时我们得到三次方程

这个方程可以用根式来解，但这里(在一般情形)是不可约的情形，它说明存在有三个实根。卡但公式给出,

故在一般情形(当α≠2kπ时)立方根下含有虚数，而且x不能用根式表出。
在特别情形，当n=2 时, 连续应用下面的公式，

可以得出借助平方根式，用自变量α的函数，
表示自变量 的三角函数公式。例如

例如，当n=4时我们得到三次方程

推导过程可见C.H.诺珪塞洛夫著代数与初等函数，1954年版,

我们设x 的系数a 等于1并不损害一般性，因为如果a ≠1,那么把方程逐项除a ,

就得到与给定方程等价的形如(1)的方程。令x=y+h, 将方程(1)变成新未知数y的方程，此处h要这样选择, 使变形后的方程不再包含未知数的平方。
经过变形取新未知数y之后，方程（1）具有形式：

在卡但公式中，把第一个根式的三个值中的每一个与第二个根式的三个值中的每一个组合起来，其中只有三个是给定方程的解。事实上，u和v的值不能选择得彼此独立，因为它们必须满足条件(4)。设u是第一个根式的一个值，这时候u的所有三个可能值是：

此处ε与ε 是1的三次虚根。v的对应值可由关系式(4)求得：

在这种情形下，方程取y +q=0形式，而可以直接来解：

我们设x 的系数a 等于1并不损害一般性，

因为如果a ≠1,那么把方程逐项除以a ,
就得到与给定方程等价的形如(1)的方程。令x=y+h, 将方程(1)变成新未知数y的方程，此处h要这样选择, 使变形后的方程不再包含未知数的平方。

此处作近似运算，假设, 根据下列近似公式, 1+a≈1+a/n, 此处｜a｜<1,
推导过程可见C.H.诺珪塞洛夫著初等代数专门教程，§37数的开方，1956年版,

1. 如果在公式(A)中将nα换成α，而将α换成α/n，
   并用余弦表示正弦的幂，则得出按已知值cosα求未知量x=cos(α/n)的方程。

的弧终于n个几何方面不同的点。组(2)与组(3)中的弧两两关于横坐标轴对称，即如在(3)中任意整数k换成-k，则得与组(2)中某一个弧相反的弧。弧的符号的改变不影响余弦的值，因而x=sin(α/n)在一般情形有n个相异的实根。
例如，当n=3时我们得到三次方程

故在一般情形(当α≠2kπ时)立方根下含有虚数，而且x不能用根式表出。
在特别情形，当n=2 时, 连续应用下面的公式，

可以得出借助平方根式，用自变量α的函数，
表示自变量 的三角函数公式。例如

5.一元四次方程费拉里求解方法

v= (若u为零，则v也取值为零)

上面三个公式中，k可取值1，2，3. （m,S,T）的取值最好选择│m│最大的一组，这样计算T时数值最稳定。如果三个│m│均为零，则上面三个变量按下面三个公式取值, m=0,

这样选取的t使(15)里面位于方括号中的多项式有二重根,

所以方程(15)有次之形状：

0
因为从方程(14)到方程(17)我们都是用的恒等变换，所以方程(17)的根是方程(14)的根。同时易知方程(14)的根可经其系数应用开方来表出。由于对应公式比较复杂而且没有实用价值，我们不予写出。对于有实系数的方程(14)的各种情况，我们亦不再予以分析。

所以，就得到一元四次方程的根的计算公式,

注意：因α和β在等式(6)和(7)中，同时在x0的表达式(4)中，都是对称的,
故对方程的根(S)的根，以何者为α 何者为β 是没有什么分别的。这就是说α，β可以相互交换位置，得到的计算结果不变.

两者的计算结果是相同的, 我们得到次之卡尔丹公式，把方程(3)的根经其系数用平方根与立方根来表出：

因立方根在复数域中有三个值，所以(9)式给予α三个值与β三个值。
注意：ε是1的立方根，即
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是
推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,
但应用卡尔丹公式时，不可能取任一方根值α与任一立方根值β的组合：
对于已予的α值只能取三个β值中适合条件(5)的哪一个值。
设α1为α的三个值中的任一个。
由7已经证明其他二值可以1的立方根ε与ε 乘α1来得出：
以β1记β的三个值中由(5)式的关系对应于α的值α1的那一个值，亦即α1β1=-p/3。β的其他两个值是,
所以α的值α2对应于β的值β3；同理值α2对应于β2. 这样一来，方程(3)所有的根可以写为次之形状：

因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是
推导过程可参见7.复数的方根,
我们来看一下，关于实系数不完全三次方程,
的根，可以说些什么。在这一情形，我们发现在卡尔丹公式中平方根下面的表示式,
有重要作用。再者，这一表示式与方程(11)左边的判别式反号，在以后的叙述中我们将用判别式的符号来分类。事实上，应用38的(24)式于我们现在的情形(亦即在这一式子中取a=0,b=p,c=q)，我们得到,
推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,
38.结式、未知量的消去法、判别式,

上面的插叙结束，接上面
此时在卡尔丹公式的平方根下面是一个正实数，所以每一个立方根下面都是实数。但是实数的立方根有一个是实数值，有两个是共轭复数值。设α1是α的实数值，那么由p之为一实数，知经(5)式的关系对应于α1的β的值β1亦必为一实数。知经(5)式的关系对应于α1的β的值β1亦必为一实数。这样一来，方程(11)的根x1=α1+β1为一实数,
把7中对于1的立方根ε=ε1与ε =ε2的表示式(7)代入本节中的(10)式，
推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,
单位根, 特别重要的情形是求数1的n次根。这个根有n个值，所有这些值，我们叫n次单位根，由等式1=cos0+isin0与公式(4)，知其为,
由(6)式，知如n为偶数，则在k=0与n/2时得n次单位值的实值，如n为奇数，则仅在k=0时始能得出实值。在复平面上，n次单位根排列在单位圆的圆周上而且把圆周分为n个等分；其中有一个分点是数1. 因此，n次单位根中那些不是实数的值的位置是对于对称的，亦即两两共轭,

乘β以n次单位根的每一个值，我们得出α的n次方根的n个不同的值，亦即这个根所有的值。

由α1与β1之为实数，知这两个根是共轭复数，而且虚数部分不为零，因为α1≠β1——这两个数是两个不同的数的平方根。这样一来，如果D<0,那么方程(11)有一个实数根与两个共轭复数根。

设α1为α的实数值；那么由(5)知β1亦为一实数，而且α1=β1. 在(10)式中以α1代β1且应用显明的等式ε+ε =-1，我们得出：

这样一来，如果D=0，那么方程(11)所有的根都是实数，而且有两个彼此相等。这个重根的出现与其判别式等于零是完全一致的。
(3)最后，设D>0。在这一情形，卡尔丹公式中平方根号下面是一个负实数，所以在立方根号下面是互相共轭的复数。这样一来，所有α与β的值现在都是复数。设，
α0=u+iv，为α的任一个值，而β0为由(5)得出的对应于α0的β值。那么

数α0 与β0 是实系数二次方程(8)的复数根，故必须共轭。但已验证数，

因而实数-p/3(u +v )的立方根等于1，这就说明它自己等于1. 这就证明了β0=u-iv,所以α0+β0是一个实数。我们得出了方程(11)的所有根都是实数根，而且由判别式D之不为零，这些根里面没有重根。这样一来，如果D>0，那么方程(11)有三个不同的实数根。刚才的讨论说明在最后的这个情形，卡尔丹公式的实用价值不很大。事实上，随则在D>0时，实系数方程(11)的根全为实数，但是用卡尔丹公式来求出它们要对复数开立方，我们只能化这些数为三角式来做。所以用根式写出的方程的根失去实用价值。我们可以应用超出本书范围以外的方法来证明，方程(11)的根在所讨论的情形，一般是没有办法可经其系数利用实数的方根来表出。在这一情形所解的方程(11)成为不可约的(不要和不可约多项式相混淆!)

亦即方程(12)有一个实数根和两个共轭复数根。由(9)

这样一来，如果限于实数范围，卡尔丹公式对于这一方程不能应用，即使它的根是实数2，3，与-5,
定义了下列三种运算（演算）的集合叫做环，
加法运算：对于集合中的任意两元素a和b，有元素c与它们对应，c叫做a,b的和：c=a+b
乘法运算：对于任意两元素a和b，有元素d与它们对应，d叫做a,b的积, d=ab,
减法运算：对于任意两元素a和b，有元素e与它们对应，e叫做a,b的差, e=a-b,
加法与乘法运算，由下列性质刻画出来,
1.结合公理：对于任何三元素a,b和c；必有
2.交换公理：对于任何两元素a和b；必有,
3.逆运算公理(对于加法):
对于任何两个元素a和b存在唯一的元素，满足条件,
元素x称为元素b和a的差，记作
4.结合公理：对于任何三元素a，b和c；必有,
5.交换公理：对于任何两元素a和b；必有,
6.分配公理：对于任何三元素a，b和c；必有,
注意不满足交换律的环成为不易环，反之，满足交换律的环成为可易环,
7.结合公理：对于任何三元素a，b和c；必有,
6.分配公理：对于任何三元素a，b和c；必有,
定义了下列1种运算（演算）的环叫做域，
除法运算：对于集合中的任意两元素a和b，有元素c与它们对应，c叫做a,b的商：
称环P为域，如至少含有一个不为零的元素，且除开除数为零的情形外，对于其他情形，除法在它里面可以施行而且是唯一确定的，亦即对于P中任二元素a,b，当b不为零时，在P中有元素q存在，适合等式bq=a,而且是唯一的。亦即对于P中任二元素a,b，当b不为零时，在P中有元素q存在，适合等式bq=a,而且是唯一的。元素q称为元素a与b之商且记之以符号q=a/b, 注意：域中除法的唯一性，有如在环的定义里面假设有减法的唯一性，事实上不难利用在域或环的对应定义中其它一些条件来证明。
假设多项式环L由多项式元素a ,a ,a ,…,a 构成,

环L上的元素属于环L, 环L上的多项式元素的系数都属于域P，域P属于可易环L中，
子环L`上的元素是由n未知量多项式a ,a ,…,a 和数域P上的元素经过加减乘等运算

得到的。对于子环L`中的任一元素β，a ，a , a ,…,a 在域P上的系数都是唯一的,

a ，a , a ,…,a 的根在域P上，根不在环L上 1 2 3 n 那么就称环L上的元素和数域P代数相关，设P是可易环L内的一个子环，如果n次方程的自变量的系数存在于域P中，同时n≥1,环L中的元素a是这个方程的根，那么，环L中的元素a称为域P上的代数数。反之，如果元素a不是这个方程的根，那么，环L中的元素a称为域P上的超越数。
设在域P中，有一部分元素组成集合P，而且对于域P中的那些运算这一个集合构成一个域，亦即从P中任意两元素a,b所得出的属于P中的元素a+b,ab,a-b,和当b≠0时的a/b都在域P内, (P所适合的定律1，2，3，4，5显然对于P仍能适合), 那么称P为域P的子域，而P为域P的扩展域。显然，域P的零元素与么元素都属于P内，而且亦是P的零元素和幺元素。例如有理数域是实数域的子域，所有的实数域是复数域的子域。
环属于集合，同时满足下面的条件,
域属于集合，同时满足下面的条件,
可易环是满足可易律的环，不可易环是不满足可易律的环, 可易域是满足可易律的域，不可易域是不满足可易律的域,

卡尔丹公式的证明 调用复数的方根，注：1的立方根共有三个

 调用三次方程根的判别式 
 调用结式求方程的判别式 
 调用求任意未知量非线性方程的解，可参看代数几何 

调用多项式代数无关定义

注意：非线性方程组，是n个未知量是高次方程组成的方程组, 齐次线性方程组，里面的方程的n个未知量都是相同次数的,

因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是,

三.计算一元四次，五次方程的近似解法
1.计算一元四次方程的近似解

所以，可以这样选取u,v使得

根据一元三次方程卡尔丹公式上面方程的根为:

根据一元四次方程费拉里公式上面方程的根为:

所以，可以这样选取u,v使得,

推导过程可参见7.复数的方根,
推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,

 5.一元四次方程费拉里求根公式 
  

    六. 结式、未知量的消去法、判别式

    推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版

    38.结式、未知量的消去法、判别式

    那么它的解是指在域P或其扩展域 P 中所取的对于未知量这样的一组值。

    每一个次数大于零的多项式f,都能有解：

    如果未知量x 在这多项式中出现，

    那么作为α ,…,α 可以取域P或其扩展域中基本上是任意的元素，

    译者注：“或其扩展域”诸字是译者加上的，

    例如在Z 中（参考3）就没有元素α 可使

    又对文中所说的结果可用数学归纳法证明。

    注解结束, 只是使多项式f(x ,α ,…,α )有正的次数，

  


  

    而后利用根的存在定理(33)取域P的这样的扩展域 P ,

    是一个未知量x 的多项式f(x ,α α )在它里面有根α 。

    同时我们看到，一个未知量n次多项式在每一个域中根的个数不能超过n这一性质，对于有许多未知量的多项式不再成立。如果给予许多个有n未知量的多项式，那么就有求出所有这些多项式的公共解的问题，亦即求出使所予多项式全为零所得出的这个方程的解。这一问题的一个特殊情形，就是线性方程组的情形，已经在第四章中有过详细的讨论。但对于相反的特殊情形，有任意次数的含一个未知量的一个方程，到现在为止我们除开知道它在基域的某一个扩展域中有根存在之外，还不知道求出它的根的方法。求出与研究有许多未知量的任一非线性方程组的解，当然是很复杂的工作，而且超出了本课程的范围，这是另一数学部门——代数几何学的对象。此处我们只限于有两个未知量两个任意次方程的方程组的情形，来证明这一情形可以化为有一个未知量一个方程的情形。首先研究仅含一个未知量的两个多项式的公根存在的问题。设已予域P上多项式

    其首项系数都等于1. 由上一章的结果不难推出， 多项式f(x)与g(x)在P的某一扩展域中有公根的充分必要条件为它们不是互质的。 这样一来，关于已予多项式的公根存在问题可以应用欧几里得演段来解决。 现在我们指出另一方法来得出这一问题的答案。设在P的某一个这样的扩展域， 使f(x)在它里面有n个根α ,α ,…,α ,

  


  

    故由上节末尾的证明，它可表示为这两组未知量的初级对称多项式的多项式。再由韦达公式即可得出。但是应用上节证明中的方法实际上求出以系数表出结式的表示式是很困难的，我们要应用另外的方法。注解：对称多项式定义,

    在有许多未知量的多项式中，提出那些在未知量的置换后，没有变动的多项式。在这些多项式中，所有未知量的出现完全成对称形状的。所以称这些多项式为对称多项式(或对称函数)。

  


  

    未知量的乘积x x …x 等等。

    由于n符号对每一个置换都是对换的乘积（参看9），在证明某一项多项式有对称时，只要检验其对每两个未知量的对换都没有变动，就已足够。对称多项式中，所有未知量都可以交换位置，多项式的只不发生改变,

    例如根据加法的交换律，把多项式x +x +…,x 中的x ,x ,…,x 任意交换位置，

    多项式的值不变, 注解结束。

    我们所求出的多项式（1）的结式表示式是对于任何一对这种多项式都能适合的。

    所以我们视这些多项式的系数,

    为符号。这应当这样来了解：系数组(4)是为一组n+s个独立的未知量，亦即在35中的意义，

    一组域P上代数无关的n+s元素。这相当于假设，多项式(1)的这一组根,

    在域P上代数无关。事实上，在这一场合，

    多项式(1)的系数取适当的正负号可以各为α ,α ,…,α ,的初级对称多项式

  


  

    这是正确的，因为α 是f(x)根；经过代换后，后面n个方程为

    由(9)知道它们亦都是等式。因为对于条件(9)，其次组(7)有非零解，所以对于这个t的值行列式△t必须等于零。这样一来,

    是多项式△(t)的根。由这组根(5)在域P上的代数无关性，和多项式g(x)的系数可以经它的根来表出，推知多项式△(t)的诸根(11)是各不相同的；如果说有等式g(α )=g(α ),i≠j,

    那么把多项式g(x)的系数经其根来表出，

    我们将得出α ,α ,和β ,β ,…,β 之间的一个在域P上不是无意义的代数相关性。

    这就证明了组(11)为n次多项式△(t)的全部根。但已知每一个n次多项式的常数项等于其

    根的乘积乘以(-1) 再除以这个多项式的首项系数。

    我们知道多项式△t的首项系数等于(-1) ，故其常数项为其根(11)的乘积，亦即，

    由(3)，等于结式R(f,g)。另一方面，每一个t的多项式的常数项等于其在t=0时的值。这样一来，在等式(8)中取t=0，我们得到所要求出的经多项式(1)的系数所表出的这些多项式的结式表示式：
  


  

    其首项系数不仅不一定等于1，而且也可能等于零，亦即关于多项式f(x)与g(x)的次数只可以说它们个不大于n与s。

    这是暂时否认了一直到现在都这样做的多项式首项系数的条件，因为以后的应用有这种情形。 我们要讨论一组有两个未知量的多项式而其中一个未知量将包含在系数里面，故对于这一未知量的某些值， 首相系数可能变为零。 注释结束。

    命这些多项式的结式R(f,g)为行列式(在空白地位上都是零元素):
  


  

    这些多项式的首项系数都等于1. 在行列式(14)的前s行中每行中每行提出因子a ,

    0

    后n行中每行提出因子b ，显然我们得出等式

    0
  


  

    但因多项式f与 g 的首项系数都不为零，

    故从上面的证明知等式R(f,g)=0是多项式f与 g 有公根存在的充分必要条件。

    而且多项式g与 g 当然有相同的根，所以我们得出，在所讨论的情形结式R(f,g)等于零是多项式f(x)与g(x)有公根存在的充分必要条件。 我们证明了次之定理：如果给予有任意首项系数的多项式(13)， 那么这些多项式的结式(14), 当仅当这些多项式有公根存在或其首项系数都等于零时， 始等于零。 求出下列两个二次多项式的结式

  


  

    照第一行与第三行展开这一行列式，得
  


  

    那么由(17)，R(f,g)=233, 所以这两个多项式没有公根。如果给予多项式,

    那么R(f,g)=0，亦即这两个多项式有公根，这个根为5.

    从有两个未知量两个方程的方程组中消去一个未知量, 设已予两个未知量x与y的两个多项式f与g，其系数在某一个域P里面。我们照未知量x的降幂来写出这些多项式：

    其系数为环P[y]中多项式。 视多项式f与g为x的多项式，

    求出它们的结式且记之为R (f,g)；

    由(14)，知其为系数在域P中的一个未知量y的多项式：

    设多项式组(18)在P的某一扩展域中有公共解x=α,y=β。以β代(18)中的y，我们得出两个仅含一个未知量x的多项式f(x,β)与g(x,β)。这两个多项式有公根α，故由(19)它们的结式F(β)应当等于零，

    是即β必须是结式R (f,g)的根。反之，如果多项式(18)的结式R (f,g)有根β，

    那么多项式f(x,β)与a(x,β)的结式等于零，亦即这两个多项式或者有公根，或者两个首项系数都等于零。

    这一方法把多项式组(18)公共解的求出化为求一个仅有一未知量y的多项式(19)的根。是即所谓，由多项式组(18)消去未知量x。次之定理回答了， 关于由有两个未知量与两个多项式的多项式组消去一个未知量后所得出的多项式的次数问题：如果多项式f(x,y)与g(x,y)对于全部未知量来说，各有次数n与s，

    那么多项式R (f,g)对于未知量y的次数不能大于乘积ns。

    首先，如果我们讨论首项系数等1的两个仅有一未知量的多项式，那么由(2)它们的结式R(f,g)是α ,α ,…,α ,β ,β ,…,β 的ns次齐次多项式。

    因之，如果经系数a ,a ,…,a ,b ,b ,…,b 表出的结式表示式中有一项

  


  

    而且这一项的权是指下面的数,
  


  

    这样结式的根为数β=-4，β=-3/2, 以这些值代换未知量y时， 多项式(21)的首项式不等于零，所以它们的每一个与x的某一值构成这组多项式的公解。 多项式

    有公根α =-1/2。多项式

  


  

    结式的根里面有一个等于0. 但是对于未知量x的这一个值，多项式(22)的首项系数都等于零，同时亦易知多项式f(0,y)与g(0,y)没有公根。我们没有办法求出结式的另一根。只能断定，如果我们能够求出其它的根, [例如在R (f,g)的分解域里面]

    那么它们的每一个都不能使多项式(22)的首项系数全等于零，所以把每一个根作为未知量x的值可以得出未知量y的某一些值（一个或者甚至于许多个）组成所予多项式组的公共解。有方法存在，可以在有任意多项式未知量与多项式的多项式组中依次消去未知量。但是这一方法非常麻烦，所以在我们的课程中不予引入。

    类似于引入结式概念的问题，可以建立这样的问题，关于环P[x]中n次多项式f(x)有重根的条件是怎样的。设多项式f(x)首项系数等于1，且设在某一个P的扩展域中这一多项式有根a ,a ,…,a 。

    显然，在这些根里有等根的充分必要条件，是乘积

  


  

    所以判别式等于这一个行列式的平方。以矩阵的乘法规则乘出这一行列式与其转置行列式且用上节中等次之和的定义，我们得出：
  


  

设n次多项式在域P中没有根或者它的根的个数小于n。 则有域P的扩展域Q存在，使在Q中f(x)有n个根(k重根以k个计)。 故域Q上多项式f(x)可分解为线性因式的乘积，而且不能在扩展域Q使得f(x)有新的根出现。 每一个这样的域称为多项式f(x)的分解域。对于已予多项式关于其分解域的存在问题将在次节中来讨论，现在我们假定多项式f(x)有一个分解域， 来讨论次二问题：关于多项式的根据系数的关系与关于多项式的重根问题。
设在环P[x]中给予首项系数为1的n次多项式f(x),
且设α ,α ,…,α 为其根，
注：对于k重根须重复写上k个。都在某一分解域Q中，则Q上多项式f(x)有次之分解式：
展开右边的括号，而后合并同类项，比较所得出的系数与(4)式的系数，我们得出次诸等式，称为韦达公式，把多项式的系数经由它的根来表出：

  

    这样一来，第k个等式的右边，k=1,2,…,n,是所有可能的k个根的乘积之和，取加号或减号随k之为偶数或奇数而定。当n=2时，这公式变为初等代数中所熟悉的二次多项式的根与系数的关系。当n=3时，亦即对于三次多项式，这公式有形状,

  
  

    已予多项式的根时，用韦达公式很容易写出这一多项式。

    例如求一个有单根5,-2与重根3的四次多项式f(x)。我们有:

  
  

    如果多项式f(x)的首项系数a 不为1，

    0

    那么应用韦达公式时需首先除所有的系数以a , 这并不变更多项式的根。

    0

    这样一来，在这一情形韦达公式给予所有系数对首项系数的比值的表示式。

    在上节中已经证明了，特征为0的域P上多项式f(x)没有重因式的充分必要条件，是它和它的导数互质，同时我们注意到，从f(x)在P中无重因式可推知其在域P的任一扩展域 P 中亦无重因式。用之到这一情形，P 是f(x)的某一分解域，而且回想一下上述重根的定义，

    我们得到次之结果：如果特征为0的域P上多项式f(x)在已予分解域中无重根，那么它和它的导数f`(x)互质，反之，如果f(x)与其导数互质，那么在其分解域中没有重根。因之，特别的推知，在特征为0的域P上不可约多项式f(x)，在P的任何扩展域中都没有重根，对于有限特征的域，这一论断不再正确——, 这一情况在域的普遍理论里面，有显著的作用