级数收敛判断：该级数收敛判断判断是否收敛？如何判断？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-10-30 01:38 标签： 级数收敛判断

【摘要】本文分析了大学数学课程中级数内容的重要性，比较了级数敛散性的各类判别方法。针对存在的问题，分析了泰勒公式在判定数项级数敛散性方面的作用，提出了使用泰勒公式判别的方法，并举例说明用泰勒公式判定各类级数敛散性的方法。

【关键词】泰勒公式 级数 敛散性

【基金项目】河南科技学院教育教学改革研究项目“新乡高校数学专业学生学习现状分析及对策研究”（2016PUYB24）

大学数学课程中，级数部分是该课程知识体系中重要的组成部分。数学专业的后续课程，如《复变函数论》等都和级数有密切的关系，对于工科的学生来讲，傅立叶级数和傅立叶变换主要应用在信号分析领域，包括滤波、数据压缩、电力系统的监控和电子产品的制造等领域，因此级数和这些内容的相应的课程紧密相关。作为函数项级数基础的数项级数部分自然尤为重要。判断数项级数敛散性是学习级数的重要环节，关系到后面各类函数项级数的学习。数项级数敛散性的判断如果掌握了一些特定的技巧，则可以帮助我们巧妙地解决这个问题。关于数项级数敛散性的判断，有一些基本方法，如：敛散性的定义、级数收敛的必要条件、比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法等，这些方法针对一些特定形式的級数敛散性判断都非常有效，该部分在文献[4]中有详细讲解，这里不再赘述。但是，这里存在的普遍问题是，以上方法只是针对一些特定形式的数项级数能够确定其敛散性，对于一般级数的问题，需要探索新的方法，比如对于交错级数，只有级数满足Leibniz定理[4]的两个条件时，才能判断它是收敛的，显然这个方法有一定的局限性。

泰勒公式是高等数学课程中一个功能强大的工具，我们熟知的在近似计算、误差估计、极限计算等方面都有广泛的使用[3]。用泰勒公式判定级数的敛散性在一些文章已有所提及[5]，但这些论证没有深入挖掘它的奇妙之处及具体使用方法。

综上，用泰勒公式判断数项级数的敛散性，通常是把级数的一般项整理成关于的函数形式，利用泰勒公式将其展开，经整理通常可以得到形如的一项（有时相差一常系数或者形如的系数），结合比较审敛法和p-级数敛散性的结论就可以判断原级数的敛散性。使用泰勒公式判定级数的敛散性时，首先用级数收敛的必要条件：数项级数收敛一般项必趋向于零。其逆否命题是：若级数的一般项不趋向于零，则该级数必发散。考虑该必要条件，排除因一般项极限非零的发散级数。

[1]吉米多维奇. 数学分析习题集题解（四） [M]，山东科学技术出版社. .

[2]郭运瑞，陈付贵主编.高等数学（下）[M].北京：人民出版社.

[3]同济大学数学系.高等数学（上）[M].北京：高等教育出版社，.

[4]同济大学数学系.高等数学（下）[M].北京：高等教育出版社，.

[5]谭康.泰勒公式及泰勒级数之妙用[]].高等数学研究，2010（5）：11-12.

[6]刘玉莲，傅沛仁，林玎，苑德馨，刘宁.数学分析讲义[M]。北京：高等教育出版社，.

杨小飞（1979-），女，河南新乡人，讲师，主要研究方向为偏微分方程。

以常见的比较判别法（包括与各种常见级数比较，衍生出的二级结论，例如根值审敛法等）和阿贝尔/狄利克雷判别法为例，一般要么看阶，能不能和几何级数/ p 级数等等比较，可以的话就用比较判别法一系；要么把通项拆成“和收敛+单调收敛数列”或者“和有界+单调无穷小数列”（单调可以弱化为有界变差，似乎一般不会给这条件的阿贝尔判别法，可以直接用阿贝尔分部求和证明）。方法层面上很快，有没有口诀也就这样了。至于选级数/拆级数，这种奇技淫巧和各种经验就是拍脑袋的事儿了。

第十二章 数项级数 

教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。

教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。

前 项部分和等概念 ( 与中学的有关概念联系 ).  级数常简记为 .

级数的敛散性与和 :  介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想 .  以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 ,  定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 .

综上, 几何级数 当且仅当 时收敛, 且和为 ( 注意

解（利用拆项求和的方法）

可见 ,  级数与数列是同一问题的两种不同形式 . 

无穷积分可化为级数 ;

对每个级数,  定义函数 , 易见有

综上所述 ,  级数和无穷积分可以互化 ,  它们有平行的理论和结果 .  可以用其中的一个研究另一个 . 

级数收敛的充要条件 —— Cauchy准则 ：把部分和数列{ }收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言

由该定理可见, 去掉或添加上或改变 (  包括交换次序 ) 级数的有限项 ,  不会影响级数的敛散性

应用Cauchy准则时，应设法把式 | |不失真地放大成只含 而不含 的式子，令其小于 ，确定

级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件 )

}发散. 利用已证明的不等式

( 收敛级数满足分配律 )

则任意加括号后所得级数也收敛 ,且和不变 收敛数列满足结合律 )

.  该例的结果说明什么问题 ?

任意加括号不影响敛散性.

正项级数敛散性的记法 .

正项级数判敛的比较原则 :

判断级数 的敛散性 .

特别地 ，若 ～ , ，

用几何级数作为比较对象 ,  有下列所谓检比法 .

推论 ( 检比法的极限形式 )  设 为正项级数

检比法适用于 和 有相同因子的级数,特别是 中含有因子

均有 ，但前者发散, 后者收敛 .

也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.

推论 ( 检根法的极限形式 )  设 为正项级数

检根法适用于通项中含有与 有关的指数者 . 检根法优于检比法. 

对正项级数，用直接比较法判敛时 , 常用下列不等式:

有效的方法是利用等价无穷小判别法.

（ 2002年西北师大硕士研究生入学试题 ）

可认为 是同号级数. 有

⑵   若 注意到 在点 连续, 在点 的某邻域内有界, 设

如例10所示 ，当 时 ，常用Maclaurin公式确定 的等价无穷小.

原理 : 常用判定级数 收敛的方法证明 或

收敛于同一极限 . 为此先证明 递增有界.

由证明数列 有界性可见 , . 余和

由该定理可见 , 绝对收敛级数满足加法交换律 .是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢 ?  回答是肯定的 .

对照给出该定理的证明 .

关于无穷和的交换律 , 有如下结果:

,  的敛散性及和都不变

若 , 使 在 中的项数不超过

则它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛 ,  且乘积级数的和为 .  (

引理1  （分部求和公式，或称Abel变换）设 和 （ ）为两组实数.记 . 

可见Abel变换式中的 相当于上式中的 ,

不妨设 ↘0 , 对 . 此时就有

考虑级数 , 单调趋于零 , 有界,

可见 时, 级数 的部分和有界

这是交错级数 , 有 . 但该级数发散 . 因为否则应有级数

由该例可见 , 在Leibniz判别法中 , 条件 单调是不可少的.

故本题所论级数发散. 

仿例6 讨论,知本题所论级数条件收敛.

而 , 收敛. 又 数列 和 收敛, 数列 , 部分和数列 收敛.

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