该题如何用比值判别法判别下列级数的敛散性，无法判断敛散性吗？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-10-14 09:30 标签： 用比值判别法判别下列级数的敛散性

数项级数敛散性的判别法毕业答辩论文关于数项级数敛散性的判别法摘要:,如柯西(Cauchy)判别法、达朗贝尔(D’Alembert)判别法、拉阿贝(Raabe)判别法、高斯(Gauss)判别法、狄里克莱(Dirichlet)判别法、莱布尼兹(Leibniz)判别法、阿贝尔(Abel),使之系统化.关键词:数项级数;正项级数;变号级数;敛散性;判别法引言设数项级数的n项部分和为:+若n项部分和数列收敛,即存在一个实数S,使.则称这个级数是收敛的,,,无穷级数是否收敛,(Cauchy)收敛准则,可得到级数的柯西(Cauchy)收敛准则:数项级数收敛,对有.2正项级数敛散性判别法设数项级数为正项级数(0).则级数的n项部分和数列单调递增,由数列的单调有界公理,有正项级数收敛它的部分和数列有上界.:设两个正项级数和,存在常数c及正整数N,当n>N时有≤c,则(i)若级数收敛,则级数也收敛;(ii)若级数发散,则级数也发散.一般常及其极限形式:’(比较判别法的极限形式):设和是两个正项级数且有l,(i)若0<l<+,则两个级数同时敛散;(ii)若l=0,级数收敛,则级数也收敛;(iii)若l=+,级数发散,则级数也发散.由比较判别法可推得:(达朗贝尔判别法也称比值判别法,D’Alembert):设是一个正项级数,则有(i)若存在0<q<1及自然数N,使当n≥N时有≤q,则级数收敛;(ii)若存在自然数N,使当n≥N时有≥1,则级数发散.’(达朗贝尔判别法也称比值判别法的极限形式):设是一个正项级数,(i)若=r<1,则级数收敛;(ii)若=r>1则级数发散.(柯西判别法也称根式判别法):设是一个正项级数,则有(i)若存在0<q<1及自然数N,使当n≥N时有≤q,则级数收敛;(ii)若存在自然数列的子列,使得≥1,则级数发散.’(根式判别法的极限形式):设是一个正项级数,(i)=r<1,则级数收敛;(ii)=r>1,则级数发散.注意:在比值判别法和根式判别法的极限形式中,对r=,当=1或=1时,,都有,,,.但前者发散而后者收敛.此外,≤q<1和≤q<1也不能放宽到<1,<,对调和级数,有=<1,=<1,但级数却是发散的.对于严格正项级数,比较判别法、比式判别法及根式判别法用上(下)极限形式更为方便.[2]设为严格正项级数.10若是收敛的严格正项级数,使,则级数收敛.20若为发散的严格正项级数,使,(可取,则级数发散.[2]设为严格正项级数.10若,则级数收敛.20若,则级数发散.[2]设为正项级数,且,则10当时,级数收敛.20当时,级数发散.我们知道,广义调和级数(p-级数)当时收敛,,取p-级数作为比较的标准,可得到较比式判别法更为精细而又应用方便的判别法,即(拉阿贝判别法,Raabe):设是正项级数并记(i)若存在及自然数,使当n时有则级数收敛;(ii)若存在自然数,使当n时有则级数发散.’(拉阿贝判别法的极限形式):设是正项级数且有,则(1)当时,级数收敛;(2)当时,则级数发散.考虑到级数与无穷积分的关系,可得(积分判别法)[4]:设函数在区间上非负且递减,,,则级数收敛的充分必要条件是极限存在.证:由于,极限存在在有界.(充分性)设存在,则存在,使级数的部分和..(必要性)设正项级数收敛,则它的部分和有上界,即存在有.从而对,令,则.故极限存在.由此我们得到两个重要的结论[6]:(1)级数收敛(2)级数收敛证:两个结论的证法是类似的,所以下面只证明结论(1)在p级数一般项中,把n换为x,得到函数=我们知道,这个函数的广义积分收敛因此根据正项级数的广义积分判定法,结论(1)成立.还是以p-级数为比较标准,可得(阶的估计法):设为正项级数,(1)当时,级数收敛;(2)当时,级数发散.把比较判别法和比式判别法结合,又可得(比值比较判别法):设级数和都是正项级数且存在自然数N,使当n≥N时有,则有若收敛,则也收敛;若发散,则也发散.证:当n≥N时,由已知有.由此可得再由比较判别法即知定理结论成立.较比式判别法更为精细的判别法是:设是正项级数且满足则有若或者,或者,则级数收敛;若或者,或者,则级数发散.’:设是正项级数且满足则有(i)若或,,则级数收敛;(ii)若或,,则级数`发散.3一般项级数敛散性判别法我们经常遇到一些级数,它们并不是都为非负,如交错级数等,对于这一类的级数我们不能再套用上述的正项级数的判别法来判断它们的敛散性了.根据柯西收敛原理,级数收敛的充分必要条件是:对任给的,存在,只要,对任意正整数,有在研究一般项级数的判别法前我引进绝对收敛与条件收敛的概念.定义:若级数收敛,则称级数是绝对收敛的;若级数收敛,但级数发散,则称级数是条件收敛的.由柯西收敛准则,有,则级数收敛.要判别级数敛散性,可用上述介绍的正项级数敛散性的判

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