请问图中的不定积分换元法是怎么实现的？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-10-03 12:11 标签： 高数换元法求不定积分

【摘要】：所以用换元法求不定积分，一是要对复合函数的微分形式比较熟悉，二是要通过练习积累较多的经验，熟能生巧。用分部积分法时，关键是把被积函数分解出u与v′两部分，且要容易计算。在有些情况下，被积函数含有一个自然数指标n，这时往往可通过分部积分法得到一个递推公式，从而得到所求的不定积分。

利用不定积分性质和基本积分表我们可以求出一些简单的不定积分，但这还是很不够的，还须学会更多的计算原函数的方法和技巧，下面我们介绍换元法和分部积分法。

前面我们说积分运算和运算是逆运算，那么在计算不定积分中，和换元法相联系的是复合函数的求导法则，请先看以下例子。

解　由复合函数求导公式不难看出

事实上，例5.2.1中，我们是把被积函数作变形

解　因为若令u＝x2，则有

解　把（ax＋b）20展开再求各项的不定积分，表达式会很繁琐，我们同样可利用复合函数的求导（求微分）公式，有

令u＝ax＋b，再用基本积分公式得

从以上例子中可以看出，如果被积函数是两个函数的乘积：一个是某可导函数φ与函数f的复合函数，另一个恰是φ的导函数φ′，则有

其中u＝φ（x）．如果f的原函数求出，则不定积分也就求出了．上述的这个过程事实上就是一个替换的过程，即将积分变量x，通过变量替换u＝φ（x）变成了积分变量u，求出后再回代到积分变量x，这样的不定积分方法称为换元法，或变量替换法。这个方法的在于能否找到合适的变量u＝φ（x）作为积分变量，也就是能否找到合适的变量替换的可导函数φ．至于怎么找这个函数φ，就要具体情况具体分析了，很大程度上也取决于你对复合函数求导数（微分）的了解程度，下面我们看几个常见的变量替换的情形。

例5.2.4　求不定积分：

（2）设t∈（0,＋∞），有x＝t2＋1，dx＝2tdt，代入原不定积分得

（3）由于被积函数中的给计算带来麻烦，为了去掉根号，作变换x＝asint，dx＝acostdt，代入原式，得

这类三角变换在代回原变量时，可根据变换式x＝asint画出（如图5.1），从图中可直接看出所需的角t的三角函数值，如等。

因所以上述不定积分也可写为

这个不定积分也可用下述方法求得

这两个不定积分可作为公式使用。

（6）当x＞a时，令x＝asect，则于是

当x＜－a时，令t＝－x＞a，则dx＝－dt，于是

从以上例子可以看出，有的不定积分形式比较简单，很容易看出用什么变量替换，并可以通过凑成某个函数的微分的形式得到结果，这种也称之为凑微分法。而有些不定积分却很难直接凑成一个函数的微分形式，就需要通过适当的变量替换来“化简”了。所以用换元法求不定积分，一是要对复合函数的微分形式比较熟悉，二是要通过练习积累较多的经验，熟能生巧。

例5.2.5　求下列不定积分：

（5）如果将被积函数中因式（3x－5）100用展开，计算会很麻烦，现令t＝3x－5，即代入原式有

（6）作变量替换代入有

例5.2.6　求不定积分：

（2）这里也可以像（1）那样作变量替换，但因为分母多了一个因子x，从而使得变量替换后仍不能方便地计算出结果，现另作变换代入原式得

一个不定积分有时可以通过不同的变量替换来计算，如何选择较好的变量替换使计算简单方便，没有统一的规律可循，需具体情况具体分析。从以上例题中，可以了解到一些常见类型的被积函数及其所采用的变量替换，希望能通过练习，举一反三。

有些不定积分，用变量替换法进行计算会比较困难，但用以下介绍的分部积分法可以非常方便地计算出来。

设u，v是两个可导函数，由求导法则知

（uv）′＝u′v＋uv′

对等式两边求不定积分有

等式左边没有加上任意常数C，是因为右边的不定积分中仍包含有任意常数。移项得

上式称为分部积分公式，简记为

可以看出，通过分部积分，将被积函数为uv′的不定积分转化为被积函数为uv′的不定积分，因此的计算遇到困难时，可转化成来计算，就有可能较为方便地计算出来。用分部积分法时，关键是把被积函数分解出u与v′两部分，且要容易计算。

解　这里被积函数是x与ex的乘积，但是把其中哪一个作为分部积分公式中的u，哪一个看成是v′是有讲究的。目的是要使u′v作为被积函数的不定积分容易计算。

令u＝x，v′＝ex，可取v＝ex，由分部积分公式，有

例5.2.7中如果令u＝ex，v′＝x，取则有转化成了比原来不定积分更复杂的不定积分。由此可见，如何把被积函数分成合适的两部分是分部积分的关键，这需从大量的练习中去细心体会。

解　此不定积分可通过连续两次分部积分计算得结果。

解　令u＝lnx，v′＝1，即可取v＝x．于是由分部积分公式，得

解　这两个不定积分在用分部积分法计算时，会出现与原不定积分相同的式子，这时可通过移项得到所求的结果。

在有些情况下，被积函数含有一个指标n，这时往往可通过分部积分法得到一个递推公式，从而得到所求的不定积分。

因此，可反复使用此公式，最后将所求不定积分化为计算（当n为偶数时）。

（2）同理可得递推公式

（3）由分部积分公式有

重复使用这个递推公式，可把n不断降低，最后转化成不定积分

的计算，从而得到所需结果。

4.1.1 原函数与不定积分的概念

定义1 如果在区间上，可导函数的导函数为，即对任一，都有

那末函数就称为（或）在区间上的原函数。

例如，因，故是的原函数。

那一个函数具备何种条件，才能保证它的原函数一定存在呢？简单的说就是，连续的函数一定有原函数。

第一，如果有，那么，对任意常数C，显然也有，即如果是的原函数，那也是的原函数。

第二，当为任意常数时，表达式

就可以表示的任意一个原函数。也就是说，的全体原函数所组成的集合，就是函数族

由以上两点说明，我们引入如下定义。

定义2 在区间上，函数的带有任意常数项的原函数称为（或）在区间上的不定积分，记作

其中记号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量。

由此定义及前面的说明可知，如果是在区间上的一个原函数，那么就是的不定积分，即

因而不定积分可以表示的任意一个原函数。

解 由于=，所以是的一个原函数。因此

解 当时,由于=,所以是在内的一个原函数。因此，在内，

当时，由于==，由上同理，在内，

将结果合并起来，可写作

4.1.2 不定积分的性质

根据不定积分的定义，可以推得它的如下两个性质：

性质1 函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和，即

性质2 求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即

注意 检验积分结果是否正确,只要对结果求导,看它的导数是否等于被积函数，相等时结果是正确的，否则结果是错误的。

4.1.3 两类换元法及举例

利用基本积分表与积分的性质,所能计算的不定积分是非常有限的.因此,有必要进一步来研究不定积分的求法.

把复合函数的微分法反过来求不定积分,利用中间变量的代换,得到复合函数的积分法,称为换元积分法,简称换元法.

再以u=2x代入,即得

在对变量代换比较熟练以后,就不一定写出中间变量u.

下面的一些求积分的例子,它们的被积函数中含有三角函数,在计算这种积分的过程中,往往要用到一些三角恒等式.

利用定理1来求不定积分,一般却比利用复合函数的求导法则求函数的导数要来的困难,因为其中需要一定的技巧,而且如何适当的选择变量代换u=φ(x)没有一般途径可循,因此要掌握换元法,除了熟悉一些典型的例子外,还要做较多的练习才行.

定理2 设x=ψ(x)是单调的、可导的函数, 并且ψ'(x)≠0. 又设f[ψ(t)]ψ'(t)具有原函数,则有换元公式

解 求这个积分的困难在于有根式,但我们可以利用三角公式sin2t+cos2t=1来化去根式.

具体解题时要分析被积函数的具体情况,选取尽可能简捷的代换.

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