欧拉公式的推广形式怎么证明？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-10-01 12:38 标签： 欧拉公式19种证明

  • 在数学史上，有一个令人着迷的公式：

  • 它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然常数 e ，圆周率 \pi ，虚数单位 i 和自然数的单位 1 ，以及被称为人类伟大发现之一的 0 。因为它过于完美，所以数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

  • 要证明上帝创造的公式了，好激动

  • 在证明欧拉公式之前，我们先来看一下这个公式：

  • 接下来证明这个公式即可。其实这个公式用处还是挺大的，因为复数有三种表示形式：坐标式，三角式和指数式，即：

  • 显然就可以看出公式成立，好吧证明一下。

  • 那么如何证明这两个函数相等？

  • 很显然，如果我们能够证明两个函数的图像完全一致，那么就可以说明这两个函数相等。

  • 既然说到函数的图像，那么自然而然地就能想到分别将这两个函数泰勒展开，为了方便，这里就将其在 0 处展开（也称麦克劳林展开）。

  • 我们分别写出这两个函数的一阶导数，二阶导数，三阶导数，四阶倒数……

  • 我们发现，这两个函数的导数都是每四个为一个循环，并将将其麦克劳林展开式都为：

  • 有一说一，微积分是真的挺好用的。

  • 其实，学习知识更是学习一种工具，用来满足自己对世界无穷无尽的好奇。发明知识，发明算法，就是发明了一件更为趁手的工具。而借助这件工具，许多之前看起来不可能解决的问题都能迎刃而解。

计算的话，按照等比数列求和就行。

首先证明：正多边形 中心到每个顶点向量和为0。

设正n边形的中心到每个顶点向量和为OP,则由正n边形的对称性，将其绕中心旋转2PI/n后，其中心到每个顶点向量和OP亦旋转2PI/n,且仍等于OP。由于OP绕中心O旋转2PI/n后保持不变，而2PI/n<PI,因此OP只能为0，即正多边形中心到每个顶点向量和为0。

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