一元一次方程是初中数学教学中的重点和难点,在教学过程中教师和学生都有 有心无力 的感觉,如何将一元一次方程与实际应用更好地结合起来是教学一元一次方程中的核心问题，什么是一元一次方程呢？怎么解呢？下面是学习啦小编整理的什么是一元一次方程，欢迎阅读。

　　什么是一元一次方程

　　只含有一个未知数、未知数的最高次数为1的等式叫做一元一次方程(linear equation in one unknown);使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解(solution)

　　一元一次方程基本信息

　　一元一次方程的标准形式(即所有一元一次方程经整理都能得到的形式)是ax=b( )。其中 是未知数的系数， 是常数， 是未知数。未知数一般常设为 , , 。

　　(1)该方程为整式方程。

　　(2)该方程有且只含有一个未知数。

　　(3)该方程中未知数的最高次数是1。

　　满足以上三点的方程，就是一元一次方程。

　　要判断一个方程是否为一元一次方程，先看它是否为整式方程。若是，再对它进行整理。如果能整理为 的形式，则这个方程就为一元一次方程。里面要有等号，且分母里不含未知数。

　　( ， 为常数， 为未知数，且 )

　　一元一次方程的标准形式：ax+b=0 (a≠0)

　　其求根公式为：x=-b/a

　　一元一次方程只有一个根

　　去分母→去括号→移项→合并同类项→未知项系数化为1(即化为x=a的形式)

　　(1)总量等于各分量之和。将未知数放在等号左边，常数放在右边。如： 。

　　(2)等式两边都含未知数。如： ， 。

　　都是一元一次方程。

　　“方程”一词来源于中国古算术书《九章算术》。在这本著作中，已经列出了一元一次方程。法国数学家笛卡尔把未知数和常数通过代数运算所组成的方程称为代数方程。在19世纪以前，方程一直是代数的核心内容。

　　一元一次方程通常可用于做应用题，如工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、积分表问题、电话计费问题、数字问题等。[1]

　　(1)依据：乘法分配律

　　(2)把所含字母相同且相同字母的指数也相同的项合并成一项;常数计算后合并成一项

　　(3)合并时次数不变，只是系数相加减。

　　(1)依据：等式的性质一

　　(2)含有未知数的项变号后都移到方程左边，把常数项移到右边。

　　(3)把方程一边某项移到另一边时，一定要变号(如：移项时将+改为-)。

　　等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。

　　等式的性质二：等式两边同时乘或除以一个不为零的代数式，等式仍然成立。

　　等式的性质三：等式两边同时乘方，等式仍然成立。

　　解方程都是依据等式的这三个性质。

　　解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，也可以说是满足方程的一个数值

　　一元一次方程解法步骤

　　做法：在方程两边各项都乘以各分母的最小公倍数;

　　依据：等式的性质二

　　一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，可根据乘法分配律(记住如括号外有减号或除号的话一定要变号)

　　做法：把方程中含有未知数的项都移到方程的一边(一般是含有未知数的项移到方程左边，而把常数项移到右边)

　　依据：等式的性质一

　　做法：把方程化成ax=b(a≠0)的形式;

　　依据：乘法分配律(逆用乘法分配律)

　　做法：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a。

　　依据：等式的性质二.

　　去分母，去括号，移项时，要变号，同类项，合并好，再把系数来除掉。

　　如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。

　　(1)方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。

　　(2)方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。

　　由于一元一次方程是基本方程，故教科书上的解法只有上述的方法。

　　但对于标准形式下的一元一次方程：ax+b=0 (a≠0)。

　　可得出求根公式 。

　　由于一元一次函数都可以转化为ax+b=0(a，b为常量，a≠0)的形式，所以解一元一次方程就可以转化为：

　　当某一个函数值为0时，求相应的自变量的值。从图像上看，这就相当于求直线y=kx+b(k，b为常量，k≠0)与x轴交点的横坐标的值。

　　一元一次方程学习实践

　　在小学会学习较浅的一元一次方程，到了初中开始深入的了解一元一次方程的解法和利用一元一次方程解较难的应用题。一元一次方程牵涉到许多的实际问题，例如工程问题、植树问题、比赛比分问题、行程问题、流水行船问题、相遇问题、追及问题、分段收费问题、盈亏问题、利润问题。

　　列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式，即方程(equation)。

　　分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。

　　一元一次方程教学设计

　　(1)使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤，并会列出一元一次方程解简单的应用题;

　　(2)培养学生观察能力，提高他们分析问题和解决问题的能力;

　　(3)使学生初步养成正确思考问题的良好习惯。

　　一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤。

　　(1)从学生原有的认知结构提出问题：在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢?若能解决，怎样解?用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较，它有什么优越性呢?

　　为了回答上述这几个问题，我们来看下面这个例题。

　　例1：某数的3倍减2等于某数与4的和，求某数。

　　(首先，用算术方法解，由学生回答，教师板书)

　　(其次，用代数方法来解，教师引导，学生口述完成)

　　解法2：设某数为x，则有3x-2=x+4。

　　纵观例1的这两种解法，很明显，算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法，有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一。

　　我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等关系。因此对于任何一个应用题中提供的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程。

　　本节课，我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤。

　　(2)师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤

　　例2.某面粉仓库存放的面粉运出15%后，还剩余42 500千克，这个仓库原来有多少面粉?

　　1.本题中给出的已知量和未知量各是什么?

　　2.已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系?(原来重量-运出重量=剩余重量)

　　3.若设原来面粉有x千克，则运出面粉可表示为多少千克?利用上述相等关系，如何布列方程?

　　上述分析过程可列表如下：

　　解：设原来有x千克面粉，那么运出了15%x千克，由题意，得x-15%x=42500，所以 x=50000。

　　答：原来有50000千克面粉。

　　此时，让学生讨论：本题的相等关系除了上述表达形式以外，是否还有其他表达形式?若有，是什么? 　(还有，原来重量=运出重量+剩余重量;原来重量-剩余重量=运出重量)

　　1.这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”，虽形式上不同，但实质是一样的，可以任意选择其中的一个相等关系来列方程

　　2.例2的解方程过程较为简捷，同学应注意模仿.

　　依据例2的分析与解答过程，首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤;然后，采取提问的方式，进行反馈。

　　最后，根据学生总结的情况，教师总结如下：

　　1.仔细审题，透彻理解题意.即弄清已知量、未知量及其相互关系，并用字母(如x)表示题中的一个合理未知数

　　2.根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系.(这是关键一步);

　　3.根据相等关系，正确列出方程.即所列的方程应满足两边的量要相等;方程两边的代数式的单位要相同;题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用等;

　　4.求出所列方程的解;

　　5.检验后明确地、完整地写出答案.这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义。

　　6.最好能用计算器再进行一次验算。

　　引导——活动——讨论[3]

　　1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 2、一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程。 3、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 4、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。

　　等式的性质1：等式两边都加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。

　　等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

　　解一元一次方程的一般步骤及根据：

　　1.去分母——等式的性质二

　　2.去括号——分配律

　　3.移项——等式的性质一

　　4.合并——分配律

　　5.系数化为1——等式的性质二

　　6.验根——把根分别代入方程的左右边看求得的值是否相等

　　(1)分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数;

　　(2)去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号;

　　(3)去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号;

　　(4)移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项;

　　(5)系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号;

　　(6)不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，，找到最佳解法。[4]

　　(7)分、小数运算时不能嫌麻烦。

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题目所在试卷参考答案：

一、选择题(共15小题，每小题3分，满分45分，每小题只有一个选项符合题意)

1．25的算术平方根是(　　)

[分析]根据算术平方根的定义进行解答即可．

∴25的算术平方根是5．

[点评]本题考查的是算术平方根的概念，即如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．

2．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为人，这个数用科学记数法表示为(　　)

[考点]科学记数法-表示较大的数．

[分析]科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

[点评]此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．下列计算正确的是(　　)

[考点]整式的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

[分析]A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；

B、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；

C、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；

D、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断．

[解答]解：A、原式=x⁵，错误；

B、原式=2x⁵，错误；

C、原式=﹣8x³，错误；

[点评]此题考查了整式的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4．由六个小正方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是(　　)

[考点]简单组合体的三视图．

[分析]找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

[解答]解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．

[点评]本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

5．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数是(　　)

[考点]平行线的性质．

[分析]先根据直角三角形的性质求出∠D的度数，再由平行线的性质即可得出结论．

[解答]解：∵FE⊥DB，

[点评]本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．

6．下列运算错误的是(　　)

[考点]二次根式的混合运算．

[分析]根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据完全平方公式对C进行判断；根据平方差公式对D进行判断．

[解答]解：A、原式=3，所以A选项的计算正确；

B、原式=6=6，所以B选项的计算正确；

C、原式=5+2+1=6+2，所以C选项的计算不正确；

D、原式=7﹣4=3，所以D选项的计算正确．

[点评]本题考查了二次根式的混合运算：与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．二次根式的运算结果要化为最简二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

7．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)

A．　　 B． C．　　　 D．

[考点]中心对称图形；轴对称图形．

[分析]根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

[解答]解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．

[点评]本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

8．如图，一次函数y₁=x+b与一次函数y₂=kx+4的图象交于点P(1，3)，则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是(　　)

[考点]一次函数与一元一次不等式．

[分析]观察函数图象得到当x＞1时，函数y=x+b的图象都在y=kx+4的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．

即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．

[点评]本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

9．化简的结果是(　　)

[考点]分式的加减法．

[分析]原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．

[点评]此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

10．下列命题中，正确的是(　　)

A．对角线相等的四边形是矩形

B．对角线互相平分的四边形是平行四边形

C．对角线互相垂直的四边形是菱形

D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

[考点]正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．

[分析]根据矩形、菱形、平行四边形、正方形的判定方法逐一进行判定．

[解答]解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；

B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；

C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；

D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误．

[点评]本题考查了矩形、菱形、平行四边形、正方形的判定方法．熟练掌握特殊四边形的判定方法是解决此类问题的关键．

11．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m²的矩形空地，则原正方形空地的边长是(　　)

[考点]一元二次方程的应用．

[专题]几何图形问题．

[分析]本题可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为(x﹣2)m，宽为(x﹣3)m．根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．

[解答]解：设原正方形的边长为xm，依题意有

解得：x₁=7，x₂=﹣2(不合题意，舍去)

即：原正方形的边长7m．

[点评]本题考查了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．

12．如图，在平面中直角坐标系中，将△OAB沿直线y=﹣x平移后，点O′的纵坐标为6，则点B平移的距离为(　　)

[考点]一次函数图象与几何变换．

[分析]根据题意得出O′点的纵坐标进而得出其横坐标，进而得出O点到O′的距离，进而得出点B与其对应点B′之间的距离．

[解答]解：∵点O的坐标为(0，0)，△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点O的对应点O′在直线y=﹣x上，

∴O′点纵坐标为：6，

即O到O′的距离为8，

则点B与其对应点B′之间的距离为8．

[点评]此题主要考查了坐标与图形的性质以及一次函数图象上点的坐标性质，得出O到O′的距离是解题关键．

13．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB交CD于点E．若AB=6，则△AEC的面积为(　　)

[分析]根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，设AE=CE=x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．

[解答]解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD=AC′=AC，

[点评]此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．

A．在同一条直线上　　 B．在同一条抛物线上

C．在同一反比例函数图象上　　 D．是同一个正方形的四个顶点

[考点]一次函数图象上点的坐标特征．

[专题]压轴题；新定义．

∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上．

[点评]本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度．

15．已知函数y=ax²+bx+c，当y＞0时，﹣＜x＜．则函数y=cx²﹣bx+a的图象可能是图中的(　　)

[考点]二次函数的图象．

[分析]当y＞0时，﹣＜x＜，所以可判断a＜0，函数y=ax²+bx+c与x轴的交点为(﹣，0)和(，0)，即可求得﹣=﹣，　=﹣，得出a=6b，a=﹣6c，则b=﹣c，不妨设c=1，进而得出解析式，找出符合要求的答案．

[解答]解：∵函数y=ax²+bx+c，当y＞0时，﹣＜x＜．

∴﹣=﹣+=﹣，　=﹣×=﹣，

∴与x轴的交点坐标是(2，0)，(﹣3，0)．

[点评]本题考查了二次函数的图象，根与系数的关系，根据二次函数与不等式的关系判断出a、b、c的正负情况以及a、c的关系是解题的关键．

二、填空题(共6小题，每小题3分，满分18分)

[考点]因式分解-提公因式法．

[分析]首先找出公因式，进而提取公因式得出答案．

故答案为：y(x﹣1)．

[点评]此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

[考点]实数的运算；零指数幂．

[分析]原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果．

[点评]此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB=　　．

[考点]锐角三角函数的定义．

[分析]先在图中找出∠AOB所在的直角三角形，再根据三角函数的定义即可求出tan∠AOB的值．

[解答]解：过点A作AD⊥OB垂足为D，

[点评]本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．

19．某同学在用描点法画二次函数y=ax²+bx+c的图象时，列出了下面的表格：

由表格的数据判断b²﹣4ac　＞　0(填＞，＜或=)

[考点]抛物线与x轴的交点．

[分析]利用表格的对应值可判断抛物线的顶点坐标为(0，1)，开口向下，于是得到抛物线与x轴有两个交点，然后利用△=b²﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数可b²﹣4ac的符号．

[解答]解：由表格数据得抛物线过点(﹣1，﹣2)，(0，1)，(1，﹣2)，

所以抛物线的顶点坐标为(0，1)，开口向下，

所以抛物线与x轴有两个交点，

[点评]本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，△=b²﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=　　．

[分析]先根据菱形的性质得AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，再在Rt△OBC中利用勾股定理计算出BC=5，然后利用面积法计算OE的长．

[解答]解：∵四边形ABCD为菱形，

[点评]本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了勾股定理和三角形面积公式．

21．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l：y=﹣x﹣1，双曲线y=．在直线l上取点A₁，过点A₁作x轴的垂线交双曲线于点B₁，过点B₁作y轴的垂线交直线l于点A₂，继续操作：过点A₂作x轴的垂线交双曲线于点B₂，过点B₂作y轴的垂线交直线l于点A₃，…，依次这样得到双曲线上的点B₁，B₂，B₃，B₄，…，B_n．记点A₁的纵坐标为2，则B₂₀₁₆的坐标为　﹣　．

[考点]反比例函数与一次函数的交点问题．

[分析]求出a₂，a₃，a₄，a₅的值，可发现规律，继而得出a₂₀₁₆的值，根据题意可得A₁不能在x轴上，也不能在y轴上，从而可得出a₁不可能取的值．

[解答]解：当a₁=2时，B₁的纵坐标为，

B₁的纵坐标和A₂的纵坐标相同，则A₂的横坐标为a₂=﹣，

A₂的横坐标和B₂的横坐标相同，则B₂的纵坐标为b₂=﹣，

B₂的纵坐标和A₃的纵坐标相同，则A₃的横坐标为a₃=﹣，

A₃的横坐标和B₃的横坐标相同，则B₃的纵坐标为b₃=﹣3，

B₃的纵坐标和A₄的纵坐标相同，则A₄的横坐标为a₄=2，

A₄的横坐标和B₄的横坐标相同，则B₄的纵坐标为b₄=，

[点评]本题考查了反比例函数的综合，涉及了点的规律变化，解答此类题目一定要先计算出前面几个点的坐标，由特殊到一般进行规律的总结，难度较大．

三、解答题(本大题共7个小题，满分57分)

(2)解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

[考点]解一元一次不等式组；整式的混合运算-化简求值；在数轴上表示不等式的解集．

[分析](1)根据整式乘法展开后合并同类项可得，将a、b的值代入计算可得；

(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

将a=﹣1，b=代入上式，

(2)解不等式4x＞2x﹣6，得：x＞﹣3，

解不等式，得：x≤2，

∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，

在数轴上表示不等式组的解集为：

[点评]本题主要考查整式的化简求值和解不等式组的基本能力，熟练进行整式的乘法运算和解不等式组的步骤是根本技能，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解不等式组的关键．

23．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．

[考点]等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．

[分析]D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么DE=DF．

∵AB=AC，点D是BC边上的中点

∴AD平分∠BAC(三线合一性质)，

∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．

∴DE=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)．

证法二：在△ABC中，

∴∠B=∠C(等边对等角) …

∵点D是BC边上的中点

∴BD=DC　　　　　　 …

∴DE=DF(全等三角形的对应边相等)．

[点评]本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质；利用等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．

[考点]线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．

[分析]根据角平分线性质得出CE=DE，根据线段垂直平分线性质得出AE=BE，代入AC=AE+CE求出即可．

[点评]本题考查了角平分线性质和线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

25．全国海绵城市建设试点城市名单公布，济南成为16个试点城市之一．最近，济南市多条道路都在进行“海绵”改造，某工程队承担了某道路900米长的改造任务．工程队在改造完360米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造道路多少米？

[考点]分式方程的应用．

[分析]首先设原来每天改造管道x米，则引进新设备前工程队每天改造管道(1+20%)x米，由题意得等量关系：原来改造360米管道所用时间+引进了新设备改造540米所用时间=27天，根据等量关系列出方程，再解即可．

[解答]解：设原来每天改造管道x米，由题意得：

经检验：x=30是原分式方程的解，

答：引进新设备前工程队每天改造管道30米．

[点评]此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意分式方程不要忘记检验．

26．如图，某校数学兴趣小组为测得大厦AB的高度，在大厦前的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为30°，再向大厦方向前进80米，到达点D处(C、D、B三点在同一直线上)，又测得大厦顶端A的仰角为45°，请你计算该大厦的高度．(精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732)

[考点]解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

[分析]先设AB=x；根据题意分析图形：本题涉及到两个直角三角形Rt△ACB和Rt△ADB，应利用其公共边BA构造等量关系，解三角形可求得DB、CB的数值，再根据CD=BC﹣BD=80，进而可求出答案．

答：该大厦的高度是109.2米．

[点评]本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．

27．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为(3，a)(其中a＞4)，射线OA与反比例函数y=的图象交于点P，点B、C分别在函数y=的图象上，且AB∥x轴，AC∥y 轴；

(1)当点P横坐标为2，求直线AO的表达式；

(3)连接BP、CP，试猜想：的值是否随a的变化而变化？如果不变，求出的值；如果变化，请说明理由．

[考点]反比例函数综合题．

[专题]综合题；反比例函数及其应用．

[分析](1)把x=2代入反比例解析式求出y的值，确定出P坐标，将P坐标代入直线AO解析式y=kx，求出k的值，即可确定出解析式；

(2)连接CO，如图1所示，由AC与y轴平行，得到A与C横坐标相同，确定出C坐标，求出OC的长，即为AC的长，列出方程，求出解即可确定出A坐标；

(3)的值不变，理由为：如图2，过C点向y轴作垂线交OA于点D，连接BD，作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F，连接BP，CP，根据A坐标表示出直线OC解析式，进而表示出D坐标，以及B坐标，得到四边形ABCD为矩形，进而得到BE=CF，利用同底等高三角形面积相等即可求出所求之比．

设直线AO的解析式为y=kx，

则直线AO的解析式为y=3x；

由AC∥y轴，得C点横坐标为3．

(3)的值不变，理由为：

如图2，过C点向y轴作垂线交OA于点D，连接BD，作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F，连接BP，CP，

∵直线OA的解析式为y=x，

∴D点的坐标为(，4)，

∴点B的坐标为(，a)．

∴四边形ABCD是矩形，

∴B、C到对角线AD的距离相等，即BE=CF，

∴△ABP与△ACP是同底等高的两个三角形，它们面积相等，

[点评]此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，矩形的判定与性质，三角形的面积求法，以及坐标与图形性质，熟练掌握性质及运算法则是解本题的关键．

28．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．

(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°＜α＜360°)得到正方形OE′F′G′，如图2．

①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；

②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．

[考点]几何变换综合题．

[分析](1)延长ED交AG于点H，易证△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后运用等量代换证明∠AHE=90°即可；

(2)①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，α=30°，α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，α=150°；

②当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，AF′=AO+OF′=+2，此时α=315°．

[解答]解：(1)如图1，延长ED交AG于点H，

∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，

(2)①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：

(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，

(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，

同理可求∠BOG′=30°，

②如图3，当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，

∵正方形ABCD的边长为1，

[点评]本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性质的综合运用，有一定的综合性，分类讨论当∠OAG′是直角时，求α的度数是本题的难点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．

(3)如图2，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上存在点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？求点M的坐标．

[考点]二次函数综合题．

[分析](1)把点A(1，0)、B(4，0)两点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；

(2)A、B关于对称轴对称，连接BC，则BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC；根据勾股定理求得BC，即可求得；

(3)分两种情况分别讨论，即可求得．

[解答]解：(1)由已知得，

所以，抛物线的解析式为y=x²﹣x+3．

(2)∵A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，

∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，

∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，

∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9．

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，

∴=，即=，解得b=，代入y=﹣x+3得=﹣a+3，解得a=，

②当∠QMB=90°时，如图3，

综上，在线段BC上存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形，点M的坐标为(，)或(，)．

[点评]本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称﹣最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．