y=xarctan1/|x|在x=0的左右导数相等吗？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-07-11 00:30 标签： arctanx分之y对x的偏导数

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注：本文提到的任何方法，在高中范围内，使用前均需简证，以免失分！

  • 常用函数的泰勒公式（含佩亚诺余项）
  • 泰勒公式（Taylor's Formula）的推导（摘自百度百科）

具有任意阶导数，则幂级数：

称为麦克劳林级数。函数

的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与

的麦克劳林级数在点的某一邻域内收敛，它不一定收敛于

的麦克劳林级数虽然能算出来，但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于

一些函数无法被展开为泰勒级数，因为那里存在一个奇点。但是如果变量

是负指数幂的话，仍然可以将其展开为一个级数。例如：

，就可以被展开为一个洛朗级数。

1.2 泰勒级数的相关定理

下面给出两个泰勒级数的定理。

内具有任意阶导数，则函数

在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件使得泰勒公式中的余项

，则右端的幂级数是惟一的。

2.2 泰勒公式中的余项

可以写成以下几种不同的形式：

分别对应拉格朗日余项与柯西余项）

其中以上诸多余项事实上很多是等价的。

2.3 常用函数的泰勒公式（含佩亚诺余项）

阶连续可导，则下式成立：

麦克劳林公式是泰勒公式在

  • 幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。
  • 一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开区域上的泰勒级数通过解析延拓得到的函数，并使得复分析这种手法可行。
  • 泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。

我们知道，根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有：

的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确。于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：

至此，多项的各项系数都已求出，得：

以上就是函数的泰勒展开式。

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