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1、学生姓名:年级:老师:上课日期:上课时间:上课次数:年级第单元课题课前准备课前检查:作业完成情况:优（）良（）中（）差（）复习预习情况:优（）良（）中（）差（） 学习内容、知识梳理（一）、相似三角形的性质：1、 相似三角形的对应角 ，对应边。2、相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于3、相似三角形对应周长的比等于4、 相似三角形对应面积的比等于 。注意：在运用相似三角形的性质解题时，一定要确定好对应边、对应角；若果不能确定，则应当进 行分类讨论。（二）、相似三角形的判定：平行截割：_ 两角对应相等: 两边夹： 三边比：1、判定两个三角形相似的条件：（1）（2）（3）（4）2、判定

2、两个三角形相似的一般步骤：（1、先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角（2）若只能找到一对对应角相等，则再找到一对对应角相等，或找夹这个角的两边是否对应成比例。（3）若找不到相等的角，就分析三边是否 3、等积式的证明思路遇等积，化等比；横找、竖找定相似；不相似，莫生气，等线等比来代替；平行线转比例，两端 各自拉关系。二、基础练习1.（ 2013?重庆）已知 ABC

2cm，5cm，6cm，现将要利用长度为 30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与 ABC相似，要求以其中一根作为这个三角形木架的一边，将另一根截成两段（允许有余料，接头及损耗忽略不计）10cm，25cm，30cm10cm，30cm，3

4、6cm 或10cm，12cm，30cm10cm，30cm，36cm10cm，25cm，30cm 或12cm ， 30cm ， 36cm作为这个三角形木架的另外两边，那么这个三角形木架的三边长度分别为（2010?淄博）在一块长为8、宽为2J3的矩形中，恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形，且三角形的顶点都在矩形的边上其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是6

5、何中线段长度计算常用的方法是： 算；3、综合运用进行计算。典型例题1、（2012?铁岭）已知：在直角梯形 ABCD中，AD / BC，/ C=90 AB=AD=25，BC=32 .连 接BD，AE丄BD，垂足为E .1、运用勾股定理计算;2、运用相似三角形对应边成比例计(1) 求证： ABE sA DBC ；(2) 求线段AE的长.变式训练：1、(2012?株洲)如图，在矩形

）若CE=3，求BP的长.专题二：等积式、等比式的证明对应线段成比例除了用来计算线段长度外，它也是我们证明等积式、等比式的一个重要理论依据。 处理这类问题的口诀是： 遇等积，化等比；横找、竖找定相似；不相似，莫生气，等线等比来代 替。等积问题证明第一步：化等比，定相似遇到等积问题时，首先把等积化为等比的形式，然

初二年级下学期数学期中试题

　　一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）

　　1、下列二次根式中与 是同类二次根式的是（  ）

　　2、 是整数，则正整数 的最小值是（）

　　3、下列各方程中，是一元二次方程的 是（ ）

　　4、数据1，5，3，5，2，5，3的众数和中位数分别是（）

　　5、三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2－6x+8=0的根，则

　　这个三 角形的周长是（）

　　6、若 则下列结论正确的是（ ）

　　7、如果方程 有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）

　　8、一个正多边形的`每个外角都是36°，这个正多边形的边数是（）

　　9、平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边x的取值范围为（）

　　10、把方程 化成 的形式，则m、n的值是（ ）

　　11、若方程 中， 满足 和 ，则 方程的根是（ ）

　　12、如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：

　　①△ABC≌△AED；②△ABE是等边三角形；③AD=AF；④S△ABE=S△CDE；⑤S△ABE=S△CEF．其中正确的是（）

　　A． ①②③ B． ①②④ C． ①②⑤ D． ①③④

　　二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

　　13、二次根式 中x的取值范围是．

　　14、方程 的根是 ．

　　15、若实数x、y满足 则xy= ．

　　16、已知直角三角形的两条边长分别是方程x2－14x+48=0的两个根，则该直角三角形的面积是．

　　17、宁波市某楼盘准备以每平方米12000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产商对价格经过两次下调后，决定以每平方米9720元的均价开盘销售，如果每次下调的百分率相等，设下调百分率为x，则可列方程

　　18、阅读材料：设一元二次方程 则两根分别与方程系数之间有如下关系： 根据该材料选择：已知 、 是方程 两个实数根，则 的值为.

　　三、解答 题（共7题，共66分）

　　19、（8分）计算（1）

　　20、（6分）已知 ， 求代数式 的值。

　　21、（6分）解方程

　　22、 （8分）如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF

　　求证：AE=CF．

　　23、（8分）细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题：

　　（1）请用含有n的（n是正整数）的等式表示上述变化规律；

　　（2）推算出OA10的长度；

　　（3）求出 的值．

　　（3）计算两人投标成绩的方差并判断谁的成绩较为稳定．

　　25、（9分）在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动，（P到B点停止，Q也停止）如果点P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后，△PBQ的面 积等于8cm2．

　　26、（1 2分）在△ABC 中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．

　　（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC．

　　（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当 点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明 ．

　　一、选择题（每题3分，共36分）

　　二、填空题（每题3分，共18分）

　　在△ADE和△CBF中

　　24、解：（1小亮平均数7（环），中位数为7，众数为7；小莹平均数为7（环），中位数为7.5，众数为9，填表如下：

　　（2）平均数相等说明：两人整体水平相当，成绩一 样好；小莹的中位数大说明：小莹的成绩比小亮好．．

　　26、（1）略（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，

　　∴四边形AFDE是平行四边形．∴AF=DE，∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C

　　故答案是：2或10．

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第十二讲 等腰三角形的判定

由于等腰三角形有丰富的性质，这 些性质为我们解几何题提供了新的理论依据，所以寻找发现等腰三角形是解一些几何题的关键，判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是：从定义入手，证明一个三角形的两条边相等;从角入手，证明一个三角形的两个角相等， 实际解题中 的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：

1.“角平分线+平行线”构造等腰三角形;

2.“角平分线+垂线”构造等腰三角形;

3.用“垂直平分线”构造等腰三角形;

4.用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形.

【例1】 如图，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5，那么这个六边形的周长是 cm.

(“祖冲之杯”邀请赛试题)

思路点拨 设法将六边形的问题转化为三角形或四边形的问题加以解决，六边形的外角都为60°，利用60°构造等边三角形是解本例的关键.

注 证明线段相等是最基本的几何问题，目前常用证法有：

(1)若两线段属于两个三角形，则考虑证对应的三角形全等;

(2)若两线段是同一个三角形两边，则考虑用等角对等边证明;

(3)寻找中间线段，通过等 量代换证明.

类似的，我们可以对证明角相等、等边三角形的判定作归纳总结.

不同形状的几何图形之间可互相转化，向外补形与对内分割是基本的两种转化方式.

【例2】 如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有( )

思路点拨 AB既可作等腰三角形PAB的腰，也可作为等腰三角形PAB的底，故要思考全面，才能正确地得出符合条件的P点的个数.

思路点拨 如何利用条件∠B=2∠C?又怎样得到AB+BD?不同的思考方向，会找到解题的不同方法.

【例4】 如图甲，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F.

(2)求证：△CEF是等边三角形;

(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图乙中补出符合要求的图形，并判断第(1)、(2)两小属结论是否仍然 成立(不要求证明).

思路点拨 图甲中有多对全等三角形，这是解(1)、(2)问的基础.

注 若仅将题中的条件∠A=30°改为∠A=45°，则符合条件的点有几个?若将题中的条件∠A=30°，改为∠A≠30°，∠A≠45°，则符合条件的P点有几个?请读者思考.

分折法(执果溯因)，综合法(由因导果)是两种最基本的分析方法.

处理题设条件中的“两倍角”的基本途径是：

(1) 向外构造等腰三角形; (2)对内作角平分线.

【例5】 如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E，∠C=∠D，BC=DE，M为CD中点，求证：AM⊥CD. (武汉市选拔赛试题)

思路点拨 证明∠AMC=90°或应用等腰三角形“三线合一”的性质，通过作辅助线将五边形问题恰当地转化为三角形问题是解本例的关键.

4.如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E点，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四个结论：

①AC⊥BD;②BC=DE;③∠DBC= ∠DAB;④△ABE是等边三角形.请写出正确结论的序号 .(把你认为正确结论的序号都填上) (2002午天津市中考题)

6.如图，在△ABC中，∠B=2∠C，则AC与2AB之间的关系是( )

7.等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于( )

(“希望杯”邀请赛试题)

8.在锐角△ABC中，三个内角的度数都是质数，则这样的三角形( )

A.只有一个且为等腰三角形

B.至少有两个且都为等腰三角形

C.只有一个但不是等腰三角形

D.至少有两个，其中有非等腰三角形

(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系.

(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上 移动，在移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论. (广东省中考题)

10.如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF.

11.如图，已知等边三角形ABC，在AB 上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点.

15.有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为 度. (江苏省竞赛题)

16.在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有( )

(2002年全国初中数学竞赛矗)

22.在平面内确定四点，连接每两点， 使任意三点构成等腰三角形(包括等边三角形)，且每两点之间函线段长只有两个数值，则这四点的取法有多少种?画图说明.

24.如图，等边三角形ABD和等边三角形CBDD的长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF=a.

(1)E、F移动时，△BEF的形状如何?

(2)求△BEF面积的最小值.

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