高等数学求极限

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-06-24 20:40 标签： 高数怎么求极限步骤

　　《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。

　　一、极限定义、运算法则和一些结果

　　1(定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述)。

　　说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证

　　(2)在后面求极限时，(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格

　　定理1 已知 ，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有 (1)limf(x)limg(x)

　　说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

　　说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，

　　作者简介:靳一东，男，(1964—)，副教授。

　　定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。

　　定理3 当时，下列函数都是无穷小(即极限是0)，且相互等价，即有: x,0

　　g(x)g(x),0说明:当上面每个函数中的自变量x换成时()，仍有上面的等价

　　定理5 假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时，函数和满足:(1)和的f(x)g(x)f(x)g(x)

　　极限都是0或都是无穷大;

　　,,f(x)f(x)f(x)f(x)limlimlimlim 则极限也一定存在，且等于，即= 。 ,,g(x)g(x)g(x)g(x)说明:定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达

　　0,法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型;0,

　　条件(2)一般都满足，而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以

　　连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

　　x 定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有f(x)0

　　定理7(准则1) 单调有界数列必有极限。

　　二、求极限方法举例

　　1( 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

　　注:本题也可以用洛比达法则。

　　2( 利用函数的连续性(定理6)求极限

　　1222e,4e 所以 原式= 。 3( 利用两个重要极限求极限

　　注:本题也可以用洛比达法则。

　　解:原式=0 (定理2的结果)。 5( 利用等价无穷小代换(定理4)求极限

　　正如下面例题解法错误一样:

　　6( 利用洛比达法则求极限

　　说明:当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，

　　洛比达法则还可以连续使用。

　　应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。

　　1,2cosx0lim解:易见:该极限是“”型，但用洛比达法则后得到:，此极限 x,,3,sinx0

　　不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下:

　　7( 利用极限存在准则求极限

　　x,2，x知的递推公式 两边求极限，得: n，1n

　　上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于不常用，这里不作介绍。

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