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1、应用Mathematica完成下列题目的运算求解或绘图

（8）画出极限    的数列散点图，观察变化趋势是否与极限符合。

（12）求y=exsinx的导数和二阶导数。

（14）求由方程2x2+xy+ey=0所确定的隐函数y关于x的导数。

（16）求函数 的微分。

（27）求函数f(x)=sinx的7次麦克劳林展开式。

2、一元和多元方程的趣味建模求解

中，卷下第十七问，有一个著名的，曰：“今有妇人河上荡杯。津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘有客。’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五。不知客几何？”这里说的故事是一个妇人在河里荡杯（洗涤杯碗），掌管桥梁的官吏（津吏）就问她为何要洗这么多杯碗，来了多少客人？妇人就回答，两个人共用一个饭碗，三个人共用一个汤碗，四个人共用一个肉碗，一共用了六十五个碗，你说来了多少客人？（提示：一元方程的建模）

手边有标准的货币1元、5元、10元，如何支付19元？有多少种方式可以实现支付？（提示：多元方程的建模）

（3）“鸡兔同笼”的问题

在《孙子算经》中，有一个著名的“鸡兔同笼”问题，曰：“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问：雉、兔各几何？”给出的答案是：“雉二十三，兔一十二。”计算的方法是，术曰：“上置三十五头，下置九十四足。半其足，得四十七，以少减多，再命之，上三除下三，上五除下五，下有一除上一，下有二除上二，即得。又术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。”这一段文字，比较晦涩难懂，如果我们用方程组来求解，在Mathematica中，只用写一条语句，即可得到答案。请思考求解。（提示：建立联立方程组求解）

（4）“韩信点兵”的问题

在历史上，流传有一个韩信点兵的典故，是说大将韩信有次带兵打仗，出征有1500名士兵，战死大约有四五百人，战后清点人数，韩信用的方法是，让士兵站成队列，就得到总人数。3人站一排，多出2人；5人站一排，多出4人；7人站一排，多出6人；韩信很快就知道现有士兵总数是1049人。韩信是怎么计算的呢？这里要用到一些数学知识。但是在Mathematica中，同样可以用很简便方法的方法求解“韩信点兵”。请思考求解。（提示：建立联立方程组求解）

（一）应用Mathematica完成下列题目的运算求解或绘图

在新建立的文档Q1中，首先使用Solve命令求解题目给出的方程，得到求解结果如下图2所示：

同时，根据讲义要求，尝试运用Reduce 函数得出各种情况下的可能性，如图3所示：

建立新笔记本Q2，首先运用Solve函数对x3+5x+6=0进行求解，求解得到如图4所示：

同时，根据讲义要求，尝试运用Nsolve函数，得出n次方程的数值解集，如图5所示：

建立新笔记本Q3，首先运用Sovle函数对方程x2-3x+2=0求解，求解得到如图6所示：

同时，根据讲义要求，尝试运用Roots函数，得出n次方程的另一种解的形式，如图5所示：

建立新笔记本Q4，首先利用实验二中已经使用过的Plot函数在同一坐标系中画出3cosx和lnx的图形如下图8所示：

画出图形后，在图形中分别找出交点分别为1,5,7,11,13,20,19附近，这里选择FindRoot命令分别求得方程的近似根，得到结果如图9所示:

建立新笔记本Q5，通过Solve[{方程1,方程2,…},{未知数1,未知数 2,…}]求解题目中的方程组，得到结果如图10所示：

建立新笔记本Q6，利用Eliminate函数消除方成组中的两个函数y、z，得到结果如图11所示：

建立新笔记本Q7，使用Limit函数求极限，其具体格式为Limit[函数,自变量->极限点,Direction->方向]，求解本题得到结果如图12所示：

建立新笔记本Q8，使用ListPlot函数绘制数列散点图，同时使用相应附加项得到结果如图13所示：

图 13 散点图的绘制

建立新笔记本Q9，使用命令Limit求得题目解如图14所示：

建立新笔记本Q11，同样使用命令Limit，但此时是较为复杂的极限形式，求得结果如下图15所示：

图 16 复杂极限求解

建立新笔记本Q12，使用求函数的导数的命令D[函数表达式,{自变量,n}]，求函数对自变量的n阶导数，结果如下图17所示：

建立新笔记本Q13，利用命令Table如下形式Table[通项,{k,m,n,d}]与D[]命令配合得到结果如下图18所示：

图 18 一次表达多个结果

建立笔记本Q14，利用命令Solve同D[]配合求得隐函数导数如下图19所示:

图 19 隐函数导数求解

建立笔记本Q15，依次写出各个方程式，最后再用D[函数表达式,自变量]，根据题目要求得出解，具体过程如下图20所示：

图 20 方程组导求解

建立文档Q16，利用命令Dt[函数表达式]，求函数的微分，求得结果如下图21所示：

图 21 函数微积分求解

建立文档Q17，利用命令D[ ]和Dt[ ]配合，分别求的题目要求微分级全微分如下图22所示：

图 22 微分及全微分求解

建立文档Q18，使用计算不定积分的命令Integrate[函数表达式,自变量]求得方程解如下图23所示：

图 23 不定积分求解

建立文档Q19，使用不定积分命令如下形式Integrate[函数表达式,{自变量,积分下 限,积分上限}]，得到结果如图24所示：

建立文档Q20，同样使用Integrate命令，通过积分上下限设定为正无穷和负无穷计算反常积分得到结果如下图25所示：

图 25 反常积分求解

建立文档Q21，在求的对数积分时，可以使用Integrate命令，也可以使用NIntegrate命令求得近似数值解，得到结果如下图26所示：

图 26 对数积分求解

建立文档Q22，通过Integrate[函数,{自变量1,积分下限 ,积分上限},{自变量2,积分下限,积分 上限}]形式使用该命令，得到结果如下图27所示：

图 27 二重积分求解

建立文档Q23，根据二重积分规则，推出三重积分时Integrate命令形式，求解得出如下图28所示：

图 28 三重积分求解

建立文档Q24，利用命令Sum[通项,{k,起始值,终止值}]，分别求得无穷级数解如下图29所示：

图 29 无穷级数求解

建立文档Q25，利用命令Sum计算终止值为正无穷的无穷级数，得到结果如下图30所示：

图 30 无穷级数求解

建立文档Q26，同样使用命令Sum求无穷级数，本体中的级数应用！表示，具体解题过程如下图31所示：

图 31 无穷级数求解

建立文档Q27，使用泰勒展开式命令Series[函数,{自变量,展开点,最高次数}]，得到结果如下图32所示：

图 32 麦克劳次展开式求解

（二）一元和多元方程的趣味建模求解

由题目找到核心的语句“两个人共用一个饭碗，三个人共用一个汤碗，四个人共用一个肉碗，一共用了六十五个碗”。通过这句话我们可以进行模型的建立。

由于求解的是人数，所以我们直接设一共有x个客人，所以饭碗的数量为x/2,汤碗的数量为x/3,肉碗的数量为x/4,这样以来我们就可以通过建立一元方程求解，两边的以总人数为平衡：

建立文档Q28，使用Solve函数进行求解，具体的解题过程如下图33所示：

图 33 荡杯问题的求解

综上所述，由x=60可得，一共来了60个客人。

由题目找到核心的语句“1元、5元、10元，如何支付19元”。通过这句话我们可以进行模型的建立。

通过分析我们可以得出这个题目求解的是多种解决方案，因此可以建立多元方程，进行整数求解。

假设使用1元x张，5元y张，10元z张

在实际问题中考虑到变量的实际意义，所以应该进行范围限制：

建立文档Q29，使用Solve函数进行求解，具体的解题过程如下图34所示：

图 34 凑零为整问题的求解

综上所述，由x=60可得，一共有6种方案：

（1）1元的4张，5元的1张，10元的1张。

（2）1元的4张，5元的3张，10元的0张。

（3）1元的9张，5元的0张，10元的1张。

（4）1元的9张，5元的2张，10元的0张。

（5）1元的14张，5元的1张，10元的0张。

（6）1元的19张，5元的0张，10元的0张。

由题目找到核心的语句“上有三十五，下有九十四”。通过这句话我们可以进行模型的建立。

由于求解的是鸡和兔的个数，所以我们直接设一共有x只鸡，y只兔，鸡和兔都只有一个头，而鸡有两只脚，兔有四只脚，这样以来我们就可以通过建立二元一次方程组求解：

建立文档Q30，使用Solve函数进行求解，具体的解题过程如下图35所示：

图 35 鸡兔同笼问题的求解

综上所述，鸡有23只，兔有12只。

由题目找到核心的语句“3人站一排，多出2人；5人站一排，多出4人；7人站一排，多出6人”，“出征1500名士兵，战死大约有四五百人”。通过这句话我们可以进行模型的建立。

这类型问题其实是盈亏问题，不难看出，在3种情况下，排列会有不同的多余人数，我们可以利用这一点进行建模。通过审题可以得出，现在的总人数大概在之间。

假设3人纵队时，有3x+2人，5人纵队时，有5x+4，7人纵队时有7z+6人，且总人数为s，可以建立方程组：

建立文档Q31，使用Solve函数进行求解，具体的解题过程如下图36所示：

图 36 韩信点兵问题的求解

综上所述，剩余的士兵一共有1049人。