一、 常用的数量关系式

4. 工作效率×工作时间＝工作总量  工作总量÷工作效率＝工作时间

税后利息＝本金×利率×时间×(1－5%)

整百年份÷400，结果有余数就是平年，没有余数就是闰年。

5数的整除:整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我

一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的 约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。

能被2整除:个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、  

能被5整除:个位上是0或5的数,例如：5、30、405都能被5整除.

能被3整除:一个数的各位上的数的和能被3整除，例如：12、108、204

能被9整除:一个数各位数上的和能被9整除。

能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。

能被2和5整除：个位是0，例如：10,20,30

能被3和5整除：各位上的数的和能被3整除并且个位是0和5

能被2和3整除：各位上的数的和能被3整除并且个位是偶数

能被2.3.5整除：各位上的数的和能被3整除并且个位是0

自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。

偶数：能被2整除的数，0也是偶数。奇数：不能被2整除的数。 

质数（或素数）：一个数，如果只有1和它本身两个约数。

合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，例如

1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。

如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为：质数、合数和1。 

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。 

分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来。

公约数：几个数公有的约数。最大公约数：其中最大的一个。例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公约数，6是它们的最大公约数。

互质数：公约数只有1的两个数。成互质关系的两个数，有下列几种情况：

公倍数：几个数公有的倍数。最小公倍数：其中最小的一个。

如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。 

几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。

把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。 

在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。 

分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数。 

真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。 

假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大   

带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。  

百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数 也叫做百分率 或百分比。

分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），  

（五）分数与除法的关系

2. 因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。 

3. 被除数 相当于分子，除数相当于分母。 

（四）运算定律 

 三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相

两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。 

三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，

再和第一个数相乘，它们的积不变，即(a×b)×c=a×(b×c) 。

两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相

从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，

鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应

解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”

解题规律：（总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数 

如果假设全是兔子，可以有下面的式子： 

例 鸡兔同笼共 50 个头， 170 条腿。问鸡兔各有多少只？ 

发芽率=发芽种子数/试验种子数×100%

小麦的出粉率= 面粉的重量/小麦的重量×100%

产品的合格率=合格的产品数/产品总数×100%

职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100%

第四章 几何的初步知识

* 直线 :直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一

*  射线:射线只有一个端点；长度无限。 

* 线段:线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，

* 平行线 :在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 

* 垂线 : 两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线

从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。 

（2）角:从一点引出两条射线。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 

锐角：小于90°的角叫做锐角。 

直角：等于90°的角叫做直角。 

钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。 

平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角180°。 

周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。

2 折线统计图优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数

3扇形统计图优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。

比：两个数相除又叫做两个数的比。     比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。

比例：表示两个比相等的式子叫做比例。  在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。

2、比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比叫做比例尺。

 1）熟记以下关系式以便于判断：

出勤人数÷总人数=出勤率     出油（粉、米）质量÷大豆（总）质量=出油（粉、米）率

每天读的页数×读的天数=总页数

2）熟记以下两种量的关系：

圆锥体积一定，底面积和高成（ 反 ）比例。   圆锥底面积×高÷3=体积（一定）

1、熟记数学书第120页内容，特别要记得每种量中一些特殊的进率。

2、记得一些常用的量，以便比较判断：

1、找规律：书上p91例5

 观察表格找规律：每增加一个点，这个点可以和前面已有的每个点都连成一条线段，所以前面有几个点就会增加几条线段。（这些点都不能在同一条线上）

 列出算式找规律：n个点，可连线段的总条数就等于从1开始前（n-1）个连续自然数的和。

2、多边形内角和：书上p94第3题

   方法：把多边形分成若干个三角形再求若干个三角形内角的总和。

前两位数字表示省（直辖市、自治区）；前三位数字表示邮区；前四位数字表示县（市）；最后两位数字表示投递局（所）。

8、鸡兔同笼：假设法  列方程

9、抽屉原理：（1）至少数  求法：物品数÷抽屉数=商……余数

10、密铺：常见的能密铺的图形：长方形、正方形、等边三角形、正六边形 等腰梯形

11、自行车里的数学：1、前齿轮和后齿轮的齿数比值越小就越省力，但是蹬一圈所行的路程比较短。反之，前后齿轮的齿数比越大越费力，但蹬一圈所行的路程较远。

2、后齿轮所转的圈数和后轮所转的圈数一样。

6、立体图形涉及的相关问题：

  （1）等积问题：也就是物体转换后保持体积相等。（建议用方程比较简单）

  （2）拼切问题：（切一次增加2个面。2个拼在一起减少2面）

例如：切① 把一根长2m的木料切成3段，表面积增加了48平方分米，原来体积是多少？

拼② 一个牛奶盒长8cm、宽5cm、高12cm，要是每两盒包装成一大盒，最少需要多大的纸？4盒包装成一大盒呢？

 切：平行与底面横的切

  从一个立体图形里挖出其他一个最大立体图形：

利用长方形或直角三角旋转，旋转轴是高，另一条相邻的边是底面半径。

（4）浸没问题：即求不规则物体的体积，一个物体完全浸没在水中，这个物体的体积就是水面上升那部分水的体积。

    例如：把一个圆锥形铁块放入底面直径是8cm，高是20cm的圆柱形容器里面，完全浸没。水面上升3cm，圆锥的体积是多少？

常见的对称图形：1条对称轴：等腰三角形、等腰梯形、半圆

2、平移：平移后图形完全相同，大小方向都不变。   作图要求：先找对应点再连线。

4、放大缩小：如按2：1放大，各边都要放大到原来的2倍。   提示：作图之后一定要检查对比。

指由北偏向西。北偏西30度也就是西偏北60度。一般说度数较小的角。

6、数对：先列后行。例如（8，9）表示第8列第9行。

工作效率×工作时间=工作总量    单位产量×总面积=总产量

（1）求平均数：总数量÷总分数=平均数

  例1：小东读一本故事书，前3天共读81页，后4天共读136页，小东平均每天读多少页？

例2：小明的语文、数学、英语、三科平均分是93分，其中语文90分，数学98分，那么英语是多少分？

  例3：小东数学成绩前两次的平均分是85分，而后三次的平均分是90分，第三次成绩是多少分?

（2）先求一份是多少的问题 （总数÷份数= 一份数）即归一问题

  例：45头马每天要吃干草540千克。照这样计算，如果增加5头马，每天共吃干草多少千克？

  例：某矿泉水进货时4瓶5元，售出时每瓶1.5元，要想获利300元，需售出矿泉水多少瓶？

想：先求出每瓶多少元？

（3）先求总数，再求每份是多少，或有这样的几份

  例：一个工程队修一条公路，原计划每天修450米，80天完成，现在要求提前20天完成，平均每天应修多少米？

（4）相遇问题  （路程÷速度和=相遇时间）

例：两地相距275千米，客车与货车分别从两地同时相对开出，客车每小时行60千米，火车每小时行50千米，开出几小时后两车相遇？

例：六（1）班男生25人，女生20人。

（2）求A比B多（少、增加、减少、提高、降低）百分之几？

方法：（大数 — 小数）÷单位“1” 的量

例：现在买一台收音机用160元，比过去少用85元，收音机售价降低了百分之几 ？

 想：求降低百分之几就是求降低的价钱占原价的百分之几，即降低的价钱÷原价

（3）求A的几分之几（或百分之几）是多少？

方法：单位“1”的量×分率（百分率）=分率对应量

例1：一堆450吨的货物，第一天运了总数的，第二天运了总数的。两天共运货物多少吨?

例2：一个书包原价50元，现价比原价降低10%，现价多少元？   

（4）已知A的几分之几（或百分之几）是多少，求A

方法：对应量÷对应分率=单位“1”的量

例4：六（1）班开展活动，全班的同学布置教室，的同学采购物品，其余14人准备节目，六（1）班全班有多少人？

 （5）百分率问题：

  ① 折扣问题：（单位“1”是原价，做题时把它想成分数乘除法比较简单）

②税率问题：应纳税额=各种收入×税率  税率=应纳税额÷各种收入

出租车收费问题：  小丽家到学校5300米，一天她从家坐出租车到学校，需付车费多少元?（收费标准如右图）

  为了提倡节约用电，大理州电网规定150度以内0.45元，150~250度0.5元，高于250度以上的按0.8元计费，小明家上个月用电350度，他们家应缴纳电费多少元？