聚类分析是在数据中发现数据对象之间的关系，将数据进行分组，组内的相似性越大，组间的差别越大，则聚类效果越好。我们事先并不知道数据的正确结果(类标)，通过聚类算法来发现和挖掘数据本身的结构信息，对数据进行分簇(分类)。聚类算法的目标是，簇内相似度高，簇间相似度低
二、基本的聚类分析算法
基于原型的、划分的距离技术，它试图发现用户指定个数(K)的簇。
2. 凝聚的层次距离：
思想是开始时，每个点都作为一个单点簇，然后，重复的合并两个最靠近的簇，直到尝试单个、包含所有点的簇。
一种基于密度的划分距离的算法，簇的个数有算法自动的确定，低密度中的点被视为噪声而忽略，因此其不产生完全聚类。
不同的距离量度会对距离的结果产生影响，常见的距离量度如下所示：
在聚类算法中K-Means算法是一种最流行的、使用最广泛的一种聚类算法，因为它的易于实现且计算效率也高。聚类算法的应用领域也是非常广泛的，包括不同类型的文档分类、音乐、电影、基于用户购买行为的分类、基于用户兴趣爱好来构建推荐系统等。
优点：易于实现
缺点：可能收敛于局部最小值，在大规模数据收敛慢
1 选择K个点作为初始质心 3 将每个点指派到最近的质心，形成K个簇 4 重新计算每个簇的质心 5 until 簇不发生变化或达到最大迭代次数
这里的重新计算每个簇的质心，更新过程是：首先找到与每个点距离最近的中心点，构成每个中心点划分的k个点集，然后对于每个点集，计算点的均值代替中心点。
如何计算是根据目标函数得来的，因此在开始时我们要考虑距离度量和目标函数。
考虑欧几里得距离的数据，使用误差平方和（Sum of the Squared Error,SSE）作为聚类的目标函数，两次运行K均值产生的两个不同的簇集，我们更喜欢SSE最小的那个：
k表示k个聚类中心，ci表示第几个中心，dist表示的是欧几里得距离。
前面说的我们更新质心是让所有的点的平均值，这里就是SSE所决定的：
因此K-Means算法的实现步骤，主要分为四个步骤：
1、从样本集合中随机抽取k个样本点作为初始簇的中心。
2、将每个样本点划分到距离它最近的中心点所代表的簇中。
3、用各个簇中所有样本点的中心点代表簇的中心点。
4、重复2和3，直到簇的中心点不变或达到设定的迭代次数或达到设定的容错范围。
本文采用sklearn来实现一个k-means算法的应用，细节的底层实现可见文末第一个链接。
1.首先使用sklearn的数据集，数据集中包含150个随机生成的点，样本点分为三个不同的簇：
2.下面使用sklearn内置的KMeans算法来实现对上面样本点的聚类分析：
k均值算法非常简单且使用广泛，但有一些缺点：
1. K值需要预先给定，属于预先知识，很多情况下K值的估计是非常困难的，因此会有后面的k值确定。
2. K-Means算法对初始选取的聚类中心点是敏感的，不同的随机种子点得到的聚类结果完全不同 。可能只能得到局部的最优解，而无法得到全局的最优解。
3. K-Means算法并不是很所有的数据类型。它不能处理非球形簇、不同尺寸和不同密度的簇。
4. 对离群点的数据进行聚类时，K-Means也有问题。
K-Means算法需要随机选择初始化的中心点，如果中心点选择不合适，可能会导致簇的效果不好或产生收敛速度慢等问题。解决这个问题一个比较合适的方法就是，在数据集上多次运行K-Means算法，根据簇内误差平方和(SSE)来选择性能最好的模型。除此之外，还可以通过K-Means++算法，让初始的中心点彼此的距离尽可能的远，相比K-Means算法，它能够产生更好的模型。
K-Means++有下面几个步骤组成：
1、初始化一个空的集合M，用于存储选定的k个中心点
2、从输入的样本中随机选择第一个中心点μ，并将其加入到集合M中
3、对于集合M之外的任意样本点x，通过计算找到与其距离最小的样本d(x,M)
4、使用加权概率分布来随机来随机选择下一个中心点μ
5、重复步骤2和3，直到选定k个中心点
通过上面图可以发现k-means++的聚类效果还不错，簇的中心点，基本位于球心。
1.在实际情况中使用k-means++算法可能会遇到，由于样本的维度太高无法可视化，从而无法设定样本的簇数。可视化问题可在聚类后显示前用pca对数据降维显示。
2.由于k-means算法是基于欧式距离来计算的，所以k-means算法对于数据的范围比较敏感，所以在使用k-means算法之前，需要先对数据进行标准化，保证k-means算法不受特征量纲的影响。
在原始的K-means算法中，每一次的划分所有的样本都要参与运算，如果数据量非常大的话，这个时间是非常高的，因此有了一种分批处理的改进算法。
使用Mini Batch（分批处理）的方法对数据点之间的距离进行计算。
Mini Batch的好处：不必使用所有的数据样本，而是从不同类别的样本中抽取一部分样本来代表各自类型进行计算。n 由于计算样本量少，所以会相应的减少运行时间n 但另一方面抽样也必然会带来准确度的下降。
(其他关于k-means的优化还有很多，可参考链接或自行总结)
层次聚类是通过可视化然后人为去判断大致聚为几类，很明显在共同父节点的一颗子树可以被聚类为一个类
肘部法则（Elbow Method）和轮廓系数（Silhouette Coefficient）来对k值进行最终的确定，但是这些方法都是属于“事后”判断的，而Canopy算法的作用就在于它是通过事先粗聚类的方式，为k-means算法确定初始聚类中心个数和聚类中心点。
与传统的聚类算法(比如K-Means)不同，Canopy聚类最大的特点是不需要事先指定k值(即clustering的个数)，因此具有很大的实际应用价值。与其他聚类算法相比，Canopy聚类虽然精度较低，但其在速度上有很大优势，因此可以使用Canopy聚类先对数据进行“粗”聚类，得到k值，以及大致的k个中心点，再使用K-Means进行进一步“细”聚类。所以Canopy+K-Means这种形式聚类算法聚类效果良好。
- 原始数据集合List按照一定的规则进行排序（这个规则是任意的，但是一旦确定就不再更改），初始距离阈值为T1、T2，且T1>T2（T1、T2的设定可以根据用户的需要，或者使用交叉验证获得）。
- 在List中随机挑选一个数据向量A，使用一个粗糙距离计算方式计算A与List中其他样本数据向量之间的距离d。
- 根据第2步中的距离d，把d小于T1的样本数据向量划到一个canopy中，同时把d小于T2的样本数据向量从候选中心向量名单（这里可以理解为就是List）中移除。
- 重复第2、3步，直到候选中心向量名单为空，即List为空，算法结束。
算法原理比较简单，就是对数据进行不断遍历，T2<dis<T1的可以作为中心名单，dis<T2的认为与canopy太近了，以后不会作为中心点，从list中删除，这样的话一个点可能属于多个canopy。
- 只是针对每个Canopy的内容做Kmeans聚类，减少相似计算的数量。
- 算法中 T1、T2（T2 < T1） 的确定问题（也有专门的算法去描述，但可以自己多次试错
根据肘部法则选择最合适的K值有事并不是那么清晰，因此斯坦福大学的Robert等教授提出了方法。
这里我们要继续使用上面的。Gap Statistic的定义为:
这里指的是的期望。这个数值通常通过蒙特卡洛模拟产生，我们在样本里所在的矩形区域中（高维的话就是立方体区域）按照均匀分布随机地产生和原始样本数一样多的随机样本，并对这个随机样本做K-Means，从而得到一个。如此往复多次，通常20次，我们可以得到20个。对这20个数值求平均值，就得到了的近似值。最终可以计算Gap Statisitc。而Gap statistic取得最大值所对应的K就是最佳的K。
Gap Statistic的基本思路是：引入参考的测值，这个参考值可以有Monte Carlo采样的方法获得。
B是sampling的次数。为了修正MC带来的误差，我们计算sk也即标准差来矫正Gap Statistic。
选择满足的最小的k作为最优的聚类个数。
在对簇的划分中，我们就使用了SSE作为目标函数来划分簇。当KMeans算法训练完成后，我们可以通过使用inertia属性来获取簇内的误方差，不需要再次进行计算。
1 #用来存放设置不同簇数时的SSE值
可以使用图形工具肘方法，根据簇的数量来可视化簇内误方差。通过图形可以直观的观察到k对于簇内误方差的影响。也可以用来确定K值。
通过上图可以发现，当簇数量为3的时候出现了肘型，这说明k取3是一个不错的选择。但不一定所有的问题都能用肘部法则来解决，如下图右图中，肘部不明显。因此肘部法则只是一种可尝试的方法。
2、轮廓图定量分析聚类质量
轮廓分析(silhouette analysis)，使用图形工具来度量簇中样本的聚集程度，除k-means之外也适用于其他的聚类算法。通过三个步骤可以计算出当个样本的轮廓系数(silhouette coefficient)：
1、将样本x与簇内的其他点之间的平均距离作为簇内的内聚度a
2、将样本x与最近簇中所有点之间的平均距离看作是与最近簇的分离度b
3、将簇的分离度与簇内聚度之差除以二者中比较大的数得到轮廓系数，计算公式如下
轮廓系数的取值在-1到1之间。当簇内聚度与分度离相等时，轮廓系数为0。当b>>a时，轮廓系数近似取到1，此时模型的性能最佳。
通过轮廓图，我们能够看出样本的簇数以及判断样本中是否包含异常值。为了评价聚类模型的性能，可以通过评价轮廓系数，也就是图中的红色虚线进行评价。
类似SSE，也可以做出不同k值下的效果图：
可以看到也是在聚类数为3时轮廓系数达到了峰值，所以最佳聚类数为3
最后针对使用MATLAB的给出代码，细节与上文类似：
生成随机二维分布图形，三个中心
1 % 使用高斯分布（正态分布） 2 % 随机生成3个中心以及标准差
分别用等高线、分布图、热能图和概率图展示结果
AIC准则寻找最优分类
%随机初始化中心点，可以随机取数据集中的任意k个点
%对每个点，找到其所属的中心点，即距离其最近的中心点。 返回一个向量，为每个点对应的中心点id。
%用每个中心点统领的那类点的均值，更新中心点。
