（1） 质点系的总动量为零，总角动量也一定为零。错

（2） 一质点做直线运动，质点的角动量一定为零。错

（3） —质点做直线运动，质点的角动量一定不变。错

（4） 一质点做匀速率圆周运动，其动量方向在不断改变，所以角动量的方

4-2两个自由质点，其质量分别为 mi和m2，它们之间的相互作用符合万有 引力定律，开始时，两质点间的距离为I，它们都处于静止状态，试求当它们的

距离变为-I时，两质点的速度各为多少？

解：把两个质点当一个系统考虑，没有外力作用，动量和机械能守恒。

的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下4-3如附图所示，一根线密度为

的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下

端恰好碰到桌面。现将手突然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就 静止在桌面上，求链条下落距离 y时对桌面的瞬时作用力。

解：在落到桌面前，链条个部分为自由落体，当链条下落 y时，下落部分速

dt时刻内将会有dy长度的链条落到桌面上，此时桌面上的链条受到支持力

N和重力G的作用，二者的合力改变了链条的动量，若指定向上为正，则

4-4作用在质量为10kg的物体上的力为F=（ 10+2t）iN，式中t的单位为

s。（ 1）求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量。

（2）为了使这力的冲量为200Ns，该力应在这物体上作用多久，试就一原

来静止的物体和一个具有初速度-6 j m/s的物体，回答这两个问题

解：（1）根据动量定理，

由于y方向无力作用，y方向动量为恒矢量，故仍为10s。

4-5 一颗子弹由枪口射出时速率为 vom/s，当子弹在枪筒内被加速时，它所

受的合力为F= （a-bt） N（a，b为常数），其中t以s为单位：

（1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需

时间；（2）求子弹所受的冲量；

解：（1）子弹到枪口时，有

4-6求实验室内观察到相距很远的一个质子（质量为 mp）和一个氦核（质

量为4mp）,沿一直线相向运动，速率都是 w,求二者能达到的最近距离 R。

当质子和氦核相距最近时，它们的速度一定同方向且相等，由动量守恒得

e,氦核带电量为2e,它们相距为r时具有的势能为

——，其中k为静电力常量。

m=10kg的物体上，试求：（1）在开始2s内此力的冲量;

（2）若冲量l=300Ns,此力作用的时间；

S=0.20m2的直角弯管，管中（3）若物体的初速度vi=10m/s,方向与Fx相同，在t=6.68s时，此物体的 速度V2。解:（ 1）

4-8如附图所示，在水平地面上,

有流速为v=3.0m/s的水通过，求弯管所受力的大小和方向。

Svdtv解：水在竖直方向和水平方向分别利用冲量定理求冲力分量， 弯管所受力大

小为水所受的冲力合力。在竖直方向： ^dt d（mv）

水所受的冲力合力大小为：

4-9如附图所示，一做斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块， 最高点距离地面为19.6m。爆炸1.00s后，第一块落到爆炸点正下方的地面上，

此处距抛出点的水平距离为 1.00 x 102m。问第二块落在距抛出点多远的地面上 （设空气的阻力不计）。

解：物体在最高点处爆炸的过程，由于爆炸内力远大于重力，重力的冲量可 或略，物体爆照过程动量守恒。设作斜抛物体的初速率为vo,到最高点所需时间

物体爆炸后，第一块碎片竖直落下的运动方程为yi

物体爆炸后，第一块碎片竖直落下的运动方程为

片落地时，有yi 0,t ti 1.00s，则得到第一块碎片抛出的速率

再根据动量守恒定律，在最高点处有

联解式（1）——（4），得

爆炸后，第二块碎片作斜抛运动，其运动方程为1 2

爆炸后，第二块碎片作斜抛运动，其运动方程为

落地时，y o，由式（5）和（6）可解得X2

4-1o如附图所示，质量为7.2x 1o-23kg，速率为6.ox 1o7m/s的粒子A，与 另一质量为其一半而静止的粒子 B发生二维弹性碰撞，碰撞后粒子 A的速率为 5.ox 1o7m/s .求：

（1） 粒子B的速率及相对粒子A原来速度方向的偏转角；

（2） 粒子A的偏转角。

4-11如附图所示，一个质量为 m的小球，从内壁为半球形的容器边缘点 A 滑下。设容器质量为m'，半径为R,内壁光滑，并放置在摩擦可以或略的水平 桌面上，开始时小球和容器都处于静止状态。 当小球沿内壁滑到容器底部的点 B

时，受到向上的支持力为多大?

解：水平方向系统动量守恒，下滑过程中系统机械能守恒

其中vm、vm'分别表示小球到达B点时小球、容器相对于桌面的速度，得

以容器为参考系，求在B点小球相对容器的速度vm'

小球圆周运动的向心力为

4-12如附图所示,质量为m速度为v的钢球,射向质量为m的靶，靶中心有 一小孔，内有劲度系数为k的弹簧，此靶最初处于静止状态，，但可在水平面上做 无摩擦滑动，求钢球射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离。

分析这也是一种碰撞问题.碰撞的全过程是指小球刚与弹簧接触直至弹簧 被压缩到最大，小球与靶刚好到达共同速度为止，在这过程中，小球和靶组成的系 统在水平方向不受外力作用，外力的冲量为零，因此，在此方向动量守恒.但是，仅靠 动量守恒定律还不能求出结果来?又考虑到无外力对系统作功 ，系统无非保守内

力作功，故系统的机械能也守恒?应用上述两个守恒定律，并考虑到球与靶具有相 同速度时，弹簧被压缩量最大这一条件，即可求解.应用守恒定律求解，可免除碰撞 中的许多细节问题.

解设弹簧的最大压缩量为X0 .小球与靶共同运动的速度为V1 .由动量守 恒定律，有

又由机械能守恒定律，有

4-13自动步枪连发时每分钟可射出120发子弹，每颗子弹质量为7.9g，出 口速率为735m/s,求射击时所需的平均力。

解：枪射出每发子弹所需时间： △ t=60/120=0.5s对子弹应用动量定理：

4-14水力采煤,是用高压水枪喷出的强力水 柱冲击煤层。设水柱 直径

D 30mm，水速 56m/s，水柱垂直射在煤层表面上，冲击煤层后的速度

为零，求水柱对煤的平均冲力。

解 △ t时间内射向煤层的水柱质量为 m V 丄 nD2 x

煤层对水柱的平均冲击力(如图以向右为正方向)为

水柱对煤层的平均冲力为 f' F 2.22 103N，方向向右。

在开始2 s内此力的冲量；

若物体的初速度10 m?s-1方向与F相同,在t = 6.86s时，此物体的速度是 多少？

分析 本题可由冲量的定义式I t2 Fdt,求变力的冲量，继而根据动量定理

求：(1)质点的动量；(2)从t= 0到t 这段时间内质点受到的合力的冲量； ⑶

在上述时间内，质点的动量是否守恒 ？为什么？

⑶ 质点的动量不守恒，因为由第一问结果知动量随时间 t变化

4-17将一空盒放在台秤盘上，并将台秤的读数调节到零，然后从高出盒底h 处将石子以每秒n个的速率连续注入盒中，每一石子的质量为 m。假定石子与盒 子的碰撞是完全非弹性的，试求石子开始落入盒后 t秒时，台秤的读数。

［解］t秒钟后台秤的读数包括下面两部分，一部分是已落入盒中的石子对称 盘的压力Ni，另一部分是正下落的石子对秤的冲力 N2，显然Ni nmgt

取t时间下落的石子为研究对象，设它们所受到的平均冲力为 N，根据动

4-18以速度v°前进的炮车，向后发射一炮弹，已知炮车的仰角为 ，炮弹和

炮车的质量分别为 m和M，炮弹相对炮车的出口速率为 V，如图所示。求炮车 的反冲速率是多大？

［解］以大地为参照系，取炮弹与炮弹组成的系统为研究对象，系统水平方向 的动量守恒。由图可知炮弹相对于地面的速度的水平分量为 vcos V，根据动 量守恒定律

此即为炮车的反冲速率。

4-19 一质点的运动轨迹如图所示。已知质点的质量为 20g，在A、B两位 置处的速率都是20m s，va与x轴成45°角，Vb与y轴垂直，求质点由 A点运 动到B点这段时间内，作用在质点上外力的总冲量。

根据动量定理，作用在质点上的外力的冲量lx Px ;Iy Py

4-20如图所示，砂子从h = 0.8m处下落到以v° 3m s的速率沿水平向右运动的

传输带上，若每秒钟落下100kg的砂子，求传输带对砂子作用力的大小和方向。

［解］如图所示，设t时间内落下的砂子的质量为 m，贝U m的动量改变

向如图所示。设传输带的运送量 m t = 2000kg h，求矿砂作用在传输带 B上

［解］取t时间内落下的矿砂 量的改变为m为研究对象，建立如图所示的坐标系，其动Pxmv2 cos2 mw sin 勺 m v, sin 勺

［解］取t时间内落下的矿砂 量的改变为

m为研究对象，建立如图所示的坐标系，其动

4-22某弹道火箭初始总质量M。12.9t，内装m = 9.0t的燃料，由静止开始

发射。发射时喷气速率u 2.0 103 ms，喷气流量为q= 125kg s，二者都是常量

不计重力及空气阻力，求火箭受到的反推力和它在燃料烧尽后的速度。

［解］取dt时间内喷出的气体为研究对象，根据动量定理 F dt dp udm

火箭受到的反推力dt dt

设燃料燃烧尽后火箭的速度为 v，根据动量定理Fdt M0 qt dv (2)

4-23初始质量为M0的火箭，在地面附近空间以相对于火箭的速率 u垂直

向下喷射高温气体，每秒钟消耗的燃料量 dm dt为常量C。设初速为零，试求火 箭上升速度与时间的函数关系。

解：经过时间t后，火箭的速度为v，dv udm gdt

4-24依靠火箭将卫星进入轨道。

4-24依靠火箭将卫星进入轨道。

发射前火箭和卫星的总质量为 M0 12.0t

其中燃料质量m=9.0t。若希望在燃料烧尽后火箭能达到第一宇宙速度 v=7.9kg s，

不计空气阻力和重力，则燃料喷气相对于火箭的速率 u应为多大？

4-25质量为m的质点，当它处在r=-2i+4j+6k的位置时的速度v=5i+4j+6k， 试求其对原点的角动量。

解：质点对原点的角动量为

汽车对公路一侧距公路为d= 50m的一点的角动量是多大？对公路上任一点的角 动量又是多大？

解：根据角动量的定义式L r mv

4-27哈雷彗星绕太阳运行的轨道是一个椭圆。它离大阳最近的距离是

解：彗星运行受的引力指向太阳，所以它对太阳的角动量守恒，它在走过离太阳 最近或最远的地点时，速度的方向均与对太阳的矢径方向垂直， 所以根据角动量

4-28若将月球轨道视为圆周，其转动周期为 27.3d,求月球对地球中心的

设月球的速度为v，月球对地球中心的角动量为L，则

圆形轨道上绕质子转动。试求电子的轨道角动量，并以普朗克常数 h表示之

解： 电子的轨道角动量

4-30 海王星的轨道运动可看成是匀速率圆周运动，5 109km，绕太阳运行的周期为T=165年。海王星的质量约为轨道半径约为R

4-30 海王星的轨道运动可看成是匀速率圆周运动，

5 109km，绕太阳运行的周期为T=165年。海王星的质量约为

试计算海王星对大阳中心的角动量的大小。 解：海王星对太阳中心的角动量

4-31 6月22日，地球处于远日点，到太阳的距离为1.52

为2.93 104 m/s。6个月后，地球处于近日点，到太阳的距离为

(1)在近日点地球的轨道速度；(2)两种情况下地球的角速度。

解：设在近日点附近地球的轨道速度为 v，轨道半径为ri，角速度为1 ;在远日 点地球的轨道速度为V2，轨道半径为°，角速度为

(1)取地球为研究对象，其对太阳中心的角动量守恒。

4-32光滑圆盘上有一质量为

m的物体A,拴在一根穿过圆盘中心光滑小孔的细

绳上，如图所示。开始时，该物体距圆盘中心 O的距离为r。，并以角速度°绕

盘心O作圆周运动。现向下拉绳，当质点拉的速度为v

盘心O作圆周运动。现向下拉绳，当质点

拉的速度为v，求下拉过程中拉力所作的功

解：质点所受合外力为有心力，角动量守恒

根据质点的动能定理，拉力作功 A 1 mvB ^mv；

4-33如图所示，在光滑的水平面上有一轻质弹簧(其劲度系数为k)，它的一端 固定，另一端系一质量为 m的滑块.最初滑块静止时，弹簧呈自然长度 10，

今有一质量为m的子弹以速度v°沿水平方向并垂直于弹簧轴线射向滑块且留 在其中，滑块在水平面内滑动，当弹簧被拉伸至长度 I时，求滑块速度v的大

解：子弹射入滑块瞬间，因属非弹性碰撞，根据动量守恒定律有⑴mv0

解：子弹射入滑块瞬间，因属非弹性碰撞，根据动量守恒定律有

在弹簧的弹力作用下，滑块与子弹一起运动的过程中，若将弹簧包括在系统内, 则系统满足机械能守恒定律，有

又在滑块绕固定点作弧线运动中,

系统满足角动量守恒定律，故有