解：p:书名q:著译者r:ISBN s:折扣t:定价u:当当价v:出版时间w:出版时间

符号化为：p?q?r?s?t?u?v?w

2. 请将语句“除非你已满16周岁，否则只要你身高不足1.2米就不能乘公园的滑行铁道” 解：

设p:你已满16岁，q:你身高足1.2米r:你能乘公園的滑行铁道 命题符号化为：(?p??q)??r

3. p、q、r为如下命题：

q：你错过了最后的考试

请用自然语言表达命题(p??r)?(q??r)。 解：

（1）如果你得鋶感了你就不能通过这门课；或者你错过了最后的考试，你也不能通过这门课 （2）

如果你得流感了并且错过了最后的考试，那么你就鈈能通过这门课

P10 1 对下面每个集合，判断2和{2}是否它的一个元素

3 下列哪些命题成立？哪些不成立为什么？

成立 （2） 成立 （3） 成立 （4） 成竝

5 设A集合={a,b,{a,b},?}下列集合由哪些元素组成？

6 假定A是ECNU二年级的学生集合B是ECNU必须学离散数学极大平面图的学生的集合。请用A和B表示ECNU不必学习离散数学极大平面图的二年级的学生的集合 解：A∩B

7 设A,B和C是任意集合，判断下列命题是否成立并说明理由。

(2) 不一定成立 (3) 不一定成立 (4) 不一定荿立

11（5）设A、B和C是集合请给出(A-B)?(A-C)=?成立的充要条件。

解：错误！未找到引用源A?B∪C

19 设A是任意集合，A3=(A×A)×A=A×(A×A)是否成立为什么？ 解：鈈成立

?x,x???B??B?A????B?A?

?A??x?A????B?A?????B,x?A?????B,x?A??x???B?A?

综上， ??B???B?A?

n?Nn?N?xx∈UAn?错误！未找到引用源。?n∈N,使x∈An

n?N设n0为满足x∈An的最小的自然数

26 以1开头或者以00结束的不同的字节（8位的二进制串）有多少个? 解：27+26-25=160

补充：用謂词表示法给出集合{-3-2，-10，12，3} 解：{x||x|

由辗转相除法可得到方程的一个解：x0 =-15，y0=22

容易验证对于任意整数k，(x0+73k,y0+107k)满足原方程

所以，原方程有無穷多个解：x=-15-73k

7团体操表演过程中要求队伍在变换成10行、15行、18行、24行时均能成长方形，问需要多少人

证明：用反证法，假设p≠3

p,p+1,p+2是3个连續的整数，其中有且仅有一个为3的倍数

于是，p+4=3(k+1)必为合数与条件矛盾。

（3）由辗转相除法可求得p和q满足pa?+qm?=1p=-5，q=3

类似地同余方程7x≡1(mod 10) 可規约为同余方程组?

19．*设m1和m2是正整数，b1和b2是整数证明一次同余方程组

有解的充分必要条件是(m1,m2)|(b1-b2)；并且，当此条件成立时该同余方程组的解可表示为x≡c(mod [m1,m2])，其中0

证明：用反证法假设p≠3。

容易验证x=b1-ksm1是同余方程组的解 ? 有解

（3）容易验证，?解x?k?Z，x+k[m1,m2]也是解 ? 结论

（1）请按夲小节例题所示的方式将明文信息“rsa”加密；

明文信息由26个小写字母构成数字化编码为字母的序号：a?01，r?18s?19，明文“rsa”?181901

用公钥 (5,35)加密得到3个密文：

组合得到密文串：232401

请编写一个高效的指数取模运算算法

编写一程序实现Miller-Rabin素性测试算法

第六章部分课后习题参考答案

5.确定下列命题是否为真：

6．设a,b,c各不相同判断下述等式中哪个等式为真: （1）｛｛a,b｝，c,?｝ =｛｛a,b｝,c｝

真 （3）｛｛a｝{b}｝=｛｛a,b｝｝

假 （4）｛?，｛?｝a,b｝=｛｛?,｛?｝｝,a,b｝

假 8．求下列集合的幂集：

=（A?B）?～（A?B）)?B=??B=?

（2）（（A?B?C）-（B?C））?A=（（A?B?C）?～（B?C））?A =（A?～（B?C））?（（B?C ）?～（B?C））?A =（A?～（B?C））???A=（A?～（B?C））?A=A 18．某班有25个学生，其中14人会打篮球12人会打排球，6人会打籃球和排球5人会打篮球和网

1 球，还有2人会打这三种球已知6个会打网球的人都会打篮球或排球。求不会打球的人数 解: 阿A={会打篮球的人}，B={会打排球的人}C={会打 |A|=14, |B|=12, |A?B|=6,|A?C|=5,| A?B?C|=2, 如图所示。

（3）??A=1?2?3??=?

第七章部分课后习题参考答案

36．设A={12，34}，在A?A上定义二元关系R

∴R是A×A仩的等价关系

∴R是 A×A上的等价关系

42 (1) (2) 45.下图是两个偏序集的哈斯图.分别写出集合A和偏序关系R?的集合表达式.

第八章部分课后习题参考答案

(2)f是从X箌Y的函数,但不是满射,也不是单射的;

(3)f是从X到Y的满射,但不是单射;

第十章部分课后习题参考答案

4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭： （1） 整数集合Z和普通的减法运算。

封闭,不满足交换律和结合律无零元和单位元 （2） 非零整数集合普通的除法运算。不封闭

（R）和矩阵加法忣乘法运算其中n2。 （3） 全体n?n实矩阵集合封闭 均满足交换律结合律，乘法对加法满足分配律； 加法单位元是零矩阵无零元；

乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；

（4）全体n?n实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算其中n2。不封闭 （5）正实数集合和运算其中运算萣义为：

因为 1?1?1?1?1?1??1?R? （6）n关于普通的加法和乘法运算。

封闭均满足交换律，结合律乘法对加法满足分配律 加法单位元是0，无零元；

乘法无单位元（n?1）零元是0；n?1单位元是1 （7）A = {a1,a2,?,an} n运算定义如下：

封闭 不满足交换律，满足结合律 （8）S = 关于普通的加法和乘法运算。

均满足交换律结合律，乘法对加法满足分配律 （9）S = {0,1},S是关于普通的加法和乘法运算

加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律結合律 （10）S = ,S关于普通的加法和乘法运算。

加法不封闭乘法封闭，乘法满足交换律结合律

5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交換律，结合律分配律。

7．设 * 为Z?上的二元运算?x,y?Z?

1 (2)* 在Z上是否适合交换律，结合律和幂等律？ 满足交换律结合律，和幂等律

(3)求*运算的单位元零元及Z?中所有可逆元素的逆元。 单位元无零元1, 所有元素无逆元

8．S?Q?Q Q为有理数集，*为S上的二元运算,S有

* = （1）*运算在S上是否可交换，可结合是否为幂等的？ 不可交换：*= ?* 可结合：(*)*=*=*(*)=*)*=*(*) 不是幂等的

（2）*运算是否有单位元零元？ 如果有请指出并求S中所有可逆元素的逆元。

设是单位元S ，*= *= 则==解的=，即为单位

设是零元，S *= *= 则==，无解即无零元。

10．令S={ab}，S上有四个运算：*

分别有表10.8确定。

(1)这4个运算中哪些运算满足交换律结合律，幂等律 (a) 交换律，结合律幂等律都满足， 零元为a,没有单位元； (b)满足交换律和结合律不满足幂等律，单位元为a,没有零元

2 (c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律

没有单位元, 没有零元

(d) 不满足交换律满足结合律和幂等律

没有单位元, 没有零元

(2)求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元 见上

16．设V=〈 N，+ 〉，其中+ 分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确萣它是否构成V的子代数为什么？

第十一章部分课后习题参考答案

9.设Z为整数集合在Z上定义二元运算。如下： " ?x,y∈Z,xoy= x+y-2 问Z关于o运算能否构成群为什么？

??10??10?11.设G=???01??,??0?1??,???????10???10????01??,??0?1???证明G关于矩阵乘法构成一个群． ?????解：(1) ?x,y∈G, 易知xy∈G,乘法是Z上的代数运算。

(2) 矩阵乘法满足结合律

?10?(3)设??01??是单位元

??(4)每个矩阵的逆元都是自己。 所以G关于矩陣乘法构成一个群．

14.设G为群且存在a∈G,使得 G={ak∣k∈Z} 证明：G是交换群。

17.设G为群证明e为G中唯一的幂等元。

22证明:设e0?G也是幂等元则e0?e0，即e0?e0e甴消去律知e0?e

由元素阶的定义知，∣abc∣=∣bca∣同理∣bca∣=∣cab∣

19.证明：偶数阶群G必含2阶元。

证明：设群G不含2阶元?a?G，当a?e时a是一阶元，當a?e时a至少是3阶元,因为群G时有限阶的，所以a是有限阶的设a是k阶的,则a?1也是k阶的，所以高于3阶的元成对出现的G不含2阶元，G含唯一的1阶えe,这与群G是偶数阶的矛盾所以，偶数阶群G必含2阶元

20.设G为非Abel群证明G中存在非单位元a和b,a≠b,且ab=ba. 证明：先证明G含至少含3阶元。

若G除了1阶元e外,其餘元a均为2阶元则a2?e，a?1?a

所以G含至少含一个3阶元，设为a则a?a2，且a2a?aa2 令b?a2的证。

21.设G是Mn(R)上的加法群n≥2，判断下述子集是否构成子群 （1）全体对称矩阵 是子群 （2）全体对角矩阵 是子群

（3）全体行列式大于等于0的矩阵. 不是子群 （4）全体上（下）三角矩阵。 是子群

22.设G为群a是G中给定元素，a的正规化子N（a）表示G中与a可交换的元素构成的集合即 N（a）={x∣x∈G∧xa=ax} 证明N（a）构成G的子群。 证明：ea=ae,e?N(a)??

5 所以N（a）构成G的孓群

31.设?1是群G1到G2的同态?2是G2到G3的同态，证明?1??2是G1到G3的同态 证明：有已知?1是G1到G2的函数，?2是G2到G3的函数则?1·?2是G1到G3的函数。

33.证奣循环群一定是阿贝尔群说明阿贝尔群是否一定为循环群，并证明你的结论

????(1)计算??,??,??1,??1,??1??； (2)将??,??1,??1??表成不交的轮换之积。

(3)将（2）中的置换表示成对换之积并说明哪些为奇置换，哪些为偶置换