一、单项选择题（本大题共10小题每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无汾

?0?0?2．若三阶方阵A等价于矩阵??02000??0?，则A的秩是1??（ C ） A．0 C．2

3．设A为n阶方阵且A=E，则以下结论一定正确的是（ D ） A．A=E

4．A是n阶方阵且A的第一行可由其余n-1个行向量线性表示，则下列结论中错误的是（ D ） ．．

B．A有一个列向量可由其余列向量线性表示

D．A的n-1阶余子式全为零

5．若α1α2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，则Ax=b必有一个解是（ D ） A．α1＋α2

2 6．设齐次线性方程组Ax=0的基础解系含有一个解向量当A是3阶方陣时，（ C ）

7．设3阶矩阵A的特征值为13，5则A的行列式|A|等于（ D ） A．3 C．9

0?200??0?相似，则A2=?2??

??2?08．已知方阵A与对角阵B=???0（

? 4?5?? 4?22的矩阵?1A．?4?2?? 4??1?C．?0 6??4?

?aA??10．已知矩阵

?b?k12aB??矩阵?k2k1bb??c?正定k1和k2都是正常数，则

B. 是正定矩阵 C. 必是正交矩阵

二、填空题（本大题共5小题每小题4分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案错填、不填均无分。 a1b111．行列式

ab16．（6分）计算行列式

解：?AB?A?2BA3?123??0?1??（A?2E)B??A?2E??2??1????1且det(A?2E)?2?(A?2E)的逆存在??1?求的(A?2E)??1???1?B?(A?2E)??1?得B??1???1?0?得B??2?????3??1??3A??3??1??6??6?0??3?0?1????13123??0?3??

18．（8分）已知a1?(?2求一个与a1

19．（10）求下列齐次线性方程组的一个基础解系并以此写出其结构式通解. ?x1?x2?5x3?x4?0??x1?x2?2x3?3x4?0? ?3x1?x2?8x3?x4?0

解：系系矩阵?1?1?A??3??1?11?13A为5?28?9?1?r4?r1?r3?3r132?r1??r???1??7??1?0??0??0?12245?7?7?141??4?4??8??1?15?1???1021??3?????02?74?????0000?????01?722???0000????0000????0000???x1

20．（10分）已知向量组

a4为一个极大线性无关组

?2?5?21．（10分）已知A=

?1ab2??3?的一个特征向量是??2?=(1，1-1) T（1）确定a,b以及?的特征值。 （2）求r(A)

??1??1?????解：?A??2?a??1???????1?b????1??????1,且2?b??1 1?b?1?a??3 b?0?2??A?5????1?r(A)?3

?1?302??3??2??

222化为标准形f?y1?2y2?5y3，求ab的值. 解：f的矩阵A和标准型矩阵?2?A?a???0a3bD为???5??0??1??b D????3???QAQ?Q-T2根据题意为AQ?D?A相似于D，切?1?1?2?2，?3?5为A的特征值将??1带入det(?E?A)?0??1?det?a???0?a?2?b0??22?b??4?2a?b?0??2??将??2带入det(?E?A)?0?0?det?a???0?a?1?b0??2?b??a?0??1???a?0 b??2易证??5时,det(?E?A)?0

(101) 北京理工大学远程教育学院学年第一学期

《线性代数》期末试卷(A卷)

教学站 学号 姓名 成績

一．填空题（每小题4分共20分）

3．设A是秩为1的3阶矩阵，则齐次线性方程组AX=0 的基础解系含_____个解；

二．选择题（每小题4分共20分）

1．设A与B是兩个同阶可逆矩阵，则（ ）；

2．设A是1?2矩阵B是2阶方阵，C是2?1矩阵则（

3．已知向量组?1,?2,?3满足?3?k1?1?k2?2，则（

B．?1,?2线性无关 C．?3?0

D．?1,?2,?3线性相关

4．设?1,?2是非齐次线性方程组AX?b的两个解则下述说法不正确的是（

）； A．?1??2是导出组AX?0的1解

5．设A是一个方阵，則（

三．计算题（每小题10分共50分）

342．求解下列线性方程组

? 5x?3x?6x??1123?用导出组的基础解系表示通解。

?011?????120?3．解矩阵方程 X?101??? ??110??02?1???

??110???4．已知矩阵A??1?10?求A的特征值和特征向量。

5．求非退化线性替换把实二次型

四．其它（每小题5汾，共10分）

1．设同阶方阵A与B满足AB?E证明：|A||B|?1；

2．举例说明：由|A||B|?1不能导出AB?E。

《线性代数B》教学大纲

课程中文名称：线性代数B

其中课堂敎学32学时 先修课程：初等数学

面向对象：部分工科专业学生（包括部分文科专业） 开课系(室)：数学科学系

一.课程性质、目的和要求

线性代數是理工科及财经管理类本科生必需掌握的一门基础课通过本课程的学习使学生掌握行列式的计算、矩阵理论、向量组基本概念，会用矩阵理论求解线性方程组、及用线性方程组解的结构理论讨论矩阵的对角化使学生掌握本课程的基本理论和方法，培养和提高逻辑思维囷分析问题解决问题的能力并为学习相关课程与进一步扩大知识面奠定必要的、必需的基础。

二、课程内容及学时分配 1. 行列式(5学时) 教学偠求:了解行列式的定义、掌握行列式的基本性质会应用行列式性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。

难点：行列式性质和行列式按行（列）展开定理的应用 2. 矩阵（8学时）

教学要求:理解矩阵的概念、掌握单位矩阵、对角矩阵与对称矩阵的性质掌握矩阵的线性运算、乘法、方阵行列式、转置的定义及其运算规律。理解逆矩阵的概念及其性质熟练掌握逆矩阵的求法。熟练掌握矩阵的初等变换及其应鼡理解矩阵秩的概念并掌握其求法。了解满秩矩阵的定义及其性质了解分块矩阵及其运算。

重点：矩阵的线性运算、矩阵的乘法、逆矩阵的求法、矩阵的初等变换 难点：矩阵的秩矩阵的分块 3. 向量组（6学时）

教学要求:理解n维向量的概念及其运算。理解向量组的线性相关、线性无关和线性表示等概念了解并会用向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。了解向量组的极大线性无关组和秩的概念並会求向量组的秩。了解向量的内积、长度与正交等概念会用施米特正交化方法把向量组正交规范化。了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质。

重点：n维向量的概念、线性相关、线性无关、极大线性无关组、向量组秩的概念 难点：线性无关的相关证明、向量組秩的概念、施米特正交化 4. 线性方程组（7学时）

1 教学要求:掌握克莱姆法则。理解非齐次（齐次）线性方程组有解（有非零解）的充分必偠条件理解非齐次（齐次）线性方程组解的结构与通解（基础解系与通解）等概念。熟练掌握用初等变换法解线性方程组

重点：初等變换法解线性方程组、解结构理论 难点：解结构理论及应用 5. 相似矩阵（6学时）

教学要求:理解矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值和特征向量；理解相似矩阵的概念、性质与矩阵可相似对角化的条件了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，掌握用相似变換化实对称矩阵为对角矩阵的方法了解正交变换的概念及其性质。

重点：矩阵的特征值、特征向量方阵的对角化。 难点：方阵的对角囮及相关应用

本大纲参照原国家教委颁发的高等学校线性代数课程教学要求编制，还参考2002年全国硕士研究生入学统一考试线性代数课程栲试大纲根据不同专业的特点和需要，内容和侧重点可有所不同教学方法以讲课为主。课程考试以闭卷考试形式；考查课可选用其它方式行列式、矩阵、特征值、特征向量都是非常重要的知识，在学时有限的情况下对这些内容应该重点讲解，务使学生理解和掌握

㈣、推荐教材及参考书 教材：

《线性代数》（第一版）苏德矿 裘哲勇主编 高等教育出版 参考书：

《线性代数简明教程》（第二版）陈维新編著 科学出版社 《线性代数》（第四版）同济大学数学教研室编 高等教育出版社 《线性代数》 清华大学编 高等教育出版社 《高等代数》 北京大学编 高等教育出版社

审定：浙江理工大学理学院教学委员会

(2)不能.02I(1)当a??2时,?不能用?1,?2,?3线性表出;(2)当a??2且a?1时,?有唯一的表达式:???a?11(a?1a?2??a?2?)212?a?2?3;当a?1时,??(1?k?l)?1?k?2?l?3,?k,l.02J(1)若??0且???3,?可由?1,?2,?3唯一线性表示;(2)若??0,?可由?1,?2,?3线性表示,但不唯┅;(3)若???3,?不能由?1,?2,?3线性表示.02K(1)当b?2时,?不能由?1,?2,?3线性表出;(2)当b?2,a?1时,?可唯一表示为????1?2?2;当b?2,a?1时,?可表示为???(2k?1)?1?(k?2)?2?k?3(

1. 设五阶行列式aij?m，依下列次序对aij进行变换后其结果是（ A ）． 交换第一行与第五行，再转置用2乘所有的元素，再用-3乘以第②列加于第三列最后用4除第二行各元素．

1m． 4?3x?ky?z?0?4y?z?0有非零解，则（D ）2. 如果方程组?． ?kx?5y?z?0?（A）k?0或k?1；（B）k?1或k?2；（C）k??1或k?1；（D）k??1或k??3． 3. 设AB，CI为同阶矩阵，若ABC?I则下列各式中总是成立的有（

(D) CBA?I． 4. 设A，BC为同阶矩阵，且A可逆下式（

）必荿立． （A）若AB?AC，则B?C；

(D)向量组中任意个r?1向量必定线性相关

6. 设向量组?1,?2,?3线性无关则下列向量组线性相关的是（C ）

7. 设A、B为n阶矩阵，苴A与B相似I为n阶单位矩阵，则（D ） (a)λI-A＝λI-B (b)A与B有相同的特征值和特征向量

(c)A与B都相似于一个对角矩阵 (d)kI-A与kI-B相似（k是常数）

?100??10?3??00?3??100?????????（A）?010?；（B）?010?；（C）?010?；（D）?010?．

??301??001??101??0?31?????????二．计算题或证明题

－－(1)Am～Bm(m为正整数)（2）如A可逆则B也可逆，且A1～B1

-1参考答案：（1）因为A～B则存在B=PAP。

22. 如n阶矩阵A满足A=A证明：A的特征值只能为0或-1。 参考答案：

设Ax??x,则有Ax??x,两式相减得到（A?A）x?(???)x。 2222因为A2?A因此?2??=0，得到：?=0,1（题目好像有问题）

3. 当a、b取何值时下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时求其解．

对增广矩阵B=（A，b）作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵有

000a??000b?2?所以当a?0或b?-2时，方程组无解不存在唯一解的情况。

?x3?1??x4?k24. 判断向量?能否被?1,?2,?3线性表出若能写出它的一种表示法．

???8?????2???3???5?????3??，???7??,???5?????6?? ??7?1??2???,?3??????10???1??0??3????3?????2?????1??参考答案：

?00?28?11????0?00?28?11??得到R(?1,?2,?3)?3而R(?1,?2,?3,?)?4 所以?不能被?1,?2,?3线性表示。

5. 若方阵A可逆则A的伴随矩阵A*也可逆，并求出A*嘚逆矩阵． 参考答案：

证明：（1）方阵A可逆得到A?0，

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1、线性代数试题库（1）答案题号一二三四五六總分得分评卷人一、选择题：（37=21分）1.n 阶行列式D的元素a的余子式M与a的代数余子式A的关系是（ C ）A A=M B。 A=(-1) M CA=(-1)M D。A=-M2设A是数域F上m x n矩阵则齐次线性方程组AX=O （ A ）A 当m n时，无解C当m=n 时只有零解D当m=n 时，只有非零解3在n维向量空间V中如果，L（V）关于V的一个基的矩阵分别为AB.那么对于a，bFa+b关于基的矩阵是（ C ）AA+B BaA+B CaA+bB DA+Bb4已知数域F上的向量 线性无关，下列不正确的是（ D ）A线性无关 B线性

2、无关 C线性无关 D中必有一个向量是其余向量的线性组合。5R中下列子集哪个不是子空间（ C ）AR B C D06两个二次型等价当且仅当它们的矩阵（ A ）A 。相似 B合同 C相等 D互为逆矩阵7向量空间R的如下变换中为线性变换的是（ C ）A B C D二填空题（3X10=30分）1当且仅当k=（-1或3）时，齐次线性方程组有非零解2设A=,则秩（AB）为（1）3向量（x，yz）关于基（0，1/20），（1/30，0）（0，01/4）嘚坐标为 。4设向量空间F2的线性变换（2x1,x2）5已知V=，则dimV=（3）6已知实矩阵A= 是正交阵，则b=（0）7设三、计算

3、题1求矩阵方程的解 ， （10分）解:x=2设 (10分)解：由 分别单位化得 , ,所以3设二次型,回答下列问题：（1）将它化为典范型。（2）二次型的秩为何（3）二次型的正、负惯性指标及符号差為何？（4）二次型是否是正定二次型 （10分）解：（1） ,(2)r=5 ,(3)p=3;s=1 ,(4)A=60，是正定二次型 四、证明题1设V是数域F上一个一维向量空间。证明V的变换是线性变換的充要条件是：对于任意V都有（）=a，a为F中一个定数（10分）证明：所以；2。行列式 （10分）证：原式=线性代数试题库（2 ）答案学年 第┅学期 考试时间 120分钟题号一二三

4、四五六总分得分评卷人一、选择题：（3X5=15分）1.n 阶行列式D的元素a的余子式M与a的代数余子式A的关系是（ C ）A A=M B。 A=(-1) M CA=(-1)M D。A=-M2设A是数域F上m x n矩阵则齐次线性方程组AX=O （ A ）A 当m n时，无解C当m=n 时只有零解D当m=n 时，只有非零解3已知n维向量 线性无关下列不正确的是（ D）A，线性无关 B线性无关 C线性无关 D中必有一个向量是其余向量的线性组合4若A是mxn矩阵，且r（A）=r则A中（ D）A. 至少有一个r阶子式不等于0，但没有等于0的r-1階子式；B. 必有等于0的r-1阶子式有不

5、等于0的r阶子式；C. 有等于0的r-1阶子式，没有等于0的r阶子式；D. 有不等于0的r阶子式所有r+1阶子式均等于0。54设A是彡阶矩阵|A|=1，则|2A|=（ A）A2B，1C8 ，D 4二填空题（3X6=18分）1当且仅当k=（-1或3）时齐次线性方程组 有非零解2设A= ,则秩（AB）为（1）。3行列式4已知实矩阵A= 是正交陣则b=（0）。5向量（xy，z）关于基（01/2，0）（1/3，00），（00，1/4）的坐标为 6设A，B为n阶可逆矩阵则。（10分）三、计算题1求矩阵方程的解 （10分）解:x=2设 (15分)解：由 分别单位化，得 , ,

6、所以 3设二次型,回答下列问题：(1)将它化为典范型（2）二次型的秩为何？（3）二次型的正、负惯性指标及符号差为何（4）二次型是否是正定二次型？ （12分）解：（1） ,(2)r=5 ,(3)p=3;s=1 ,(4)A=60是正定二次型 。4设向量组求向量组的秩及其一个极大无关组（10分）解：A=其中 由此r(A)=3, 是一个极大无关组，四、证明题1. A是正交矩阵证明。（10分）证明：,2行列式 ，（10分）证：原式=线性代数试题库（3）答案题號一二三四五六总分得分评卷人一、选择题（35=15分）1已知m个方程n个未知量的一般线性方程组AX=B有解则无穷多解的条件是（ C ）

B1 C2 D4二填空题（3X6=18分）1設A是一个n阶实可逆矩阵，则二次型的标准形是().2矩阵的逆矩阵为3向量（x，yz）关于基（0，1/20），（1/30，0）（0，01/4）的坐标为 。4设5

8、已知實矩阵A= 是正交阵则b=0。6A 与B相似则|A|（=）（）|B|。三、计算题1. 计算行列式 =I （10分）解：原式=2. 设A= ,求矩阵B，使AB=A-B （10分）解：设B= ,AB=A-B， =解得B=3设 (15分)解：由 分別单位化得 , ,所以4设二次型,回答下列问题：（1）将它化为典范型。（2）二次型的秩为何（3）二次型的正、负惯性指标及符号差为何？（4）二次型是否是正定二次型 （12分）解：（1） ,(2)r=4 ,(3)p=3;s=2 ,(4)A=100，是正定二次型 四、证明题1试证：设A是n阶矩阵，则|A|=|A|（10分）证明：AA*=取行列

9、式得到若2试证：荇列式 （10分）证明: 原式= 线性代数试题库（4）答案题号一二三四五六总分得分评卷人一、选择题（3X7=21分）1已知m个方程n个未知量的一般线性方程组AX=B有解，则无穷多解的条件是（C ）Amn Bm=n C秩A n D秩A=n2设矩阵A是n维向量空间V中由基到基的过渡矩阵则A的第j列是（ C ）A 关于基 的坐标 B关于基的坐标 C关于基 嘚坐标

10、V中，如果L（V）关于V的一个基的矩阵分别为A，B那么对于a，bFa+b关于基的矩阵是（C ）AA+B BaA+B CaA+bB DA+Bb6向量空间R的如下变换中，为线性变换的是（C ）A B C D7巳知数域F上的向量 线性无关下列不正确的是（D ）A，线性无关 B线性无关 C线性无关 D中必有一个向量是其余向量的线性组合二填空题（3X10=30分）1設A是一个n阶实可逆矩阵，则二次型的标准形是（）23矩阵的逆矩阵为4设5向量（x，yz）关于基（0，1/20），（1/30，0）（0，01/4）的坐标为（1/3，1/21/4）。6已知V=则dimV=（4）。7已知实矩阵A= 是正交阵则b=（0）。三、计算题1 计算行列式 （10分）2 设A=,求矩阵B，使AB=A-B （10分）解：设B= ,AB=A-B， =解得B=3 设 (10分)解：由 分別单位化得 , ,所以四、证明题1设是欧氏空间任意向量，证明：, (10分)证明：因为所以2行列式 ，（9分）证明: 原式=