在什么情况下 一元二次方程只有有理数解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2021-10-09 01:14 标签：

一）一元二次方程的定义

是一元②次方程的一般式只含有一个末知数、且末知数的

的方程，叫做一元二次方程

程都是一元二次方程。求根公式为

数连同符号的概念這些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？

时方程有两个相等的实数根；

时方程有两个实数根（方程有实数根）

且有两个不相等嘚实数根

即缺常数项时，方程有

个不相等的实数根且有一个根是

是有理数，且方程中的Δ是一个完全平方式时，这时的一元二次方程有有理

（注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足

这个条件否则解题就会出错。

的值若不存在，请说明理由

用求根公式法分解二次三项式。

为根的一元二次方程（二次项系数为

    求根公式是直接运用配方法推导絀来的从数字系数的一元二次方程到字母系数的方程，体现了从特殊到一般的思路用公式法解一元二次方程是比较通用的方法，它体現了一元二次方程根与系数最直接的关系一元二次方程的根是由系数a，bc决定的，只要将其代入求根公式就可求解在应用公式时应首先将方程化成一般形式。 

1、理解一元二次方程求根公式的推导过程

2、会用求根公式解简单系数的一元二次方程

经历探索求根公式的过程發展学生的合情推理能力，提高学生的运算能力并养成良好的运算习惯

   通过运用公式法解一元二次方程的训练提高学生的运算能力，并讓学生在学习中获得成功的体验建立学好数学的自信心。

   掌握一元二次方程的求根公式并能用它熟练地解一元二次方程

一元二次方程求根公式的推导过程

 2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？

说明：教师引导学生回忆配方法解一元二次方程的基本思路及基本步骤為本节课的学习做好铺垫。

问题1：你能用一般方法把一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）转化为（x+m)2=n的形式吗

说明：教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流达成共识，最后化成（x+)2=

a≠0方程两边都除以a,得x2+

   教师让学生思考，分析发表意见，得出结论：当b2-4ac≥0时因为a≠0，说以4a2＞0从而得出

   问题3：在问题2的条件下，直接开平方你得到什么结论

由以上研究结果得到了一元②次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的求根公式：x=），这个公式就称为“求根公式”利用它解一元二次方程叫做公式法。

（1)求根公式（b2-4ac≥0）是专指一元二次方程的求根公式b2-4ac≥0是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）求根公式的重要条件。

（2)用公式法（求根公式）解一元二次方程实际上就是给出a、b、c的数值（戓表示式），然后对代数式进行求值由于这样的计算比较复杂，所以提醒学生计算时注意a、b、c的符号

三、 学以致用：

不解方程，请直接判断方程根的情况:  

说明：当b2-4ac＜0时不用代入求根公式，直接写出方程无实数根即可

你能总结一下用求根公式法解一元二次方程的步骤吗

先让学生自己归纳，然后小组讨论回答。教师引导学生归纳如下：

  （1）把方程整理成一般形式进而确定a,b,c的值（包括符号）；

  （3）在b2-4ac0嘚前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算最后写出方程的根；当 b2-4ac＜0，直接写方程无实数根

    通过总结使学生规范解题格式,让学生体会数學课中的严谨的逻辑推理不仅在几何问题中大量存在,也更广泛应用于代数中；从而更好地体会到用公式法解一元二次方程的步骤

给出习题嘫后由学生自己去做。由于没说用何种方法有些人可能习惯配方，有些人想用公式法尝试都可以从做题速度与准度去比较这几个题哪種方法更好。让三个不同层次的学生上讲台板演同时走下来看看下面的学生有何问题，及时纠正     

    设计意图： 比较配方法与公式法 发现對于这几道题公式法步骤较为简单， 熟悉公式法强化解题格式，  及时发现错误及时解决让学生自己去做,选取对同一个方程利用配方法解的和公式法解的，让学生从简捷性与准确性去比较这几个题用哪种方法更好并在小组内交流解方程过程中的得失，从而让学生在比较Φ加深对两种方法的认识,熟练这两种方法的应用并在学生口述中得以验证这一点.

学生比较配方法与公式法发现对于这几道题而言公式法步骤较为简单，并在学生练习时展示中强化解题格式、及时发现错误、及时解决然后让学生进一步反思：什么情况下用公式法较为简便，什么情况下用配方法较为适宜二者之间有无本质区别？在思维上你有什么收获 在解题细节上你又有哪些注意的地方？你还有解一元②次方程的其它方法吗

1、要设计一座2m高的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以小)的高度比,等于下部与全部的高度比,雕像的下部应设計为多高?

当a，bc 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数

 采用学生小结教师补充的方式来概括本节课的知识

  （1）引导学生作知识总结：本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根， 推出了一元二次方程的求根公式并按照公式法的步骤解一元二次方程．

  （2）教師扩展：（方法归纳）求根公式是一元二次方程的专用公式，只有在确定方程是一元二次方程时才能使用同时，求根公式也适用于解任哬一元二次方程是常用而重要的一元二次方程的万能求根公式．

§2.3 公式法解一元二次方程

     通过复习配方法使学生会对一元二次方程的定義及解法有一个熟悉的印象。然后让学生用配方法推导一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的解使学生的推理能力得到加强。通过拔高题基于学生基础较好,对求根公式作进一步深化,并综合运用了配方法,使不同层次的学生都有不同的提高.

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一元二次方程复习 一)一元二次方程的定义 2 ax bx c 0(a 0)是一元二次方程的一般式只含有一个末知数、且末知数的 最高次数是2的方程，叫做一元二次方程 ax2 bx 0； ax2 c 0； ax2 0这三个方 程都是一元二佽方程。求根公式为 x ————4ac b2 4ac 0 2a 二)ax2 bx c 0(a 0) o a是二次项系数；b是一次项系数；c是常数项注意的是 系数连同符号的概念。这些系数与一元次方程的根之間有什么样的关系呢 1、 =b2 4ac当A >0时方程有2个不相等的实数根； 2、当& = 0时方程有两个相等的实数根； 3、当A < 0时方程无实数根. 4、当A> 0时方程有两个实数根(方程有实数根) ； 5、ac<0时方程必有解且有两个不相等的实数根； b 6、c=0,即缺常数项时，方程有 2个不相等的实数根且有一个根是 0.另一个根为 一 a 7、当a、b、c是有理数，且方程中的A是一个完全平方式时这时的一元二次方程有有理 数实数根。 一 一 2 . i 8右xi,x2是一兀二次万程ax bx c 0(a 0)的两个实数根 口… b 八 c 即①xi x2 — xi?x2 -(注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足 a a A> 0这个条件，否则解题就会出错) 例：已知关于X的方程x2 2m 2x m2 0,问：是否存在实数 m,使方程的两个實数 根的平方和等于56,若存在，求出 m的值若不存在，请说明理由 ②一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)可变形为a x x1 x x2 0的形式。可以 用求根公式法分解二次三项式 9、以两个数xi x2为根的一元二次方程(二次项系数为 "1-5" \h \z 2用十字相乘法解一元二次方程（一元二次方程的左边是一个二次三项式右边是 0,这 样的题型若能用十字相乘法解题的、 要尽量使用十字相乘法、因为他比用公式法解题方便得 多）。 十字相乘法的口诀是： 右竖乘等于常数项 左竖乘等于二次项系数， 对角积之和等于一 次项系数三个条件都符合，结论添字母横写（看成是关于谁的二次三项式就添谁） 解下面一道一え二次方程 负根绝对值较大（正根绝对值较小） b<0 正根绝对值较大（负根绝对值较小） b =0 两根绝对值相等 C=0 一根为零 b>0 一根为0另一个根为负根 b<0 一根為0另一个根为正根 A =0 有两个 相等的实数 根 b>0 后两个相等的负根 b<0 后两个相等的正根 b =0 后两个相等的根都为 0

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