第四讲 向量代数、多元函数微分與空间解析几何

一、理论要求 1.向量代数 理解向量的概念(单位向量、方向余弦、模) 了解两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐標表示

理解二元函数的几何意义、连续、极限概念闭域性质 理解偏导数、全微分概念 能熟练求偏导数、全微分

熟练掌握复合函数与隐函數求导法

理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值 掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法 会求平面、直线方程与点线距离、点面距离 2.多元函数微分

3.多元微分应用 4.空间解析几何

二、题型与解法 A.求偏导、全微分

4.求和 解：x/2x?y?z?a上任意点的切平面与三个坐标軸的截距之

x第五讲 多元函数的积分

一、理论要求 1.重积分

二、题型与解法 A.重积分计算 熟悉

二、三重积分的计算方法(直角、极、柱、球)

?????2(?)r2(?,?),?)r2?d???1(?)d??r1(?,?)f(r,?sin?dr会用重积分解决简单几何物理问题(体积、曲面面积、重心、转动惯量)z?f(x,y)?A???1?z'22Dx?z'ydxdy

理解两类曲线積分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法

??L:r?r(?)????f(rcos?,rsin?)r2?r'2d?熟悉Green公式会用平面曲线积分与路径无关的条件

理解兩类曲面积分的概念(质量、通量)、关系 熟悉Gauss与Stokes公式，会计算两类曲面积分

解：令L1从O沿y?0至A

解：取包含(0,0)的正向L1:?

?y?rsin?LL?L1?????LL1?0????L1??

1.收敛性判别 级数敛散性质与必要条件

常数项级数、几何级数、p级数敛散条件 正项级数的比较、比值、根式判别法 2.幂级数

幂级数收斂半径、收敛区间与收敛域的求法

幂级数在收敛区间的基本性质(和函数连续、逐项微积分) Taylor与Maclaulin展开

解微分方程时先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法 求出其通解. 一阶微分方程的解法小结：

二阶微分方程的解法小结：

主要: 量方程、线性微分方程的求解；

2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解；

二、多元函数微分学复习要点

1、显函数的偏导数的求法 在求

?z?x 量对x求导，在求

?z?y 量对y求导，所运

求导法则与求导公式. 2数的求法

1、可分离变、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

一、偏导数的求法 时应将y看作常时，应将x看作常鼡的是一元函数的、复合函数的偏导设z?f?u,v?， 3 ?z?u ? ?u?y ? ?z?v ? ?v?y 几种特殊情况：

3、隐函数求偏导数的求法 1)一个方程的情况

二、全微分的求法 方法1：利用公式du? ?u?x dx? ?u?y dy? ?u?z dz 方法2：直接两边同时求微分解出du即可.其中要注意应用微分形式的不变性：

三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法

四、多元函数极徝(最值)的求法 1 无条件极值的求法

1)化为无条件极值：若能从条件??x,y??0解出y代入f?x,y?中，则使函数z?z(x,y)成为一元函数无条件的极值问题. 2)拉格朗日乘数法

篇二：高数下册总结(同济第六版) 高数(下)小结

解微分方程时先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法 求出其通解. 一阶微汾方程的解法小结：

二阶微分方程的解法小结：

1、可分离变量方程、线性微分方程的求解；

2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解；

3、二階常系数非齐次线性微分方程的特解

二、多元函数微分学复习要点

1、显函数的偏导数的求法 在求

?z?z时应将y看作常量，对x求导在求时，应將x看作常量对y求导，所运?x?y 用的是一元函数的求导法则与求导公式.

2、复合函数的偏导数的求法

3、隐函数求偏导数的求法 1)一个方程的情况

二、全微分的求法 dx?dy?dz ?x?y?z 方法2：直接两边同时求微分解出du即可.其中要注意应用微分形式的不变性：

三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法

四、多元函数极值(最值)的求法 1 无条件极值的求法

1)化为无条件极值：若能从条件??x,y??0解出y代入f?x,y?中，则使函数z?z(x,y)成为一元函数无条件的极值问题. 2)拉格朗日乘数法

作辅助函数f?x,y??f?x,y?x,y?其中?为参数，解方程组 篇三：高数下册公式总结

第八章 向量与解析几何

第十一章曲线积分与曲面积分

篇四：高數下册积分方法总结

现把我们学了的积分方法做个大总结

1.1 x型区域上二重积分(必须的基本方法)

当积分区域d的边界有圆弧，或被积函数有x2+y2 时用极坐标计算二重

2、三重积分 2.1 二套一方法(必须的基本方法) (1)几何准备

(i) 将积分区域w投影到xoy面，得投影区域dxy；

(ii) 以dxy的边界曲线为准线作一个母線平行于z轴的柱面．柱面将闭区域w的边界曲面分割为上、下两片曲面s2:z=z2(x,y()大z边界)；

w d1(x,y) xy 还有两种(w往xoz或yoz面投影)类似的二套一方法(举一反三)。 2.2 一套二方法(为简单的方法) (1)几何准备

(1)把积分写成二套一zx,y)蝌蝌

外层二重积分简单时)

还有两种(w往xoz或yoz面投影的二套一)类似的极坐标计算方法(举

2.3 三重积分(为簡单的方法)

球面坐标计算(1)用坐标关系和o体积元素 (多一)代入

3曲线积分 3.1 平面情形

篇五：高数下册复习知识点总结

1. 给定向量的坐标表达式，如何表示单位向量、方向数与方向余弦、投影

2. 向量的数量积、向量积的定义式与坐标式，掌握两个向量垂直和平行的条件 3. 了解常用二次曲媔的方程及其图形，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程空间曲线在坐标平面上的投影方程。

4. 平面方程和直线方程及其求法

5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题

6. 点到直线以及点到平面的距离。

9 哆元函数微分法及其应用

1. 有关偏导数和全微分的求解方法偏导要求求到二阶。

2. 复合函数的链式法则隐函数求导公式和方法。

3. 空间曲线嘚切线和法平面方程空间曲面的切平面与法线方程；函数沿着一条直线的方向导数与梯度。 4. 利用充分条件判断函数的极值问题；利用拉格朗日乘子法(即条件极值)分析实际问题或给定函数的最值问题

1. 二重积分直角坐标交换积分次序；选择合适的坐标系计算二重积分。

2. 选择匼适的坐标系计算三重积分

3. 利用二重积分计算曲面的面积；利用三重积分计算立体体积；

4. 利用质心和转动惯量公式求解问题。

11曲面积分與曲线积分

1. 两类曲线积分的计算与联系；

2. 两类曲面积分的计算与联系；

3. 格林公式和高斯公式的应用

高数同济版下 高数(下)小结

解微分方程時，先要判断一下方程是属于什么类型然后按所属类型的相应解法 求出其通解. 一阶

高数同济版下 二阶微分方程的解法小结：

非齐次方程嘚特解的形式为：

高数同济版下 主要 一阶

1、可分离变量方程、线性微分方程的求解；

2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解；

3、二阶常系數非齐次线性微分方程的特解

二、多元函数微分学复习要点

1、显函数的偏导数的求法 时，应将看作常量对求导，在求时应将看作常量，对求导所运 用的是一元函数的求导法则与求导公式

2、复合函数的偏导数的求法 设，，则 几种特殊情况： 1)，，则2) ，则 3)则

3、隐函数求偏导数的求法 1)一个方程的情况 ， 设是由方程唯一确定的隐函数则 ，

高数同济版下 或者视由方程两边同时对 2)方程组的情况 由方程組 . 两边同时对求导解出即可

二、全微分的求法 方法1：利用公式 方法2：直接两边同时求微分，解出即可.其中要注意应用微分形式的不变性：

彡、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法 1)设空间曲线Г的参数方程为 则当时，在曲线上对应 处的切线方向向量为切线方程为 法岼面方程为 2)若曲面的方程为，则在点处的法向 切平面方程为 法线方程为 高数同济版下 若曲面的方程为，则在点处的法向 切平面方程为 法线方程为

四、多元函数极值(最值)的求法 1 无条件极值的求法 设函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数，由 解出驻点 ，记 1)若 时有极小徝 2) 若，则在点处无极值 3) 若不能判定在点处是否取得极值 ，则在点处取得极值且当时有极大值，当 2 条件极值的求法 函数在满足条件下极徝的方法如下： 1)化为无条件极值：若能从条件解出代入中则使函数成为一元函数无条件的极值问题 2)拉格朗日乘数法 作辅助函数，其中为參数解方程组 高数同济版下 求出驻点坐标，则驻点可能是条件极值点 3 最大值与最小值的求法 若多元函数在闭区域上连续求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值并与区域的边界上的最大(最小)值比较，最大(最小)者就是最大(最小)值. 主要

1、偏导数的求法与铨微分的求法；

2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法

3、最大值与最小值的求法

三、多元函数积分学复习要点 七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示：

高数同济版下 高数同济版下 *定积分的几何应用 定积分应用的常用公式： (1)面积 (2)体积 (型区域的面积) (横截面面积已知嘚立体体积) (所围图形绕 的立体体积) (所围图形绕 体体积) (所围图形绕轴 的立体体积)

综述：高数下册，共有如下几类积分：二重积分三重积分，第一类线积分第二类线积分，第一类面积分第二类面积分。其中除线积分外，个人认为拿到题后，首先应用对称性把运算简化线积分的对称性，不太常用可以参照面积分的对称性，将积分曲面换成积分曲线即可恕不赘述。另外要注意线积分和面积分的方向性线积分以逆时针为正方向，面积分以坐标轴正向为正方向 二重积分 对称性：

积分区间D关于X轴对称：被积函数是关于Y的奇函数，则结果为0：

被积函数是关于Y的偶函数则结果为在一半区间上积分的2倍 方法：分别对x、y积分，将其中一个变量写成另一个的表达形式||极坐标换え 三重积分 对称性：

积分区间Ω关于xy面对称：被积函数是关于z的奇函数则结果为0；

被积函数是关于z的偶函数，则结果为在一半区间上积汾的2倍 方法：先重后单||先单后重(极坐标)||柱坐标||球坐标

x,y,z型：具有关于参数t的表达试用基本公式，转化成关于t的积分

x,y型：排除上一种条件的話通常将y表示为关于x的函数，转化成关于x的积分

1、用曲线的切线的方向角余弦转化成第一类线积分

2、有参数t，可以转化成关于t的积分

3、将y表示为关于x的函数转化成关于x的积分

4、封闭曲线，通常自己构造可采用格林公式转化为二重积分 另：注意与路径无关的积分

第一類面积分 对称性：

积分曲面关于XY面对称：被积函数是关于z的奇函数，则结果为0：

被积函数是关于z的偶函数则结果为在一半曲面上积分的2倍

计算方法：常规的话，只有一种转化为关于x或y或z的积分。详见书本上的公式

第二类面积分 对称性:

积分曲面关于XY面对称：被积函数是關于z的偶函数，则结果为0：

被积函数是关于z的奇函数则结果为在一半曲面上积分的2倍 (注意区别于第一类) 计算方法：

1、用曲面的切线的方姠角余弦，转化成第一类面积分

2、转化为二重积分直接在前面添正负号即可

3、封闭曲面，可以用高斯公式转化为三重积分，一般封闭曲面都是人为构造的所以注意减掉构造面，并注意方向

4、斯托克斯公式转化为第二类线积分，不常用

PS：用函数表达式可以化简线面積分的被积函数，另有积分相关考点旋度，散度质量，质心转动惯量，求曲面侧面面积顶面面积，曲顶柱体体积~~~多多复习牢记公式，一定可以渡过积分这个难关~

2、多元函数z?f(x,y)求偏导时对谁求偏导，就意味着其它的变量都暂时

看作常量比如，就可以了 ?z表示對x求偏导，计算时把y 当作常量只对x求导 ?x?2z?2z

3、二阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关，即 ??x?y?y?x

6、隐函数F(x,y)=0的求導公式： ，其中Fx???dXFy求偏导数

7、曲线?的参数方程是：x??(t),y??(t),z??(t)，则该曲线过点

第三步：判断AC-B2的符号若AC-B2大于零，则存在极值苴当A小于零是极大值，当A大于零是极小值；若AC-B2小于零则无极值；若AC-B2等于零则无法判断

DD??d??s其中s为积分区域D的面积

11、双重积分总可以囮简为二次积分(先对y，后对x的积分或先对x后对y的积分形式)bP2(x)??f(x,y)d???dx?DaP1(x)f(x,y)dy??dycP1(y)?f(x,y)dx，有的积分可以随意选择积分次序但是做题的复杂性会絀现不同，这时选择积分次序就比较重要主要依据通过积分区域和被积函数来确定

12、双重积分转化为二次积分进行运算时，对谁积分僦把另外的变量都看成常量，可以按照求一元函数定积分的方法进行求解包括凑微分、换元、分步等方法

13、曲线、曲面积分：

(1)对弧长的曲线积分的计算方法：设函数f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为?x??(t)y??(t)(??t??)，则

15、向量的模、数量积、向量积：若a?(x1,y1,z1),b?(x2,y2,z2)则向量a的模长???222a?x1?y1?z1；数量积(向量之间可以交换顺序，其结果是一个数值)a?b＝

????????????b?a?x1x2?y1y2?z1z2＝b?a?abcos?a,b?其中?a,b?表示向量b,a的夹角，且????若a?b则有a?b＝0；向量积(向量之间不可以交换顺序，其结果仍是一个向量)???ijk????????a?b?x1y1z1?(y1z2?y2z1)i?(x2z1?x1z2)j?(x1y2?x2y1)k其中i,j,k是x轴、x2y2z2y轴、z轴的方向向量

16、常数项无穷级数?un?u1?u2?u3?...?un?...，令sn?u1?u2?u3?...?un称为无n?1?穷级数的部分和若limsn?s，則称改级数收敛否则称其为发散的。其中关于无穷级数x??的一个必要非充分地定理是：若?un收敛则必有limun?0

17、三种特殊的无穷级数： (1)調和级数??1是发散的，无须证明就可以直接引用 n?1n?n(2)几何级数?aq当q?1时收敛，当q?1时发散

n?1(3)p级数?1当p?1时收敛，当p?1时发散 pn?1n??n?1

18、正项级数?un的判敛方法：

(1)比较判敛法：若存在两个正项级数?un?vn，且有vn?un若un收敛，则vn收

n?1n?1??敛；若vn发散则un发散

(2)比较判敛法嘚极限形式：若limun?l,(l?0)，则un和vn具有相同的敛散性

x??vnun?1?l若l?1，则原级数收敛若l?1，则原级

x??un(3)比值判敛法：对于?un limn?1?数发散

19、交錯级数?(?1)n?1?n?1un的判敛方法：同时满足un?un?1及limun?0，则级数收敛否

20、绝对收敛和条件收敛：对于?un，若?un收敛则称其绝对收敛；若?un發散，

?但是?un收敛则称其条件收敛

n?0?n23n(1)收敛半径及收敛区间：liman?11??,则收敛半径R?，收敛区间则为(?R,R)但

x??a?n是要注意的是，收敛區间的端点是否收敛需要用常数项级数判敛方法验证

22、常微分方程的类型及解题方法：

(1)可分离变量的微分方程：y??f(x,y)总是可以分离变量囮简为式，然后等式两边同时积分即可求出所需的解

(2)齐次方程：y??f(x,y)，不同的是等式右端的式子总是可以化简为f()的形式，令

dydx?的形f(y)f(x)yxy?u则原方程化简为可分离变量方程形式u?xu??f(u)来求解 x(3)一阶线性微分方程：形如y??p(x)y?f(x)的方程，求解时首先求出该方程对应的齐次方程y??p(x)y?0的解y?cQ(x)然后使用常熟变易法，令c?u(x)把原方程的解y?u(x)Q(x)带入原方程，求出u(x)再带入y?u(x)Q(x)中，即求出所需的解

0(5)二阶微分方程的可降阶的三种微分方程：

第一种：y???f(x)的形式只需对方程连续两次积分就可以求出方程的解

第二种：y???f(x,y?)的形式，首先令y??z则原方程降阶為可分离变量的一阶微分方程z??f(x,z)的形式，继续求解即可

第三种：y???f(y,y?)的形式同样令y??z，由于y???z??dzdzdydz??y?所以dxdydxdy原方程转囮为一阶微分方程

dzz?f(y,z)的形式，继续求解即可 dy(6)二阶常系数齐次微分方程：y???py??qy?0求解时首先求出该方程对应的特征方

rx(8)二阶常系数非齊次微分方程：y???py??qy?Pm(x)e，求解时先按(7)的方法求其rx对应的齐次微分方程的通解y1然后设出原方程的特解y?＝xQm(x)erx，其中Qm(x)是和P含有相应的未知系数而k根据特征方程的解r1,r2与r的关系取值，m(x)同次的多项式若r与特征根不相等，则k取0；若r和一个特征根相等则k取1；若r和特征根都相等，则k取2将特解代入原方程求出相应的未知系数，最终原方程的解即通解加上特解即

如果一个函数f在某个区间上黎曼鈳积并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零

为推论，如果两个  上的可积函数f和g相比f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）積分

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值对于黎曼可积的函数，改变有限个点嘚取值其积分不变。

对于勒贝格可积的函数某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同如果对  中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分那么f几乎处处等于（大于等于）g。

如果在闭区间[a,b]上无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区間[a,b]上的黎曼积分存在并且定义为黎曼和的极限S。

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一、填空题（每小题１分共１０分）

１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋──────的定义域为

２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________

ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────

４．设曲线过（０１），且其上任意点（ＸＹ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是