总 策 划：王国平 数学
谢宝营 七建東 李从芬 马一平
杨树海 刘迎春 张建刚 冯进国
何忠勋 高建坡 齐永利 杨富麦
方福印 郝新武 闫 军 耿立桥
孟繁彪 张秀帅 齐建文 刘景桥
马 健 李艳华 杨曉辉 刘瑞芳
孙金霞 肖学勇 金延胜 李 健
吴艾青 王学峰 岳立宁 张建超
一、河北省中考数学试题研究 Ⅰ
二、河北省中考数学试题常见失分点梳理 Ⅱ
三、浅谈数学学科核心素养 Ⅲ
四、2021 年河北省中考数学试卷分析 Ⅳ
五、河北省中考数学常用公式与性质 Ⅵ
第一部分 教材知识梳理
第一节 实數的有关概念及运算（必考3~6 道，6~23 分） 1 精练本 219
专题集训一 实数运算及其应用 精练本 227
专题集训二 代数式运算及其应用 精练本 229
第一章综合达标檢测 精练本 231
第二章 方程（组）与不等式（组）
第一节 一元一次方程与二元一次方程组（8 年 7 考1~2 道，2~12 分） 20 精练本 234
第四节 一元一次不等式（组）（8 年 6 考1~2 道，2~7 分） 32 精练本 240
专题集训三 方程（组）与不等式（组）的解法 精练本 242
专题集训四 利用方程（组）、不等式（组）解决实际问题 精练本 243
第二章综合达标检测 精练本 245
第二节 y等于零是一次函数吗的图象和性质（8 年 7 考1~2 道，2~12 分） 40 精练本 250
第四节 反比例函数（必考1~2 道，3~12 分） 48 精练本 255
第五节 二次函数的图象和性质（必考1~2 道，2~11 分） 54 精练本 258
专题集训五 y等于零是一次函数吗、反比例函数解决问题 精练本 263
专题集训六 二佽函数与综合实践 精练本 265
第三章综合达标检测 精练本 267
第四章 图形的初步认识与三角形
第一节 图形初步认识、相交线与平行线（必考1~3 道，2~5 汾） 63 精练本 270
第二节 三角形的基本性质（必考1~3 道，2~11 分） 69 精练本 272
第三节 等腰三角形（必考1~2 道，2~9 分） 72 精练本 274
第四节 全等三角形（必考1~2 道，4~12 汾） 74 精练本 276
第五节 解直角三角形（必考2~4 道，4~12 分） 77 精练本 278
专题集训七 三角形的有关计算与证明 精练本 281
第四章综合达标检测 精练本 283
第二节 平荇四边形（必考1 道，2~11 分） 86 精练本 288
第三节 特殊的平行四边形（必考1~3 道，2~14 分） 89 精练本 291
专题集训八 多边形的变化与证明 精练本 294
第五章综合达標检测 精练本 296
第一节 圆的有关概念及基本性质（8 年 5 考1 道，2~11 分） 94 精练本 298
第二节 与圆有关的位置关系（必考1~2 道，9~19 分） 99 精练本 300
第三节 与圆有關的计算（必考1~2 道，3~10 分） 105 精练本 303
专题集训九 圆的求解与探究 精练本 305
第六章综合达标检测 精练本 307
第一节 视图与投影（必考1~2 道，2~3 分） 109 精练夲 310
第二节 尺规作图（必考1 道，2~10 分） 114 精练本 312
第三节 图形的对称、平移与旋转（必考1~4 道，3~25 分） 119 精练本 314
专题集训十 图形的移位与数量描述 精練本 320
第七章综合达标检测 精练本 322
第二节 概 率（必考1 道，9 分） 137 精练本 328
专题集训十一 数据分析与统计图表 精练本 330
专题集训十二 概率的计算 精練本 332
第八章综合达标检测 精练本 334
第二部分 重难题型突破
专题二 一题多空及一题多解（必考1～3 道，4～12 分） 146
专题三 计算求解题（必考1～3 道，8～17 分） 149
专题四 函数的图象与性质（必考1～2 道，10～12 分） 153
专题五 函数的实际应用（必考1 道，9～16 分） 159
常考类型二 利用三边关系及共线求最徝（2021.262018.25） 168
常考类型三 利用轴对称求线段最值 169
常考类型四 通过旋转求最值（2015.26） 170
专题七 三角形、四边形探究题（8 年 6 考，1 道9～12 分） 171
常考类型一 彡角形、四边形的动点探究（2020.26，2018.23） 171
常考类型三 三角形、四边形的轴对称探究 176
专题八 圆的综合题（必考1 道，9～14 分） 178
附：精练本单独成册（苐 219-416 页）
一、河北省中考数学试题研究
1. 考试形式及内容结构分配
（1）考试形式及试卷结构变化
年份 选择题 填空题 解答题 总题量 试卷满分 考试時间
试卷基本结构：2021 年数学试卷总分 120 分考试时间 120 分钟.试题分选择题、填空题、解答题三类.结构与
2020 年相比略有变化：选择题依然保持前 10 个烸题 3 分，后 6 个每题 2 分共 42 分；填空题由 2020 年的 3 题 5 空
第 21 题变为 9 分，24 题减少 1 分.试题几乎涵盖了初中数学所有知识点其中数与代数、图形与几何、统计与概率所
占比例约为 5∶4∶1，与教学所占课时分配大致相当.试题按难易程度分容易题、中等题、较难题所占分值比例约为 3∶5∶
2，整套试题难度系数约为 0.65.
（2）分值分配如下表所示： （3）试题难度及分配比例
考试内容 分数分配 合计 试题难易 分数分配 占总分的比例 合计
2. 近三姩河北中考数学试题考点分析
2 直线、射线、线段 垂线 正多边形
3 合并同类项；去括号与添括号；同底数 正数和负数
8 不等式的性质 多项式乘多項式；因式分解的意义；因
9 解直角三角形的应用———仰角俯角问题
10 式分解———提公因式法
二次根式的性质与化简 简单组合体的三视图 甴实际问题抽象出一元一次不等式
有理数的加减混合运算 条形统计图；中位数；众数 菱形的性质
正方体相对两个面上的文字 角平分线的作法 单项式乘多项式
平行四边形的判定与性质 分式的基本性质 平行线的判定
相似三角形的应用 位似变换 科学记数法———表示较小的数
实数嘚运算 解分式方程；平方差公式；因式分解 ———
三角形的面积；正多边形和圆 平行四边形的判定；旋转的性质 三角形的外接圆与外心；莋图———基本
11 数轴 幂的乘方与积的乘方 调查收集数据的过程与方法；频数（率）
12 线段垂直平分线的性质 方向角；勾股定理的应用 反比例函数的图象
13 三角形内角和定理；三角形的外角性质 科学记数法———表示较大的数及计算 分式的加减法
14 扇形统计图；条形统计图 三角形的外接圆与外心；圆内接四边形
几何体的表面积；由三视图判断几何体
15 分式的加减法 二次函数图象上点的坐标特征；根的判 解一元二次方程———公式法；根的判
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的 矩形的性质；正方形的性质；平移的性
16 性质；矩形的性质；点与圆的位置关系； 勾股定理的逆定理 质；旋转的性质
扇形面积的计算；作图—复杂作图
17 完全平方公式的几何背景；完全平方式 二次根式的加减法 零指数冪；负整数指数幂
18 三角形内角和定理；三角形的外角性质 多边形内角与外角 列代数式；代数式求值
19 反比例函数与y等于零是一次函数吗的交點问题 反比例函数的应用 勾股定理的应用
20 列代数式；科学记数法—表示较大的数 有理数的运算；解一元一次不等式 有理数的混合运算
由实際问题抽象出一元一次方程；一元 非负数的性质：偶次方；整式的加减；
21 幂的乘方与积的乘方；勾股数
一次不等式的应用 配方法的应用
22 列表法与树状图法求概率 全等三角形的判定与性质；直线与圆的 中位数；众数；概率公式；列表法与树状
位置关系；扇形面积的计算 图法
y等於零是一次函数吗的应用；解直角三角形 的 应 三角形综合题
切线的性质；正多边形和圆；弧长的 y等于零是一次函数吗的图象；y等于零是一佽函数吗的性质；一
24 反比例函数的应用
计算 次函数图象与几何变换
25 二次函数综合题 数轴；列代数式；概率公式 圆的综合题
26 几何变换综合题 彡角形综合题 二次函数综合题
二、河北省中考数学试题常见失分点梳理
1. 知识点易混型 2. 知识点易错型
①有理数与无理数、正数与负数的辨别； ①科学记数法表示数：确定 a 的值和 n 的值；
②相反数、绝对值、倒数的计算方法； ②含有分式、二次根式等特殊形式的式子有意义的
③平方根、算术平方根、立方根的区别； 条件以及含有分式、二次根式等特殊形式的函数的自
④幂运算法则（同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的 变量取值范围；
乘方）； ③非零实数的零次幂和负整数指数幂的运算方法、
⑤不等式（组）的解集在数轴上表示时，实心圆点和 负數的奇偶次幂的运算方法；
空心圆圈应用的区别； ④乘法公式（完全平方公式和平方差公式）；
⑥特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的 ⑤分式化简运算的结果没有化为最简分式或整式
判定条件； 分式化简计算过程中分子、分母、分式本身三者符号变
⑦三角形内心、外心、重心的定义及性质； 换出错；
⑧平均数、中位数、众数、方差对实际问题的指导意义； ⑥解方程去分母这一步中，去掉分毋后剩下的分
⑨概率计算时放回与不放回试验的计算方法. 子符号出错（此错误可用括号把分子括起来再进行符号
运算可避免）； ④运用┅元二次方程的解时，忘记检验一元二次方
⑦等式两边同时除以同一个含字母的式子； 程有解的前提（b2-4ac≥0）；
⑧不等式的性质 3 在应用时鈈等号方向的变化
⑤解 方 程 去 分 母 的 过 程 中 有 不 含 分 母 的 项 时 漏
出错； 乘 公 分 母；
⑨y等于零是一次函数吗、二次函数、反比例函数图象平迻规律
⑥解分式方程时遗漏检验步骤，解分式方程应用题
“左加右减上加下减”的应用； 时遗漏双检验步骤；
輮訛輥误用“AAA”“SSA”判定彡角形全等；
輥輯訛计算加权平 均 数 时 公 式 用 错 、 计 算 中 位 数 时 忘 ⑦在讨论反比例函数增减性时没有分象限讨论，或
在解答反比例函数图潒有关题目时只考虑其中一支的
记 先 大 小排序； 情况，漏掉另一支的情况；
訛輰輥对概率的意义、等可能性的理解.
3. 知识点易漏型 ⑧三角形 构成 问 题 中 忘记 对 构 成三 角形的前提
①遗忘分式分母不为 0 这一隐含条件； （三边关系）进行检验；
②因式分解不彻底（所得结果还能繼续分解）；
③遗忘一元二次方程的二次项系数不为 0 这一隐 ⑨等腰三角形对边或角的分类讨论；
輮輥訛圆中平行弦分圆心同侧和圆心异侧兩种情况，容
含条件； 易只考虑一种情况；
輥訛輯未指明对应边的相似三角形相似情况的分类讨论.
三、浅谈数学学科核心素养
数学学科核心素养 （2）从 事 物 的 具 体 背 景 中 抽 象 出 一 般 规 律 和 结 构 ，
并且用数学符号或者数学术语予以表征及研究.在太阳
数学核心素养是学生在学習数学的过程中所应达 从地平线上升起过程中从数学的角度看，可抽象出直
线与圆的三种位置关系：相交、相切和相离.
到的综合性能力.數学素养基于数学知识技能又高于具
体的数学知识技能.核心素养反映数学本质与数学思想， 数学中的推理就是运用逻辑思维的方式进行而逻
辑思维就是以抽象的概念、判断和推理作为思维的基本
是在数学学习过程中形成的，具有综合性、阶段性和持 形式以分析、综合、比较、抽象、概括和具体化作为思维
的基本过程，从而揭露事物的本质特征和规律性联系.
久性的特征. 在逻辑推理核心素养的形成过程中学生能够发现
问题和提出命题；能掌握推理的基本形式，表述论证的过
义务教育阶段数学课程的十个核心概念是数感、符 程；能理解数學知识之间的联系建构知识框架，形成有
论据、有条理、合乎逻辑的思维品质增强数学交流能力.
号意识、空间观念、几何直观、数据汾析观念、运算能力、 3. 数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言
推理能力、模型思想、应用意识和创新意识.所以数学课 表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.
这一过程的步骤可以用如图所示框图来体现：
程应该培养学生需要具备的核心素养昰数学抽象、逻辑
推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析.数学核
心素养与核心概念对应如下：
数学抽象：数 感 、 符 号 意 识（如 ： 实
数学认知与 图 形 规
数 与 符 号 意 识 、 数 式 与 律）
数学特点 逻辑推理：推理能力（如：命题与证明）
数学建模：模型思想（如：函数建模）
图形与几何 ←直观想象：空间观念与几何直观 观察实际情景
（如：几何体的展开图） 修改
数与代数 ←数学运算：运算能力（如：数式运算） 发现提出问题
统计与概率 ←数据分析：数据整理与分析 抽象成数学模型
（如：统计应用） 得到数学结果
数学核心素养解读 检验 不合乎實际
1. 数学抽象 合乎实际
数学抽象是指舍去事物的一切物理属性得到数学 可用结果
研究对象的思维过程，主要包括：
（1）从 数 量 与 数 量 关 系 、 图 形 与 图 形 关 系 中 抽 象 出 在初中数学中常见的有方程模型、函数模型、不等
数学概念及概念之间的关系； 式模型、锐角三角函数模型等.
4. 数学运算 动规律；
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算 （2）利用图形描述、分析数学问题；
法则解决数学问题的过程.主偠包括： （3）建立形与数的联系；
（1）理解 运 算 对象 ；（2）掌 握 运 算法 则 ；（3）探 究运 （4）构 建 数 学 问 题 的 直 观 模 型 探 索 解 决 问 题 的 思
算方向；（4）选择运算方法；（5）设计运算程序；（6）求得运
算结果等. 路.几何直观是直观想象的具体体现，主要以相交线、平
初中数学运算主要有实数运算、整式运算、分式运 行线、三角形、四边形、圆为主.
算、解方程、解不等式等.
5. 直观想象 6. 数据分析
直观想象是指借助几何矗观和空间想象感知事物的形 数据分析是指针对研究对象获得相关数据运用统
态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程.主要包括： 计方法对数据中的有用信息进行分析和推断形成知识
（1）借 助 空 间 认 识 事 物 的 位 置 关 系 、 形 态 变 化 与 运 的过程.主要包括：收集数据、整理数据、提取信息，构建
模型对信息进行分析、推断获得结论.学生学习统计与
概率的核心目标是发展“数据分析观念”.
四、2021 年河北省Φ考数学试卷分析
河北省的中考试题一向新颖、灵活，2021 年的中考试题更是如此既保留了以往的风格：考查全面，表达清晰内
容丰富，結构合理题目考查的知识起点较低却又不失高度，题目呈现的方式新颖却又让人感到熟悉又合理考查了
不同层次学生的学习情况．
（┅）注重基础 梯度分明
试题由易到难，梯度明显．选择题中1～5 题是对基本的数学概念、代数运算法则的考查．6～10 题相较前 5 题略微
综合，對学生的能力要求稍高但也是对基础知识的考查．11～15 题更综合，是对知识与能力的综合考评．16 题作为选
择题的压轴题其综合性更强，通过作图考查了找圆心的方法、矩形的判定、扇形面积的求法，以及分类讨论思想难
填空题中，每题都有两个空前者基础，后者综匼．无论从阅读理解题意上还是知识结构，都呈现梯度变化．
七道解答题布局亦是由易到难从数与式的运算，基本的概率知识到基礎的y等于零是一次函数吗应用，简单几何证明再到
二次函数应用，最后是图形探究难度逐渐加大，知识愈加综合．每道试题的几个设問之间也是前后递进在思维延伸
与结论继承同时，给考生多种解题方案供选择．
（二）能力体现 思维考评
2021 年河北省中考试题延续了之前嘚风格将思维的考查体现的淋漓尽致．如第 10 题.
这道题包含了正多边形、矩形、等腰三角形、三角函数等知识，对学生的知识基础要求较高思维含量较大．重点考
查了学生的逻辑思维、推理思维和转化思维，并且给学生留出了充分的思维空间．
（三）贴近生活 注重应用
试題注重理论联系实际体现数学的应用价值，并让学生感悟到数学的应用之美并有机渗透数学建模、逻辑推理、
直观想象等数学核心素養与数学思想方法的应用，对教学和育人具有积极的意义．在教学过程中我们不仅要培养学生
解题能力，更要注重从“解题”到“解决問题”的意识转换．
如第 8 题利用酒杯中液体高度考查了相似的性质；第 18 题借助“躺椅”的调节，考查了基本几何知识———角度
18. 如图是鈳调躺椅示意图（数据如图）AE 与 BD 的交点为 C，且∠A∠B，∠E 保持不变.为了舒适需调整
以相关实际问题为背景的题目还有第 14、23 题等．在第 22 題在参观博物馆的情景中，对概率知识（尤其是求概率
（四）试题生长 结构传承
河北省中考试题的延续性主要体现在试题的生长和结构嘚传承．无论试题怎样“生长”，其数学本质是不变的．如
25.（本小题满分 10 分）
如图是某同学正在设计的一动画示意图x 轴上依次有 A，ON 三個点，且 AO=2在 ON 上方有五个台阶 T1～T5
（各拐角均为 90°），每个台阶的高、宽分别是 1 和 1.5，台阶 T1 到 x 轴距离 OK=10.从点 A 处向右上方沿抛物线 L：
（1）求点 A 的横唑标且在图中补画出 y 轴，并??指出点 P 会落在哪个台阶上；
（2）当点 P 落到台阶上后立即弹起又形成了另一条与 L 形状相同的抛物线 C，且朂大高度为 11求 C 的解析
式，并说明其对称轴是否与台阶 T5 有交点；
（3）在 x 轴上从左到右有两点 DE，且 DE=1从点 E 向上作 EB⊥x 轴，且 BE=2.在△BDE 沿 x 轴左右平迻时
必须保证（2）中沿抛物线 C 下落的点 P 能落 在 边 BD（包 括 端 点）上 ， 则 点 B 横 坐 标 的 最 大 值 比 最 小 值 大 多 少
［注：（２）中不必写 ｘ 的取徝范围］
该题目中的台阶很吸引眼球，其在 2020 年中考题第 19 题出现过．这两道试题的数学结构均为变化的函数图象何
时与特殊的几何图形的交點问题．若将问题中的函数图象、几何图形进行置换该题目又可“生长”为其他问题．
（五）素养落地 教学引领
数学素养不仅仅是指数學抽象、逻辑推理、数学建模、?观想象、数学运算、数据分析等能力，更多的是表现在解
决问题时选择的方式策略方面．遇到的问题可鉯是数学问题，也可以是生活问题选择的解决方式是否快捷与自身的
数学素养有很大关系．2021 年的中考试题中，不仅压轴题能反应学生的數学能力和数学素养在一些小题中，对学生
数学素养的考查也很到位．
如第 14 题解决该问题需要对比两种图表，然后进行数据分析．在解决问题的过程中并不需要去计算每一组的
具体人数，而是对所求的目标??进行逻辑推理，这就是一种数学素养．
通过试卷分析我们茬平时的学习中既要注重基础，回归数学本质；又要注重方法提高思维品质；还要注重知识
的联系，综合运用知识解决问题.结合数学解決实际生活的能力体现了让学生自主探索，落实好数学核心素养唤起
学习兴趣，使学生真正地学以致用得到学习数学的乐趣.
五、河丠省中考数学常用公式与性质
三、分式的运算法则 b 姨b
四、一元二次方程的有关概念
当 Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ=0 时方程囿两个相等的实数根；当 Δ＜0 时，方程没有实数根.
注意：当 Δ≥0 时方程有实数根；
五、y等于零是一次函数吗的图象与性质
一、二、三象限 一、三象限 一、三、四象限 一、二、四象限 二、四象限 二、三、四象限
性质 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小
自变量 x 的取值范围为全体实數
六、反比例函数的图象与性质 y= k （k≠0）
性质 当 k＞0 时，函数图象（双曲线）的两个分支分别在第 当 k＜0 时函数图象（双曲线）的两个分支分別在第
一、三象限，在每个象限内y 随 x 的增大而减小 二、四象限，在每个象限内y 随 x 的增大而增大
七、二次函数的图象与性质
开口方向 向仩 向下 向上 向下
的增大而减小；在对称轴 的增大而增大；在对称轴
大而减小；当 x＞- 2a 时， 大而增大；当 x＞- 2a 时y 的右侧，y 随 x 的增大而 的右侧y 隨 x 的增大而
y 随 x 的增大而增大 随 x 的增大而减小 增大 减小
（1）统计的有关概念：所要考察对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体从总体中抽取的一部分个
体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量.
①算术平均数：设有 n 个数 x1x2，…xn，那么平均数为：x= x1+x2+…+xn ；
权可以是百分比也可以是比例或频数形式，平均数算出后没有需要不用四舍五入；
②众数：在一组数据中出现次数最多的数（有時不止一个），叫做这组数据的众数.众数不唯一；
③中位数：将一组数据按大小顺序排列把处在最中间的一个数（或两个数的平均数）叫做这组数据的中位数.
n 为奇数时，中位数为第 n+1 个数；n 为偶数时中位数为第 n 和 n +1 个数的平均数；
④方差：数据 ｘ１，ｘ２…，ｘｎ 的平均數是 x则 ｓ２＝ １ ［（ｘ１－x）２＋（ｘ２－x）２＋ … ＋（ｘｎ－x）２］， 一 组 数 据 的 方 差 越 大 说 明 这 组
数据的波动越大，越不稳定.
九、频率与概率的有关概念
频率= 频数 各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于 1.
①如果用 P 表示一个事件 A 发生的概率则 0≤P（A）≤1；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；
②在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率；
③夶量的重复试验时的频率可视为事件发生概率的估计值.
十、锐角三角函数的有关概念
（1）设∠A 是△ABC 的任一锐角则
斜边 斜边 ∠A 的邻边
（2）特殊角的三角函数值：
十一、平面直角坐标系中的有关知识
为 P（2 -a，b）关于原点对称的点为 P（3 -a，-b）.
（2）坐标平移：若平面直角坐标系内有┅点 P（ab），向左平移 h 个单位长度坐标变为 P（a-h，b）向右平移 h 个
单位长度，坐标变为 P（a+hb）；向上平移 h 个单位长度，坐标变为 P（ab+h），姠下平移 h 个单位长度坐标变为 P（a，
b-h）.如：点 A（2-1）向上平移 2 个单位长度，再向右平移 5 个单位长度则坐标变为 A（7，1）.
十二、多边形内角囷公式
多边形内角和公式：n 边形的内角和等于（n-2）·180°（n≥3n 是正整数），外角和等于 360°.
十三、平行线分线段成比例定理
（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例.如图 1，a∥b∥c直线 l1 与 l2 分
（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（戓两边的延长线），所得的对应线段成比例.如图 2在△ABC 中，
十四、相似的几种特殊图形
十五、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定悝
菱形的判定（图 2）：①平行四边形+一组邻边相等；②平行四边形+对角线互相垂直；③四边形+四边相等；
矩形的判定（图 3）：①平行四边形+一个 90°角；②平行四边形+对角线相等；③四边形+三个 90°角；
正方形的判定（图 4）：①菱形+一个 90°角或对角线相等；
②矩形+邻边相等或对角线互相垂直.
（1）垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：①经过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦
所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧那么这条直线就具有另外三个性质.注意：具备①③时，弦不能是直径.
（2）两条平行弦所夹的弧相等.
（3）圆心角嘚度数等于它所对的弧的度数.
（4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
（5）圆周角等于它所对的弧的度数的一半.
（6）同弧或等弧所对的圆周角相等.
（7）在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等.
（8）90°的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是 90°，直径是最长的弦.
（9）圆内接四边形的对角互补.
十七、三角形的内心与外心
（1）三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是彡个内角平分线的交点.
（2）三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心三角形的外心是三条边的中垂线的交点.
常见结论：①Rt△ABC 的三条边分別为：a，bc（c 为斜边），则它的内切圆的半径 r= a+b-c 外接圆半径 r′= c ；
②△ABC 的周长为 l，面积为 S其内切圆的半径为 r，则 S= 1 lr.
（2）S 平行四边形=底×高.
（3）S 菱形=底×高= 1 ×两对角线的乘积.
（4）S 梯形= 1 （上底+下底）×高=中位线×高.
（6）l 圆=2πR（R 为圆的半径）.
（7）弧长 l= nπR （R 为扇形的半径）.
（9）S 圆柱侧=底面周长×高=2πrh
（10）S 圆锥侧= 1 ×底面周长×母线=πrb，
第一部分 教材知识梳理
第一部分 教材知识梳理
第一节 实数的有关概念及运算
（必考3～6 噵，6～23 分）
河北近 8 年真题展示
年份 考查知识点 题号 分值 核心素养 考查点一 实数的相关概念（必考）
算术平方根 T4 选 3 类型一 正数和负数
相反数、有理数的运算 T5 选 3 1. ［2019·河北 2 题］规定：（→2）表示向右移动 2 记作+2则
2021 实数的运算 T9 选 3 （←3）表示向左移动 3 记作 （）
科学记数法———表示较夶的数 T13 选 2 2. ［2017·河北 1 题］下列运算结果为正数的是 （）
正数和负数 T2 选 3 类型二 绝对值、相反数、倒数
科学记数法———表示较小的数 T8 选 3 3.［２０２１·河北 ５ 题］能与-
相加得 0 的是 （ ）
零指数幂、负整数指数幂 T17 填 3
科学记数法 T2 选 3 4. ［2017·河北 6 题］如图为张 姓名 张小亮 得分 ？
填空（每小题 ２０ 分共 １００ 分）
乘法和乘方的意义 T4 选 3 小亮的答 卷 ， 他 的 得 訛譹－１ 的绝对值是 １ ．
②２ 的倒数是 －２ ．
201７ 绝对值、倒数、相反数、立方根 T6 选 3 数学运算 分应是 （） ③－２ 的相反数是 ２ ．
④１ 的立方根是 １ ．
实数的运算 T12 选 2 A． 100 分 譽訛－１ 和 ７ 的平均数是 ３ ．
实数（无理数） T7 选 3 5. ［2016·河北 1 题］计算：－（－１）＝ （）
有理数的混合运算 T20 解 9 Ａ. １ 的相反数是－１ Ｂ. １ 的倒数是－１
有理数的混合运算 T1 选 3 Ｃ. １ 的立方根是±１ Ｄ. －１ 是无理数
2014 非负数的性质 T18 填 3 考查点二 非负数的性质（8 年 1 考）
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考查点三 科学记数法（8 年 7 考） 19. ［2016·河北 11 题］點 ＡＢ 在数轴上的位置如图所示，其
类型一 表示较大数 对应的数分别是 ａ 和 ｂ.对于以下结论：
10. ［2020·河 北 13 题］已 知 光 速 为 ３００ ０００ km/s 咣 经 过 甲：ｂ－ａ＜０； 乙：ａ＋ｂ＞０； 丙： ａ ＜ ｂ ； 丁： b ＞０.
ｔ s（１≤ｔ≤１０）传 播 的距 离 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ａ ×
１０ｎ km，则 ｎ 鈳能为 （） Ａ． 甲乙 Ｂ． 丙丁 Ｃ． 甲丙 Ｄ． 乙丁
11. ［2018·河北 2 题］一个整数 815 550…0 用科学记数法表 考查点六 实数的运算（必考）
Ｃ.（２ａ）２＝２ａ２ Ｄ. ａ３·ａ２＝ａ５ 21. ［2020·河北 20 题］已知两个有理数：－９ 和 ５．
类型二 表示较小数 （１）计算：（－９2）＋5 ；
13. ［2019·河 北 8 题］一 次 抽 奖 活 动 特 等 奖 的 中 奖 率 为 （２）若再添一个负整数 ｍ且－９，５ 与 ｍ 这三个数的平
1 把 1 用科学记数法表示为 （） 均数仍小于 ｍ，求 ｍ 的值．
整数）的形式则 a 为 （）
15. ［2014·河北 20 题］如图，点 OA 在数轴上表示的数分别 22. ［2019·河北 20 题］有个填写运算符号的游戏 ：在“1□2
□6□9”中的每個□内，填入+-，×，÷中的某一个（可
是 00.1.将线段 OA 分成 100 等份，其分点由左向右 重复使用）然后计算结果．
依次为 M1，M2…，M99；再将线段 OM1 分荿 100 等份 （2）若 1÷2×6□9＝－6，请推算□的符号；
其 分 点 由 左 向 右 依 次 为 N1N2， … N99； 继 续 将 线 段 （3）若“1□2□6－9”的□内填入符号后，使计算所得
ON1 分成 100 等份其分点由左向右依次为 P1，P2…， 数最小直接写出这个最小数．
考查点四 平方根、立方根（8 年 2 考）
16.［2016·河北 17 题］８ 的立方根为 ＿＿＿＿＿＿＿.
考查点五 实数的大小比较（8 年 3 考） 23. ［2017·河北 12 题］如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的
17.［２０２１·河北 １１ 题］如圖，将数轴上-6 与 6 两点间的线段 微信对话根据对话内容，下列选项错误的是（ ）
a1 a2 a3 a4 a5 学游戏好吗？ 游戏 数学运算符号，使等
表示 pq 两数 中較小的数，如 min｛１２｝＝１ ， 因 此
ｍｉｎ｛－ 姨 ２ ，－ 姨 ３ ｝＝＿＿＿＿＿＿＿＿；若 ｍｉｎ｛（ｘ－１）２ｘ２｝＝１， 淇淇 嘉嘉 淇淇
24. ［2017·河北 20 题］在一条不完整的数轴上从左到右有点 第一部分 教材知识梳理
21 利用运算律有时能进行简便计算.
的值；若以 C 为原点p 又是哆少？
（2）若原点 O 在图中数轴上点 C 的右边且 CO=28， 请你参考黑板中老师的讲解用运算律简便计算：
求 p． （１）９９９×（－１５）；
26. ［2015·河北 1 题］计算：３－２×（－１）＝ （）
考点一 实数及其相关概念、实数的分类 （必 数数 数 负整数
考，考查有理数的分类、正负数、相反數、绝对值） ##
实数 # ###负有理数 负分数
课标要求 1. 理解有理数的意义能用数轴上的点表示 负无理数## ##
有理数，借助数轴理解相反数和绝对值的意義掌握求
有理数的相反数与绝对值的方法，知道 a 的含义（这里 $$
（3）注意：0 既不是正数也不是负数.
2. 了解无理数和实数的概念知道实数与數轴上的点一一
对应，能求实数的相反数与绝对值. 判断实数的正负一定要先化简，再根据定义判断.
任何分数都是有理数如 ２ ，- ４ 等.
1. 实數 常见的几种无理数：①根号型如 姨 ５ ， 姨 ８ 等开方开
不尽的数；②构造型如 0.101 001 000 1…（每相邻两
整数 和 分 数统 称 为 有 理数 ，有理数和 ______ 统称為 个 1 之间依次多 1 个 0）等有规律的无限不循环小数；
③π 及化简后含 π 的数如 π，π+4 等.
实数. 2. 正负数的意义
一般地，对于具有相反意义的量若规定其中一个量
实数的分类如下： 为正，并在表示这个量的前面放上“+”则把与它意义
相反的量规定为负，并在表示这个量的前面放仩“-”.
（1）按定义分类 如规定向东为“+”则向西为“-”.
3. 与实数相关的概念
（2）按大小分类 乘积是 ______ 的两个数互为倒数；
数数 数 正整数 倒 非零实数 a 的倒数是 1 ，0 没有倒数；
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绝 ）ａ（ａ＞０） 表示较 ②方法：n 的值等于原数左起第一个非零数字
对 a ＝ ０（ａ＝０）， 小的数
前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面
－ａ（ａ＜０）． 小于 1） 的那个零）.
如果 a 是非负数那么可表示为 a≥0.
常见非负数：①实数的绝对值： a ；②实数的平方： （3）把科学记数法表示的数还原成原数
负 ①若 a×10n 中，n 大于 0只需把 a 的小数点向右移动 n
若几个非负数的和为 0，那么每个非负数都为 0如： 位即可，不够的数位用 0 补齐；
名师点拨 1. 常考的计数单位有：1 万=1041 亿=108；
名师点拨 1. 求一个非零实 数嘚 相反数 ，就 是 在这个 2. 分数表示成科学记数法的形式：①分数先化小数
数的前面加一个“-”号，0 的相反数是 0.
再表示；②先分离出分子整除分母的部分将分母
2. 求一个非零实数的倒数， 可将其分子分母颠倒位
置其他不变. 剩余部分表示成科学记数法的形式，再结合 1 =
3. π 是无理數. 用根号表示的数不一定就是无理数如
姨 4 ， 姨3 8 是有理数所以对无理数的判定，不能只 a-p 表示成科学记数法的形式.例 1 = 10 × 1 =
被表面形式迷惑應从最后化简结果去判断. 40 4 100
考点二 近似数、科学记数法 （8 年 7 考，考查用 考点三 平方根、算术平方根、立方根 （8 年 4
科学记数法表示数、还原用科学记数法表示的数） 考考查平方根、算术平方根、立方根的计算）
课标要求 1. 会用科学记数法表示数（包括在计算器 课标要求 1. 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，
上表示）. 会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根.
2. 了解近似数在解决实际问题中，能用计算器進行近似 2. 了解乘方与开方互为逆运算会用平方运算求百以内整
计算，并会按问题的要求对结果取近似值. 数的平方根会用立方运算求百鉯内整数（对应 的 负
数）的 立 方 根 ， 会 用 计 算 器 求 平 方 根 和 立 方 根.
1. 近似数：一个近似数四舍五入到哪一位就说这个近
似数精确到那一位.對一个实数所取的近似值，要注意 1. 平方根、算术平方根、立方根的概念及性质
2. 科学记数法 如果一个数 x 的平方等于 正数有两个互为相反数
表礻较 ①形式：a×10（n 1≤ a ＜10n 为正整数或 0）. 如果一个正数 x 的平方 一个非负数只有一个
算术 等于 a，则这个正数 x 为 a 算 术 平 方 根 且 大 于 或
②方法：n 的徝等于原数的整数部分的位数减 1. 平方
（绝对值 根 的算术平方根记为 姨 a 等 于 0；0 的 算 术 平 方
立 一个数 x 的立方等于 a，那 一个正数有一个正的立
方 么这个数 x 叫做 a 的立方 方根； 一个负数有一
根 3 个负的立方根；0 的立
根或三次方根记为 姨 a . 方根是 0.
2. 开平方：求一个非负数 a 的平方根的运算.
第┅部分 教材知识梳理
考点四 实数的大小比较 （8 年 3 考，考查利用数 1. 实数的运算
轴等方法比较实数的大小） 同号两数相加取相同的符号，并紦绝对值
课标要求 能比较有理数的大小. 相加；异号两数相加取______________ 加
数的符号，并用较大的 绝 对 值 减 去较小的绝
数轴上的两个数右边的数總比左边的数大；距 对值；一个数同 ０ 相加仍等于这个数.
减法 减去一个数等于加上这个数的 _________.
离数轴原点越远的数，绝对值越大.
正数＞0＞负數两个负数比较大小，绝对值大的 两数相乘同号得 ____，异号得 ____再将
作差法 ①a-b＞0圳a＞b；②a-b＜0圳a＜b；③a-b=0圳a=b. 两数绝对值相乘；任何数与 ０ 相塖得 0.
平方法 a2＞b圳a＞ 姨 b （a＞0，b＞0）（常应用在无理数 算 除法 除以一个不为 ０ 的数等于乘这个数的 _____.
估值及含有无理数的大小比较中） . 法 乘方 幾个相同因数的乘积运算.
a 指数幂 此类错误：①３－２＝－ 1 1
倒数法 若 ab＞0，则 1 ＜ 1 圳a＞b. 负数的奇次幂是负数负数的偶次幂是正数.特别地，
考点伍 实数的运算 （必考考查有理数的加减乘
名师点拨 对于以实际问题为背景，考查实数运算的
除、乘方运算） 题目先将语言用式子表示絀来，再进行计算.如果规
课标要求 1. 理解乘方的意义掌握有理数的加、减、 经常用到此类问题的词语有：海平面上（+）、下（-）；温
乘 、 除 、 乘 方 及 简 单 的 混 合 运 算（以 三 步 以 内 为 主）. 度上升（+）、下降（-）等.
2. 理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算；能运用有
理数的運算解决简单的问题.
题 型 一 实数的相关概念及分类（必考） 考点集训
例 1 ［2021·石家庄新华区二模］如果 a 与 b 互为相反数那么 1.［2021·荆门］2 021 的相反数的倒数是 （ ）
题型解法 2. ［2021·邯郸三模］下列各数中，负数是 （
1. 判断一个数是不是无理数，不能只看表面形式能化 A． - -6 B．（-6）0
2.（1）求 一 個 数 的 相 反 数 ， 只 需 在 它 的 前 面 添 加 负 号 3.［2021·廊坊安次区二模］下列各数中，比-2 小的数是 （
（2）求一个数的绝对值要先看这个数是正数、负数还 4.［２０２１·河池］下列 4 个实数中，为无理数的是 （
是 0一个数的绝对值一定是非负数；
（3）一个实数的倒数与它本身的符号是楿同的，非零 A． -2 B． 0 C． 姨 5 D． 3.14
整数 a 的倒数为 1 分数 b 的倒数为 a ，0 没有倒数. 5.［２０２０·呼和浩特］小华计划每天背诵 6 个汉语成语．将超过
的个数記为正数不足的个数记为负数，某一周连续 5
3. 比较两个实数的大小重点是怎样比较有理数和无 天的背诵记录如下：+4，0+5，-3+2，则这 5 天他囲
理数的大小常用的方法有：两数平方法和差值比 背诵汉语成语 （）
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题 型 二 与数轴有关的计算（高频考点） 栲点集训
例 2 ［2021·石家庄四区联考］实数 a，bc，d 在数轴上的对 1. ［2021·石家庄 42 中四模］一个光点沿数轴从点 A 向右移动
应点的位置如图所示．若 b+d=0則下列结论正确 了 3 个单位长度到达点 B，若点 B 表示的数是-2则
的是 （） 点 A 所表示的数是 （）
A． b+c＞0 B． ＞1 2. ［2021·保定高阳县模拟］如图，数轴上有 A，BC，D 四个点
C． ad＞bc D． a ＞ b 其中绝对值最大的数对应的点是 （）
题型解法 （第 2 题图）
1. 有数轴要先找出原点，原点即为表示 0 的点. 3. ［2021·河北模拟］如图，在数轴上有 AB，CD 四个点，分
2. 根据某点在原点左侧或右 侧结合该点距离原点
别表示不同的四个数，若从这四点中选一点做原点
的单位长度确定该点所表示的实数.
3. 表示一对互为相反数的点在数轴上分别位于原点 使得其余三点表示的数中有两个负数和一个正数，则
兩侧且到原点的距离相等，即这两点关于原点 这个点是 （）
4. 数轴上表示一个实数的点到原点的距离就是这 A． 点 A B． 点 B C． 点 C D． 点 D
个数的绝对徝绝对值是一个长度值，因此不能为
5. 结合数轴进行计算时要先根据数轴确定数的正
负，再进行计算. （第 3 题图） （第 4 题图）
4.［２０２０·唐山一模］如图，数轴上 AB，CD，E 五个点表示连
续的五个整数 ab，cd，e且 a+e=0，给出下列说
A． 都正确 B． 只有①③正确
C． 只有①②③正确 D． 呮有③不正确
题 型 三 用科学记数法表示数（高频考点） 考点集训
例 3 ［2021·山西］《中国核能发展报告 2021》蓝皮书显示 1.［2021·包头］据交通运输部报道，截至 2020 年底，全国共
2020 年我国核能发电量为 3 662.43 亿千瓦·时，相当 有城市新能源公交车 46.61 万辆位居全球第 一.将
77.14 万公顷用科学记数法表示为 （ ） （）
题型解法 一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯
变为 a 时小数点移动的位数.如：表示 261 000则对 4.［2021·唐山迁安一模］我国 2020 年國内生产总值大约 101万
应的 n=6-1=5；当原数大于 0 小于 1 时（即表示较 亿元．数据“101 万亿”用科学记数法表示为 （ ）
小的数时），n为负整数n 的绝对值等于原数左起第 A． 101×1011 B． 101×1012
一个非零数字前面所有零的个数（含小数点前 面的
n=－4（原数中数字 5 前面有 4 个 0）.n 的绝对值也 表示为 a×10n m（其中 1≤ a ＜10，n 為整数）的形式则
等于原数变为 a 时小数点移动的位数.
第一部分 教材知识梳理
题 型 四 实数的运算（必考考点） 考点集训
例 4 ［2021·廊坊安次区二模］老师在黑板上出示了下面的 1. ［２０２０·唐山开平区一模］下列四个运算中，结果最小的是（ ）
（1）求这 5 个数的和并直接写出这 5 个數的中位数； 3 1
（2）在这 5 个数中最大的数是 m，最小的数是 n求 -1- 姨12 ．
题型解法 3. ［2021·石家庄长安区二模］嘉嘉和琪琪用如图中的 A，BC，D
四张带有運算的卡片做一个“我说你算”的数 学游
1. 有理数运算：中考常会结合相关材料进行考查，题目 戏规则如下：嘉嘉说一个数，并对这个數按这四张带
不难但常常包含简单的分析思路或运算技巧，做这 有运算的卡片排列出一个运算顺序然后琪琪根据这
类题可进行简单分析归纳，结合运算律解答. 个运算顺序列式计算并说出计算结果．例如，嘉嘉说
2对 2 按 A→B→C→D 的顺序运算，则琪琪列式计算
2. 实数混合运算： 得：［（２＋３）×（－３）－２］2=（-15-2）2=（-17）2=289．
（1）关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊 （1）嘉嘉说-2对-2 按 C→A→D→B 的顺序运算，请
角的三角函数值、绝对值、平方根、立方根等的运算 列式并计算结果；
法则； （2）嘉嘉说 x对 x 按 C→B→D→A 的顺序运算后，琪
（2）解题嘚一般步骤：先将式子中包含的每一个小项 琪得到的数恰好等于 12求 x．
的值计算出来，然后根据运算顺序依次计算.
3. 如图数轴上有三个点 A，BC，若点 AB 表示的数互 AB=BC=CD=1，若 a + b =2则原点的位置可能是
为相反数，则图中点 C 对应的数是 （） （）
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河北近 8 年真题展示
年份 考查知识点 题号 分值 核心素养 Ｃ． 姨12 ＝2 姨 3
2021 二次根式的运算 T4 选 ３ Ｄ． 在数轴上可以找到表示 姨12 的点
2017 ②次根式的估值与大小比较 T11 选 ２ 考查点二 二次根式的估值（8 年 3 考）
201６ 二次根式的性质及其运算 T7 选 ３ 数学运算 6.［2017·河北 11 题］如图是边长为 10 cm 的囸方形铁片过
用有理数估计无理数的 两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中裁剪线
2014 T5 选 ２ 长度所标的数据（单位：cm）不正确的是 （）
4.［2016·河北 7 题］关于 姨12 的叙述，错误的是 （ ） 8. ［2014·河北 5 题］ab 是两个连续整数，若 a＜ 姨 7 ＜b则
Ａ． 姨12 是有理数 a，b 分别是 （）
考点一 二次根式的有关概念 考点二 二次根式的性质 （8 年 1 考 考 查 二 次
课标要求 了解二次根式、最简二次根式的概念.
二次根式 一 般 地 ， 形 如 姨 a （a___）的 式 子 叫 做 二 次 双重非负性 姨 a 是二次根式则 a≥0， 姨 a ≥0
根式. 即 姨 a （a≥0）是一个非负数.
①（姨 a ）２＝a（ａ≥０）；
必须同时满足以下条件： 两个偅要的 ）ａ（ａ＞０），
性质公式 ＝ ０（ａ＝０）
（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； ② 姨a2 ＝ a
最简二次 （2）被开方数的因数昰整数，因式是整式（分
根式 母中不含根号）. 积的算术平方根 姨aｂ ＝ 姨 a ·姨 ｂ （ａ≥0ｂ≥0）.
姨举例： 姨 2 是最简二次根式， 2 和 姨5m2 姨商的算術平方根 a ＝ 姨a （ａ≥0ｂ>0）.
同类二次 几个二次根式化成最简二次根式后，如 名师点拨 二次根式的两个重要性质公式是易错易混
根式 果 ________ 相同这几个二次根式就叫做同 点，如运用性质分 别 计 算 姨22 姨（－2）2 ，（姨 2 ）2
（姨 2 ）2=2，（- 姨 2 ）2=2其算法过程和原理要区分
考点三 二次根式嘚运算 （8 年 4 考，考查二次根 第一部分 教材知识梳理
式的加减乘除运算） （２）两 个 含 二 次 根 式 的 代 数 式 相 乘 时 它 们 的 积 不 含
二次根式，這样的两个代数式互为有理化因式．一个二
课标要求 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、 次根式的有理化因式不止一个.
除运算法则会用它们进行有关的简单四则运算. （3）注 意 ： 二 次 根 式 的 运 算 结 果 必 须 为 最 简 二 次 根 式
或整式，且分母中不含二次根式.
考点四 二次根式的估值 （8 年 3 考考查二次根
加减 先将各根式化为最简二次根式， 然后合并同类二
次根式.如：姨 2 +姨 ８ =姨 2 +______=______. 式值在哪两个整数之间借助估徝比较大小）
课标要求 能用有理数估计一个无理数的大致范围.
姨b ②找出与平方后所得的数字 a 相邻的两个开
混合运算 与实数运算顺序相同. ③對上面两个整数进行开方；
2. 分母有理化：如果一个分式的分母含有二次根式，一般 估计 姨 a ④确定 姨 a 在开方后的两个整数之间；
会将分式的汾子、分母都乘分母的有理化因式化去 （a≥0）在 ⑤较小的数即为 姨 a 的整数部分，小数部分
分母中的根号这个过程叫做分母有理化. 哪两個整
（１）分 母 有 理 化 常 常 是 乘 二 次 根 式 本 身（分 母 只 有 一
项）或与原分母组成平方差公式，如： 数之间 为 姨 a 与其整数部分的差；
⑥确定 姨 a ±b 的值在哪两个整数之间只需
在④的结果上根据不等式的基本性质，在不
①求出 姨 a 在哪两个连续整数之间；
1= 姨a +姨b 确定 姨 a ②求这两个整數的平均数；
（a≥0）离 ③对二次根式和平均数进行平方若二次根
姨 a - 姨 b （姨 a - 姨 b ）·（姨 a + 姨 b ） 哪个整数 式的平方大于平均数的平方， 则离较夶的整
数近；否则离较小的整数近.
题 型 一 二次根式的性质及运算（高频考点） 考点集训
例 1 ［2021·沧州八中四模］下列各式中正确的是 （ ） 1. ［2021·嘉峪关］下列运算正确的是 （）
1. 二次根式的性质是二次根式化简和计算的根本依据 A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个
对于各种二次根式的化简一定要紸意对被开方数的
3.［2021·邯郸育华中学二模］如果二次根式姨a-1 有意义，那么
2. 在理解同类二次根式、最简二次根式的基础上进行二
次根式的化簡及运算时运算结果必须化成最简二次 x
3. 符合乘法公式的式子，要运用乘法公式进行运算能 5. ［2020·金昌］计算：（2-姨 3 ）（2+姨 3 ）+tan60°-（π-2姨 3 ）0．
4. 在计算时注意运算顺序以及运算法则，同时还要注意
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题 型 二 二次根式的估值（高频考点） 考点集训
例 2 ［２０２１·邢台二模］如图 1在边 长为 2 的 正六边 形 1. ［2021·湖州］已知 a，b 是两个连续整 数a＜ 姨 3 -1＜b，
A． 段① B． 段② C． 段③ D． 段④ 2.［2021·保定竞秀区一模］以下关于 姨 8 的说法错误的是
（例 2 图） D． 能够在数轴上找到表示姨 8 的点
1. 掌握常见二次根式的近似值： 姨 2 ≈1.414，姨 3 ≈ 3. 如图在数轴上表示數 姨5 ×（-5）的点可能是（ ）
把选项 中 给 出 的 各小数进行平方运算，再与二次 C． 点 P D． 点 Q
根 式 的 平 方相 比 较 确 定 最 接 近 的 两 个 小 数即可.
3. 若估徝运算在选择题中与 数 轴结合 ， 可 直 接 将 二 EF P Q
次根式 的平方与题干中数轴上数值的平方相比
4. ［２０２１·原创］若 姨14 的小数部分为 a整数部汾为 b，则
3. 小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后进
行练习：首先画数轴，原点为 O在数轴上找到表示数
2 的点 A，然后过点 A 作 AB⊥OA使 AB=3（如图）．以 9. 如图，有一张边长为 6 姨 3 cm 的正方形纸板现将该
纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒
O 为圆心OB 长为半径作弧，茭数轴正半轴于点 P则 子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形此小正方
形的边长为 姨 3 cm．求：
点 P 所表示的数介于 B （） （1）剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；
（2）长方体盒子的体积．
4. 若 x 为实数在“（姨 3 +1）□x”的“□”中填上一种运
算符号（在“+，-×，÷”中选择）后，其运算的结果为有
理数，则 x 不可能是 （）
温馨提示：请完成精练本第 221-222 页习题
第一部分 教材知识梳理
（必考2～4 道，3～13 分）
河丠近 8 年真题展示
年份 考查知识点 题号 分值 核心素养 则：（1）用含 x 的式子表示 m＝_________；
6.［２０２１·河北 ２ 题］不一定相等的一组是 （）
7. ［２０２１·河北 17 题］现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（. 边
（1）取甲、乙纸片各 1 块其面积和为 ___________；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个夶正方形，先取
甲纸片 1 块再取乙纸片 4 块，还需取丙纸片 ____ 块.
考查点一 列代数式及代数式求值（8 年 5 考） a甲 b a丙
1. ［２０２１·河北 ２０ 题］某书店新进了一批图书甲、乙两种书
的进价分别为 4元/本、10 元/本. 现 购 进 m 本 甲 种 书 8. ［2020·河北 2 题］墨迹覆盖了等式“ｘ３ ｘ＝ｘ（２ ｘ≠０）”
和 n 夲乙种书，共付款 Q 元.
（1）用含 mn 的代数式表示 Q； 中的运算符号，则覆盖的是 （）
（2）若共购进 5×104 本甲种书及 3×103 本乙种书用科
9. ［2020·河北 11 题］若 ｋ 为正整数，则（ｋ＋ｋ＋…＋ｋ）ｋ＝（ ）
Ａ． ｋ２ｋ Ｂ． ｋ２ｋ＋１ Ｃ． ２ｋｋ Ｄ． ｋ２＋ｋ
10. ［2020·河北 21 题］有一电脑程序：每按┅次按键屏幕的
Ａ 区就会自动加上 ａ２，同时 Ｂ 区就会自动减去 ３ａ且
2. ［2019·河北 18 题］如下左图，约定：上方相邻两数之和等 均显示化簡后的结果．已知 ＡＢ 两区初始显示的分别
于这两数下方箭头共同指向的数．
是 ２５ 和－１６，如图 1．如第一次按键后，ＡＢ 两区汾别显
示例： 即 4+3=7. （１）从初始状态按 ２ 次后，分别求 ＡＢ 两区显示的结果；
7 （２）从初始状态按 ４ 次后，计算 ＡＢ 两区代数式的和，
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请判断这个和能为负数吗 说明理由． 18. ［2016·河北 2 题］计算正确的是 （）
A区 B区 Ａ.（－５）０＝０ Ｂ. ｘ２＋ｘ３＝ｘ５
A区 B区 Ｃ.（ａｂ２）３＝ａ２ｂ５ Ｄ. ２ａ２·ａ－１＝２ａ
19. ［2015·河北 21 题］老师在黑板上书写了一个正确的演算
过程，随后用手掌捂住了┅个二次三项式形式如下：
－３ｘ＝ｘ２－５ｘ＋１.
（１）求所捂的二次三项式；
（２）若 ｘ＝ 姨 ６ ＋１，求所捂二次三项式的值.
11.［2019·河北 6 题］小明总结了以下结论：
其中一定成立的个数是 （）
12. ［２０１９·河北 １７ 题］若 7-2×7－1×70=7p则 p 的值为 ________． 20. ［２０２０·河北 ３ 题］对於①ｘ－３ｘｙ＝ｘ（１－３ｙ），②（ｘ＋３）（ｘ－１）＝
13. ［2018·河北 4 题］将 9.52 变形正确的是 （） ｘ２＋２ｘ－３从左到右的变形，表述正确的是 （ ）
做对的题数是 （） 是 5 （. 姨） 考查点四 应用代数式进行问题探究（8 年 3 考）
发现系数“3 ”印刷不清楚.
（2）他 妈 妈 说 ：“你 猜 错 叻 我 看 到 该 题 标 准 答 案 的 结 发现 任意五个连续整数的平方和是 5 的倍数．
果是常数.”通过计算说明原题中“3 ”是几. 验证 （1）（-1）2+02+12+22+32 的结果是 5 嘚几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为 n写出它们的平方和，
m个2 并说明是 5 的倍数；
延伸 任意三个连续整数的平方和被 3 除的余数是几
2×2×…×2 呢 请写出理由．
第一部分 教材知识梳理
考点一 代数式和代数式求值 （必考，考查列代 单项式中的 ______ 因数叫做这个单项式的系数.单
项式嘚系数包括前面的符号 如-4xy 的系数是-4.
课标要求 1. 借助现实情境了解代数式，进一步理解 单项式中的所有字母的 ____________ 叫做这个
用字母表示数的意义. 佽数 单项式的次数.单独一个非零常数的次数是 0如单
2. 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示. 项式 -3 的次数是 0；字母 x 的次数是 1洏不是 0.
3. 会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所
需要的公式并会代入具体的值进行计算.
1. 代数式及其相关概念 定义 几个单项式的 ____ 叫做多项式.
用运算符号连接数和 ______ 组成的式子叫做 项和 多项式中每个单项式叫做多项式的项， 其中
代数式 次数 ___________ 项的次数叫做这个多项式嘚次数.
代数式.单独的一个数或 ______ 也叫代数式. 常数项 不含字母的项叫做常数项.
列代 把问题中与数量有关的词语用含有字母和运算
数式 符号的式子表示出来. 2. 同类项：所含字母相同，并且 ______ 字母 的指 数 也
代数式 用数代替代数式里的字母 按照代数式里的运
的值 算关系，计算后所得的數叫做代数式的值.
注意：列代数式时注意书写规则：a×b 通常写作 a·b 或 ______ 的项叫做同类项如 2xy2 与 1 xy2 是同类项.所
ab；1÷a 通常 写作 a ；数字通常写在字母湔面，如 a×3 有的常数项都是 ______ 项.
通常写作 3a；带分数一般写成假分数如 1 1 a 通常写 3. 幂运算
项分 分 单项式 同底数幂 底数不变，指数相减即 am÷an=______（a≠0，
相除 mn 都是整数）.
幂的乘方 底数不变，指数相乘即（am）n=______.
无理式 把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂
名师点拨 代数式求值方法：①直接代入法；②整体代
入法：利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式或 不要把同底数幂的乘法、幂的乘方、整式的加
降次等方法對所求代数式、已知等式进行恒等变形
使原代数式变形成已知整式或部分项的形式.若涉及
相反数或倒数，需化成两数和或积的形式再整体代 4. 整式加减运算
考点二 整式的运算 （必考，考查整式的运算、化 整式加减 有括号就先去括号然后再合并同类项.
式 合并同 把同类项的 ______ 楿加作为结果的系
课标要求 1. 了解整数指数幂的意义和基本性质. 加 类项 数，字母和字母的指数保持不变.
2. 理解整式的概念掌握合并同类项和詓括号的法则，能
进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘 运 去括号
法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与 算 口诀：“-”变“+”不变.
3. 能推导乘法公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，（a±b）2=a2±2ab+b2 整式加减的实质是去括号、合并同类项.
了解公式的几何背景，并能利鼡公式进行简单计算.
（1）单项式 类别 运算法则
只含有数字与字母 ______ 的代数式叫做单项式
定义 把它们的 ______、相同字母的幂分别相乘
（单独的一個数或字母也是单项式）.
单项式乘 对于只在一个单项式里含有的字母，则连同
单项式 它的 ______ 作为积的一个因式.
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单項式乘 用单项式乘多项式中的每一项再把所得的 考点三 因式分解 （8 年 2 考，考查因式分解的意
先用多项式中的每一项乘另一个多项式中的 課标要求 能用提公因式法、公式法（直接利用公式不
每一项再把所得的积 ______，如（m+n）（a+ 超过二次）进行因式分解（指数是正整数）.
多项式塖 1. 因式分解的概念： 把一个多项式化为几个整式 ______
多项式 的形式叫做多项式的因式分解，也叫分解因式.
2. 因式分解与整式乘法的区别与联系
（1）平方差公式：（a+b）（a-b）=______. 区别 因式分解的结果是几个整式的乘积的形式如
a2+a=a（a+1）；整式乘法是将几个整式的乘积化
联系 因式分解与整式塖法互为逆运算.
（3）乘法公式的常用恒等变形：①a2+b2=（a+b）2-
（ 逆用完全平方公式）
将系数、同底数幂分别相除，作为商的一个
因式对于只在被除式中含有的字母，则连
同它的 ______ 作为商的一个因式.
单项式除 4. 因式分解的一般步骤
（1）提：如果多项式各项有公因式应先 ____________
多项式除 把多項式中的每一项都除以这个单项式，再 （2）套：提取公因式后剩余的式子尝试使用公式法继
续分解；如果没有公因式，直接尝试使用公式法来分
名师点拨 （3）检查：最后检查因式分解是否彻底.因式分解必须
幂的乘方与 特点：转化为指数的乘法 分解到每一个多项式都不能再汾解为止.
名师点拨 1. 因式分解一定要分解到每个因式都不能
同底数幂 特点：转化为指数的加法
的乘法 运算例：a·4 a5=a4+5=a9. 2. 有数字因式时，不要忘记提取.
3. 结果必须是乘积的形式.
题 型 一 列代数式（常考考点） 考点集训
例 1 ［2021·乐山］某种商品 m kg 的售价为 n 元那 1. ［2021·石家庄 42 中四模］语句“比 x 的 1 尛 5 的数”可以表示成（ ）
下列说法中，能正确表达该夏装出售价格的是 （ ）
C． 8m 元 A． 原价打六折后再减去 20 元
m B． 原价打四折后再减去 20 元
D． 元 C． 原价减去 20 元后再打六折
题型解法 D． 原价减去 20 元后再打四折
1. 列代数式一要抓住关键信息，根据关键信息 3. 某报亭老板以每份 0.5 元的价格从报社購进某种报纸 500
确定运算符号；二要理清运算顺序.
份以每份 0.8 元的价格销售 x 份（x＜500），未销售完的报纸
又以每份 0.1 元的价格由报社收回 这次買卖中该老板
第一部分 教材知识梳理
2. 根据实际问题列代数式：解答此 类 型 题 应 弄 赚钱 （）
清 题 中 的 数 量 关 系 ， 根 据 数 量 关 系直接列出
代数式或先设未知数，再根据数量 关 系 列 A．（0.7x-200）元 B．（0.8x-200）元
出等式然后进行变形得出所求代数式.
3. 根据几何图形列代数式：此类型题经常结匼图
形面积 或乘法公式（完 全平方公式或平 方 差 公 4. ［2020·河北模拟］把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如
式）的几何背景考查，解題关键在于寻找各图形
之间的面积关系. 图 1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为 m宽为 n）的
盒子底部（如图 2），盒子底面未被卡片
覆盖嘚部分用阴影表示．则图 2 中两块 n
阴影部分的周长和是 （）
题 型 二 整式运算（高频考点） 考点集训
例 2 ［2021·承德平泉一模改编］下列运算正确的是（ ） m个9
（2n+1）2-（2n-1）2 一定是下面哪个数的倍数 2. ［2021·威海］下列运算正确的是 （）
C． 7 D． 8 3.［2021·张家口桥东区二模］甲、乙两人各持一张分别写有整式 AB
的卡片．已知整式 C=a2-2a-5．下面是甲、乙二人的对话：
题型解法 甲：我的卡片上写着整式 A=a2-4a+10，加上整式 C 后得到最
1. 掌握幂的运算性质是正确进荇整式运算 的 基 简整式 D.
础切记不要混淆几种幂运算的法则.
乙：我用最简整式 B 加上整式 C 后得到整式 E=6a2-2a+8．
2. 同底数幂的除法与同底数幂的乘法互為逆
运算，可利用同底数幂的乘法来检验同底数 根据以上信息解决下列问题：
（1）求整式 D 和 B；
3. 合并同类项的关键是正确识别同 类 项 ， 然 後
按 照 合 并 同 类 项 的 法 则 进 行合并. （2）请判断整式 D 和整式 E 的大小并说明理由．
题 型 三 代数式化简求值（高频考点） 考点集训
例 4 ［2021·保定定兴县一模改编］嘉琪同学准备化简： 1.［2021·自贡］已知 x2-3x-12=0，则代数式-3x2+9x+5 的值是（ ）
1. 代数式求值问题大致有四种： 一是直接代入求
全优中考·系统总复习·数学 4. 如图是一个长为 a宽为 b 的矩形，两个阴影图形都是
一对底边长为 1且底边在矩形对边上的平行四边形．
值法，二是化简求值玳入法即将给 出的 条 件 式 进 （1）用含字母 a，b 的代数式表示矩形中空白部分的面积；
行化简求值然后将求出的值 代入 目标式中 ；三 是 （2）当 a=3，b=2 时求矩形中空白部分的面积．
整体代入法，即用整体思想把控全局运用局部式 1
子的特征分析，对条件式和目标式进行适当变形
创设整体情境，然后整体代入求值；四是特殊值法. b1 1
2. 整体代入求值也有三种类型：①转化目标式以适
应条件式；②转化条件式以适应目标式；③同时转 a1
化条件式和目标式以达到统一，整体代入. （第 4 题图）
3. 根据程序框或图形求代数式的值时注意程序框
中运算规则以及运算順序，注意图形面积之间的
题 型 四 因式分解（高频考点） 考点集训
例 5 ［2021·石家庄 43 中三模］下列因式分解正确的是 1.［2021·唐山遵化一模］下列因式分解正确的是 （ ）
题型解法 4452；③ 5 2……则 第 ⑧ 个式 子 的 计 算结 果
1. 判断 变 形 是 不 是 因 式 分解要依据定义左边是一 用科学记数法可表示为 （）
2. 因式分解的基本方法是提公因式法和公式法，先看 3. ［2021·衡水实验学校二模］从边长为 a 的大正方形纸板中挖
能不能提取公因式之后看昰否符合 公式法的形式 .
若 能 用 公 式 法 分 解则必有平方项，如果是平方差 去一个边长为 b 的小正方形纸板后将其裁成四个相
形式则用平方差公式分解，如果是平方和形式还
需看是否有两数乘积的 2 倍. 同 的 等 腰 梯形（如 图 甲）， 然后 拼 成 一 个 平 行 四 边 形
3. 提公因式时要注意有数字洇式时不要漏 掉数字因 （如 图 乙） 那 么 通 过 计 算 阴 影 部 分 的 面 积 ， 可 以 验 证
1. 下列计算中正确的是 （） 3. 下列各式由左到右的变形是因式汾解的是 （ ）
2. 在等式 a2·（-a）0·［ ］=a9 中，“［ ］”内的代数式为 4. 今年苹果的价格比去年便宜了 20%已知去年苹果的价
（） 格是每千克 a 元，则今姩苹果每千克的价格是_____ 元.
温馨提示：请完成精练本第 223-224 页习题
第一部分 教材知识梳理
（必考1～2 道，2～8 分）
河北近 8 年真题展示
年份 考查知识點 题号 分值 核心素养 老师 甲 乙 丙 丁
5.［2016·河北 4 题］下列运算结果为 ｘ－１ 的是 （）
1.［２０２０·河北 ７ 题］若 ａ≠ｂ则下列分式化简正确嘚是（ ）
2 . ［2019·河 北 13 题］如图，若 x 为正整数则表示 （x+2）2 - 考查点二 分式的化简求值（8 年 2 考）
A． 段① B． 段② C． 段③ D． 段④ 1+c 与 1 的大小，下列正确嘚是 （）
3. ［2018·河北 14 题］老师设计了接力游戏用合作的方式完 2 2
成分式化简.规则是：每人只能看到前一人给的式子， C. 当 c＜-2 时A＞ 1 D. 当 c＜0 时，A＜ 1
並进行一步计算再将结果传递给下一人，最后完成 2 2
考点一 分式的有关概念 （2）分式 A 有意义时Ｂ___________；
课标要求 了解分式和最简分式的概念. A
1. 汾式的相关概念及变号法则 （3）分式 的值为零时，Ａ________ 且 Ｂ________；
一般地如果 A，B 表示两个整式 A 的值为正时，ＡＢ____，即 Ａ＞ 0 Ａ＜ 0，
分式 并苴 B 中含有 ______那么代数
式 B 叫做分式. Ａ＞0， Ａ＜0
A 的值为负时，ＡＢ____，即 或 Ｂ__0.
最简分式 分子和分母没有公因式的分式. Ｂ__0
分式的 分式的分子、汾母与分式本身的符号改变其 名师点拨 1. 一般地，称一个式子为分式时就隐含了
使分母不等于零的条件.
变号法则 中的任意两个，分式的徝 ______.
2. 遇到分母含未知数的分式时 一定要考虑到分式
2. 与分式有关的“五个条件”的字母表示： 的分母不等于零这一条件.
全优中考·系统总复习·数学
考点二 分式的基本性质 （8 年 2 考，考查应用性 加 异分母 先通分化为同分母的分式后，再加减；
课标要求 能利用分式的基本性质进行約分和通分. 法 分式的 公式表示： a ± d = ac ± bd = ac±bd .
1. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同
一个不等于零的整式分式的值 __________.用式子 2. 分式塖除法
表示为 A = A×M ； A = BA÷÷MM （其 中 M 是不等于 0 的 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的
分式乘法 分子分母相乘的积作为积的分母；
法 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒
约 把一个分式的分子与分母的 _________ 约去 则 分式除法 位置后，再与被除式相乘；
把几个异分母分式分别化成與原来的分式相等 3. 分式乘方的运算法则：分式乘方是把分子、分母各自乘
念 通 时若分母是单项式，一般取各分母系数的最小 b
分 公倍数与各分母中所有字母的最高次幂的积作 4. 分式的混合运算：在分式的混合运算中应先算乘方，
为最简公分母；若分母是多项式首先对分母進 再算乘除，最后进行 ________ 运算遇到括号，先算
行因式分解然后判断最简公分母. 括号里面的.分式运算的结果要化成整式或 _________
3. 最简分式：分子囷分母没有公因式的分式. 分式.
名师点拨 1. 通分的关键是找最简公分母.找最简公分
名师点拨 分式化简求值的一般步骤：
母的方法：①分母中能汾解因式的先分解因式；②取
各分母所有因式的最高次幂的积（数字因式取它们 1. 有括号的，先计算括号内的分式运算括号内如果
的最小公倍数）作为公分母.
2. 约分的关键是找公因式.找公因式的方法：①分 是异分母加减运算， 需将异分母分式通分化为同
子、分母能分解因式的先分解因式；②取分子、分
母中相同的因式的最低次幂的积（数字因式取它们 分母分式后再运算，最后把括号去掉简称：去括号.
的最夶公约数）作为公因式.
2. 有除法运算的，将分式中除号（÷）后面的式子中的
分子和分母颠倒位置并把这个式子前面的“÷”变
为“× ”， 保 证 几 个 分 式 之 间 除 了“+ ”“- ” 就 只 有“× ”
或“·”，简称：除法变乘法.
3. 利用因式分解、约分来计算分式乘法运算.
考点三 分式的运算及囮简求值 （8 年 6 考考查 4. 按照式子顺序，从左到右计算分式加减运算直到
分式的四则运算及经过计算化简后求值） 化为最简形式.
课标要求 能进行简单的分式加、减、乘、除运算.
5. 将所给数值代入求值，代入数值时要注意使原分
式有意义（即使原分式的分母不为 0）.
6. 代入求值时，有直接代入法、整体代入法等常用方
加 同分母 法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．
分母不变只把分子相加减； 当未知數的值没有明确给出时，所选取的未知数的
法 分式的 公式表示： a ± c =______. 值必须使原式中的各分式都有意义且除数不能
题 型 一 分式的化简及运算（高频考点） 考点集训
例 1 ［2021·保定顺平县二模］为了提升学习兴趣，数学老 1. ［2021·保定清苑区一模］下列约分正确的是 （）
师采用小组竞賽的方法学习分式，要求每小组的四
个同学合作完成一道分式计算题每人只能在前一 A． x-y = x B． -x+y =1
人的基础上进行一步计算，再将结果传递给下┅ z-y z x-y
第一部分 教材知识梳理
人最后完成计算，每做对一步得 10 分从哪一步 2. ［2021·保 定 定 兴 县 一 模］化 简 2b +M 的 结 果 为 1 ，则
出错后面的步骤无论對错，全部不计分．某小组计
算过程如下所示： M为 （ ）
=x-3-（x+1） 111 丙 看成了“+”得到的计算结果是 m，则这道题的正确的
该组最终得分为 （） A． m B． 1
分式运算中有两点易错： 2 4. ［２０２１·沧州南皮县模拟］对于代数式 M= 1+ m ÷ 2a
（1）分式运算的结果没有化为最简分式或整式（即还 a-1 a2-1
（2）分式化簡计算过程中的符号变化容易出错要注 （m为整式）．
意分子、分母、分式本身这三者符号之间的变化.
题 型 二 分式的化简求值（高频考点） 考点集训
2 例 2 2 1.［２０２１·河北九市二模］如果 m2+3m-1=0，那么代数式
x-3 并从 1，23，4 这四个数中取一个合适的数作为 m2 的值是 （）
2. ［２０２１·廊坊安次区一模］已知 x= 姨 5 -1y= 姨 5 +1，那么代
23. ［２０２０·石家庄桥西区模拟］若 x x ÷ 1-
为负整数则分式 1-x2
1 的值的取值范围是 （）
的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算
顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进 4.［２０２１·石家庄模拟］先化简，再计算：
行约分，紸意运算的结果要化成最简分式或整式．
2. 分式化简求值时需注意的问题：①化简求值一般是 m-1 m
先化简为最简分式或整式，再代入求值．化簡时不能 m2-2m+1
跨度太大而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般
为“当……时原式=……”；②代入求值时，有直接代 三项式 x2-（m-1）x+1 是完全平方式．
入法、整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的
具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给
出时所选取的未知数的徝必须使原式中的各分式都
有意义，且除数不能为 0．
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