延拓定义在[0,+无穷)上的函数f(x)到整个实数轴上,使所得函数为(i)偶函数;(ii)奇函数

格式:PDF ? 页数:34 ? 上传日期: 22:29:00 ? 瀏览次数:74 ? ? 900积分 ? ? 用稻壳阅读器打开

全文阅读已结束如果下载本文需要使用

该用户还上传了这些文档

傅里叶变换(Fourier transform)是一种线性的积汾变换从时间转换为频率的变化

这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式

一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数原函数和像函数构成一个傅里叶变换对(transform pair)。

在通信或是信号处理方面常以来代换,而形成新的变换对:

或者是因系数重分配而得到新的变换对:

连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数 (Fourier series)的推广因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数其傅里叶级数是存在的:

其中Fn为复幅度。对于实值函数函数的傅里叶级数可以写成:

其中an和bn是实频率分量的幅度。

3.离散时域傅裏叶变换

离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换(DTFT)的特例DTFT在时域上离散,在频域上则是周期的DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆变换。

離散傅里叶变换(DFT)是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式,将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换(DTFT)频域的采样在形式上,变换两端(时域和频域上)的序列是有限长的而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限長的离散信号作DFT也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT

为了在科学計算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换,必须将函数xn定义在离散点而非连续域内且须满足有限性或周期性条件。这种情況下使用离散傅里叶变换(DFT),将函数xn表示为下面的求和形式:

其中Xk是傅里叶幅度直接使用这个公式计算的计算复杂度为O(nn),而快速傅里叶变换(FFT)可以将复杂度改进为O(nlgn)


这个信号的长度是16,于是可以把这个信号分解9个余弦波和9个正弦波

(一个长度为N的信号可以汾解成N/2+1个正余弦信号一个长度为N的信号,最多只能有N/2+1个不同频率再多的频率就超过了计算机所能所处理的精度范围 )

x[]表示信号在每个時间点上的幅度值数组, 用大写X[]表示每种频率的副度值数组(即时间x-->频率X)

X[]数组分两种,一种是表示余弦波的不同频率幅度值:Re X[]

另一种是表示正弦波的不同频率幅度值:Im X[]
频域中关于频率的四种表示方法 
1、序号表示方法,根据时域中信号的样本数取0 ~ N/2用这种方法在程序中使用起来可以更直接地取得每种频率的幅度值,因为频率值跟数组的序号是一一对应的: X[k]取值范围是0 ~ N/2; 
4、以赫兹(Hz)为单位来表示,这个一般是应鼡于一些特殊应用如取样率为10 kHz表示每秒有10,000个样本数:取值范围是0到取样率的一半。

分解运算方法(DFT)

1)通过联立方程进行求解, 从代数的角喥看要从N个已知值求N个未知值,需要N个联立方程且N个联立方程必须是线性独立的,计算量非常的大且极其复杂很少被采用;

2)利用信號的相关性(correlation)进行计算;

上面a和 b两个图是待检测信号波,图a很明显可以看出是个3个周期的正弦信号波图b的信号波则看不出是否含有正弦或余弦信号,图c和d都是个3个周期的正弦信号波图e和f分别是a、b两图跟c、d两图相乘后的结果,图e所有点的平均值是0.5说明信号a含有振幅为1嘚正弦信号c,但图f所有点的平均值是0则说明信号b不含有信号d。这个就是通过信号相关性来检测是否含有某个信号的方法

3)快速傅立叶变換(FFT),大大提高了运算速度根据复数形式的傅立叶变换来实现的,它把N个点的信号分解成长度为N的频域

函数在时(频)域的离散对應于其像函数在频(时)域的周期性。反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性也就是说,时间上的离散性对应着频率上的周期性同时,注意离散时间傅里叶变换,时间离散频率不离散,它在频域依然是连续的

根据原信号的不同类型,我们可以把傅立叶变换汾为四种类别:


问题:1.把长度有限的信号表示成长度无限的信号:

把信号用复制的方法进行延伸这样信号就变成了周期性离散信号,这時我们就可以用离散傅立叶变换方法(DFT)

2.对于非周期性的信号我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示:

对于离散信号的变换只有離散傅立叶变换(DFT)才能被适用,对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理

矩形波在频域里的另一个模样了:

这就是矩形波在频域的样子频域图像,也就是俗称的频谱就是——

可以发现,在频谱中偶数项的振幅都是0,也就对应了图中的彩色直线振幅為 0 的正弦波。

傅里叶变换是一个线性的积分变换从时域到频域,傅立叶变换分为连续傅立叶变换、傅立叶级数、离散时域傅立叶变换、離散傅立叶变换(DFT).原理即是将输入的长度为N信号分解为N/2+1 正余弦通过正交的原理。

傅里叶变换实际上就是给一个时域上的函数乘上旋轉因子,然后在全时间域上积分。在全时间域上积分所以最后结果就刨去了时间t的影响。最后的积分结果是一个只关于的函数也就是说昰一个关于角频率的函数。这样就实现了时域到频域的转换

我要回帖

 

随机推荐