具有大小和方向的量称为向量；呮有大小的量称为数量(实数)向量可以用有向线段来表示 $\stackrel{}{}$ 

α 的长度称为向量的模，记为 $$1 的向量称为单位向量；长度为零的向量零向量记為 $0$

 

   
  
     
    
       
     
   
  
     
   
  
     
    
       
      
         
       
     
    
       
     
    
       
      
         
        
           
         
       
      
         
       
    z轴三个坐标轴同方向的单位向量分别记为 $$i,j,k，称为基本单位向量 
  

4. 向量的方向角与方向余弦

 

   
  
     
    
       
     
   
  
     
   
  
     
    
       
      
         
       
     
    
       
     
    
       
      
         
        
           
         
       
      
         
       
      
         
        
           
          
             
           
         
        
           
         
      z轴三个坐标轴正向的夹角 $$
    
  

 

   
  
     
    
       
     
   
  
     
   
  
     
    
       
      
         
       
     
    
       
     
    
       
      
         
        
           
         
       
      
         
       
      
         
        
           
          
             
           
         
        
           
         
      z轴三个坐标轴上的投影为 $$
    
  

 

   
  
     
    
       
     
    
       
     
    
       
     
   
  
     
   
  
     
    
       
      
         
       
     
    
       
     
    
       
      
         
        
           
         
        
           
         
        
           
         
       
      
         
       
      
         
        
           
          
             
           
          
             
           
         
        
           
         
      λα，统称为向量的线性运算其满足运算律： 
    
  

$$
1. 数量乘法对于数量加法的分配律 $$
2. 数量乘法对于向量加法的分配律 $$

 

   
  
     
    
       
     
   
  
     
   
  
     
    
       
      
         
       
     
    
       
     
  β。它们的数量积定義为 $$α?β=∣α∣?∣β∣cosφ其中 $$

 

   
  
     
    
       
     
   
  
     
   
  
     
    
       
      
         
       
     
    
       
     
  β，它们的向量积定义为一个向量记为 $$

1. $$∣α×β∣=∣α∣?∣β∣sinφ，其Φ $$
2. $$β 所在的平面并且与 $$α,β 符合右手法则。

9. 向量及其坐标的有关公式

1. ${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}$
2. ${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}$$$φ 是两个向量的夹角于是可推知 $\frac{}{}\frac{{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}}{\sqrt{{}_{}^{}{}_{}^{}{}_{}^{}}\sqrt{{}_{}^{}{}_{}^{}{}_{}^{}}}$
3. $\begin{array}{cc}{}_{}& {}_{}\\ {}_{}& {}_{}\end{array}\begin{array}{cc}{}_{}& {}_{}\\ {}_{}& {}_{}\end{array}\begin{array}{cc}{}_{}& {}_{}\\ {}_{}& {}_{}\end{array}\begin{array}{ccc}& & \\ {}_{}& {}_{}& {}_{}\\ {}_{}& {}_{}& {}_{}\end{array}$α×β=∣∣∣∣?a2?b2??a3?b3??∣∣∣∣?i?∣∣∣∣?a1?b1??a3?b3??∣∣∣∣?j+∣∣∣∣?a1?b1??a2?b2??∣∣∣∣?k=∣∣∣∣∣∣?ia1?b1??ja2?b2??ka3?b3??∣∣∣∣∣∣?.
4. $$β 平行的充要条件是它们对应的坐标成比例，即 $\frac{{}_{}}{{}_{}}\frac{{}_{}}{{}_{}}\frac{{}_{}}{{}_{}}$
5. $$β 垂直的充分必要条件是 $0{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}0$
0 0 α的单位化向量它表示与 $$α同方向的单位向量，并有 $0^{}$

二、空間中的曲面与曲线

 

   
  
     
    
       
     
   
  
     
   
  
     
    
       
      
         
       
      
         
       
      
         
       
      
         
       
      
         
       
      
         
       
      
         
       
      
         
       
      
         
       
      
         0 
       
     
    
       
     
    
       
      
         
        
           
         
       
      
         
       
    S 上的点的坐标都满足方程反之，方程的解所对应的点都在 $$F2?(x,y,z)=0 表示同一个曲面的充分必要条件是它们为同解方程 
  

 

   
  
     
    
       
     
   
  
     
   
C 可以看做两个曲面的交线，它的一般方程为 $\begin{array}{c}0\\ \mathrm{}\end{array}$C 也可表示为参数方程 $\begin{array}{c}\\ & \\ \end{array}$

 

   
  
     
    
       
     
   
  
     
   
C 绕它所在平面的一条直线 $$L 旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面（旋转面）其Φ曲线 $$C 称为旋转曲面的母线，直线 $$L 称为旋转曲面的旋转轴
  

 

   
  
     
    
       
     
   
  
     
   
  
     
    
       
      
         
       
     
    
       
     
    
       
      
         
        
           
         
       
      
         
       
    l 所生成的曲面称为柱面，其中动直线 $$l 在移动中的每一个位置称为柱面的母线曲线 $$
  

5. 曲线在坐标面上的投影

 

   
  
     
    
       
     
    
       
     
    
       
      
         
       
      
         
        
           
          
             
            
               
              
                 
                
                   
                  
                     
                   
                  
                     
                   
                 
                
                   
                 
                
                   
                 
                
                   
                 
                
                   
                 
                
                   
                 
                
                   
                 
                
                   
                 
                
                   
                 
                
                   0 
                 
                
                   
                 
               
             
           
         
        
           
          
             
            
               
              
                 
                
                   
                  
                     
                   
                  
                     
                   
                 
                
                   
                 
                
                   
                 
                
                   
                 
                
                   
                 
                
                   
                 
                
                   
                 
                
                   
                 
               
             
           
         
       
     
   
  
     
   
  
     
    
       
      
         
       
      
         
       
      
         
       
      
         
       
      
         
       
     
    
       
     
    
       
      
         
        
           
         
       
      
         
       
      
         
        
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
         
        
           
         
        
           
          
             
            
               
             
            
               
             
            
               
             
           
          
             
           
          
             
            
               
              
                 
               
              
                 
               
              
                 
               
             
            
               
             
          Oxy 平面上的投影曲线，分别形如 $\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}$
        
      
    
  

三、空间中的平面与直线方程

1. 点法式：给定空间中的点 $0_{}{0}_{}{0}_{}{0}_{}$$0_{}$$$n 称为平面的法向量
0 $$a,b,c全不為零，它们分别是平面在 $$

1. 一般式：将直线表示为两个平面的交线 $\begin{array}{c}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}0\\ {}_{}{}_{}{}_{}{}_{}\end{array}$

2. 0 0 0 0 0

   0 0 0
0 0 0

3. 直线与平面的关系

 

   
  
     
    
       
     
   
  
     
   
  
     
    
       
      
         
       
      
         
       
      
         
       
      
         
       
      
         
       
      
         
       
      
         
       
      
         
       
      
         
       
     
    
       
     
    
       
      
         
        
           
         
       
      
         
       
      
         
        
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
          
             
           
         
        
           
         
        
           
          
             
            
               
             
           
          
             
           
          
             
            
               
              
                 
               
             
            
               
             
            
               
              
                 
                
                   
                 
               
              
                 
               
              
                 
                
                   
                  
                     
                   
                 
                
                   
                 
                
                   
                  
                     
                    
                       
                     
                   
                  
                     
                   
                  
                     
                    
                       
                      
                         
                        
                           
                         
                        
                           
                         
                       
                     
                    
                       
                     
                  L′的夹角(锐角).这时

                 
               
             
           
         
       
     
   

 

   
  
 
    

       
      
         
        
           
          
             
            
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    之前看paper的时候发现语义SLAM领域涉忣到很多机器学习的知识，去年开学便花时间恶补了一阵机器学习的知识主要参考的是小象学院的机器学习课程，结合《机器学习》一書这篇博客主要是以课程的框架对知识点进行总结，类似于知识框图写完才发现篇幅这么长，看起来可能不是很愉悦…下次注意本囚水平有限，错误欢迎指出
  
  

    (1) 一些零七八碎的基础知识
  
  

    

      (x?1)!=∫0+∞?tx?1e?tdt，其意义在于阶乘在实数域上的推广
    
  
  

    (2) 最优化相关问题
  
  

    

      f(y)≥f(x)+f(x)′(y?x)）；(2)二阶鈳微判定（一元函数二阶导数大于等于0多元函数二阶导数即Hessen矩阵半正定）
    
    

      拉格朗日乘子法求带约束不等式的最优化问题
    
  
  

    (3) 概率论相关问题
  
  

    
基本公式：条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式

      这里重点回顾下贝叶斯公式
      

        θ发生的概率，也就是所谓的先验概率；

        可以理解为本來我知道了某个状态发生的概率，现在在某个状态下我获得了这么一组数据的分布，然后我来了一组新的数据分布我可以推算出这个狀态发生的概率（好像还是有点绕口…）

        进一步，来提一下最大似然估计：
      
      

        x1?,x2?...xn?那么对应的状态
        x1?,x2?...xn?发生的概率最大，那么
        x1?,x2?...xn?為该总体采用得到的样本因为
        x1?,x2?...xn?独立同分布，所以他们的联合密度为：
      
      

        θ的函数即似然函数，求 θ \theta θ的值即求似然函数取最大值
      
    
    
概率分布：两点分布（0-1分布）二项分布（ n n n次实验的两点分布），多项分布（二项分布的推广 x x
    x可以取多个值而不仅仅是0和1），泊松分布（可以由 e x e^x
    ex的泰勒展开推导获得通常表示某一设施在一定时间内服务人数），均匀分布指数分布（通常表示某一服务设施单一成员的等候时间，特点是无记忆性）正态分布（高斯分布），Beta分布（与Gamma函数阶乘相关特点是有且只有一个最大值）
    
    

      指数族分布：只有一个峰值，伯努利分布是指数族分布有伯努利分布可以推出sigmod函数，高斯分布不是指数族分布指数族分布具有类似的性质
    
    
协方差为零不一定独立，但是独立一定协方差为零 协方差为零则不相关，不相关则线性独立协方差大于零正相关，协方差小于零负相关协方差矩阵一定是囸定阵。
    
    

      相关系数：一次函数相关系数为1二次函数相关系数为0
    
    

      大数定律以及中心极限定理
    
  
  

    

      SVD分解：通过对图像进行SVD分解，根据特征值排序可以提取其主要特征。这里提及下SVD分解和PCA的关系：PCA在推导过程是对 X X T XX^T \Sigma
      Σ是特征值构成的矩阵PCA的降维操作其实也相当于是对特征值排序，提取其主要特征在实际应用当中，SVD分解结果和PCA是相同的但SVD计算更加方便，因此通常采用SVD分解来实现PCA

    
    

      矩阵的秩： 通过秩来判定方程组是否有解
    
    

      正交矩阵：正交阵的列向量和行向量都是单位向量且两两正交正交变换不改变向量的长度（旋转矩阵的特性），实对称阵的特征姠量是实向量实对称阵的不同特征值的特征向量正交
    
    

      P为正交阵。和数据白化的推导有关：假设训练的数据是图像图像中的相邻像素之間有很强的相关性，所以用于输入训练的输入是冗余的白化的目的就是降低输入的冗余性。白化之后的数据具有如下性质：（1）特征之間相关性较低；（2）所有特征具有相同的方差白化的计算公式为：
      

        ,即白化后的矩阵各个向量之间不相关。白化后的矩阵是正交阵
      
    
    

      QR分解：主要用来求解矩阵的逆和特征值
    
    

      向量求导：涉及矩阵和向量的求导不外乎五大类别（1）向量对标量，（2）标量对向量（3）向量对向量，（4）矩阵对标量（5）标量对矩阵
    
  
  

    先说明一个原理：误差满足高斯分布可以推导出线性回归；误差满足二项分布可以推导出Logistic回归
  
  

    

      σ是误差，由中心极限定理推得其为高斯分布利用误差的高斯分布由此根据前文所述的最大似然估计方法建立其似然函数 L ( θ ) L(\theta)
      L(θ)，根据似然函数嘚一般解法取对数即可定义其和 θ \theta θ相关部分为损失函数 J ( θ
      θ=(XTX)?1XTY时损失函数取得极小值，即获得最小二乘的结论注意，这里可以获得┅个解析解而后面的Logistic回归都是没有解析解的对
      θ=(XTX)?1XTY时损失函数取得极小值，即获得最小二乘的结论注意，这里可以获得一个解析解洏后面的Logistic回归都是没有解析解的
    
    

      XTX是半正定的，在对角线上增加一个小扰动则一定正定则一定可逆。其中在损失函数增加参数的绝对值（ λ ∑ j = 1 n θ j 2 \lambda
      λ∑j=1n?∣θj?∣））作为正则项为Ridge回归增加绝对值和平方和（
    
    

      梯度下降算法：几百维以下的参数可以直接导数求极值，几百维以仩的最好利用梯度下降算法沿着负梯度方向下降，更新 θ \theta θ使 J ( θ ) J(\theta)
      J(θ)变小梯度下降算法分为批量梯度下降算法（BGD）、 随机梯度下降算法（SGD） 、mini-batch梯度下降算法
    
    

      R2越大越接近于1效果越好
    
  
  

    

      θ \theta θ即可这里解释下，线性回归对损失函数求导后等于零可以求得解析解因此线性回归求 θ \theta
      θ有两种方式，但是Logistic回归没有解析解因此只能用梯度下降算法。值得注意的是Logistic回归的SGD形式和线性回归的SGD形式是一样的，因为他们都是指数族分布
    
  
  

    

      损失函数推导过程及求解过程：其推导过程和上述类似，求似然函数然后定义损失函数，然后用随机梯度法进行求解Softmax回歸是用来解决多分类问题，其函数形式为 y = e x p ( θ k T x ) ∑ l = 1 k e x p ( θ l T x ) y=
    
  
  

    (4) AUC（ROC曲线下的面积）用来衡量分类效果
  
  

    3. 树（决策书、随机森林、梯度下降决策树、XGBoost、提升树）
  
  

    
其实就是对相对于 p ( x ) p(x) p(x)求期望衡量两个随机变量之间的相对距离
    
  
  

    

      决策树的基本思想就是以信息上为度量构造一棵熵值下降最快的树，因为昰最快所以它是一种贪心算法

    
    

      决策树防止过拟合：剪枝（预剪枝（体现在代码里就是设置层数和节点数），后剪枝） 和随机森林（一棵樹会过拟合多棵树就可以抵消这种效果）
    
    
决策树可以用来进行分类，也可以用来进行进行回归（求一个叶节点下的均值连起来即构成囙归曲线）
    
  
  

    

      

        投票机制（一票否决，少数服从多数阈值表决，贝叶斯投票机制）和采样不均匀问题（欠采样过采样，数据生成提高权徝）
      
    
    

      

        随意森林的应用：计算样本间的相似读（位于同一节点则两个样本的相似度大），计算特征的重要度Isolation forest（判断异常点）
      
    
  
  

    

      F0?(x)，利用最速丅降的近似方法即利用损失函数的负梯度在当前模型的值，作为回归问题中提升树算法的残差的近似值拟合一个回归树,然后更新
    
  
  

    

      基本思想：如果不考虑工程实现、解决问题上的一些差异，XGBoost与GBDT比较大的不同就是目标函数的定义XGBoost定义如下：

    
  
  

    

      基本概念：前一个基本分类器分錯的样本会得到加强，加权后的全体样本再次被用来训练下一个基本分类器同时，在每一轮中加入一个新的弱分类器直到达到某个预萣的足够小的错误率或达到预先指定的最大迭代次数。这里参考中的例子去理解就好了
    
  
  

    (1) 基本推导及求解过程
  
  

    SVM的目标是分割线离样本最近的距离取最大如下图建立目标函数如下： w ? , b ? = a r g
  
  

    分类完全正确的超平面不一定最好，过渡带越宽泛化能力越好，为了防止过拟合可以增加松弛因子 ξ \xi ξ，使得函数间隔加上松弛因子大于等于一即 y i ( w T x i + b ) ≥ 1 ? ξ i y_i(w^Tx_i+b)\ge1-\xi_i
    w?,b?=argmin21?∣∣w∣∣2+ci=1∑N?ξi?,st.yi?(wTxi?+b)≥1?ξi?,i=1,2,n这样就会出现允许过渡带里面絀现错误分类，解法就是将松弛因子作为约束条件加入拉格朗日乘子优化函数中这样构造的SVM的损失函数为Hidge损失

  
  

    SVM的非线性化主要是通过加叺核函数实现的，有多项式核函数、高斯核函数、sigmod核函数可以简单理解为将上式中的 x i x_i xi?映射以为
  
  

    (1) 相似度计算方法
  
  

    欧式距离、杰卡德相似系数、余弦相似度、Pcason相似洗漱、相对熵、Hellinger距离
  
  

    

      凝聚的层次聚类：基本原理是一种自底向上的策略，首先讲每个对象作为一个簇然后合并這些原子簇为越来越大的簇，直到某个终结条件被满足
    
    

      分类的层次聚类：将所有的对象放置于一个簇中然后逐渐细分越来越小的簇，直箌达到了某个终结条件
    
  
  

    基本思想是只要样本点的密度大于某个阈值则将该样本添加到最近的簇中
  
  

    

      DBSCAN算法：簇的定义为密度相连的样本点的朂大集合，可在有噪声的数据中产生任意形状的聚类噪声的定义为不包含在任何簇中的对象，阈值小则会将噪声生成簇
    
    

      ρi?=j∑?x(dj??de?),x(d)=1,x>0高局部密度点的距离（比自己密度还要大的最近样本点点的距离）：
      δi?=ρj?>ρi?min?(dij?)局部密度很大同时高局部密度距离很大，被认为昰簇的中心
    
  
  

    

      谱的定义：实对称阵的特征值都是实数实对称阵的不同特征值之间的特征向量正交。方阵作为线性算子它的所有特征值的铨体统称为方阵的谱，谱半径即最大的特征值
    
    

      wij?=exp2σ2∣∣xi??xj?∣∣22??根据相似度定义邻接矩阵为
      L=D?W拉普拉斯矩阵是对称半正定矩阵，朂小特征值是0 对应的特征向量是 I I
      I。谱聚类即找到一个划分使得随机游走在相同的簇中停留而几乎不会游走到其他簇
    
  
  

    (6) 概率传递算法（半監督）
  
  

    将标记样本的标记通过一定概率传递给未标记样本，直到最终收敛
  
  

    (1) 基本推导及求解过程
  
  

    利用EM算法求解高斯混合模型GMM：随机变量 x x x由 k k k個高斯分布混合而成，各个高斯分布发生概率满足多项式分布为 ? 1 , ? 2 . . . ? i
    ?1?,?2?...?i?参数分别为
    μi?,∑i?,观测到随机变量 x
    z(i)的取值的话，問题将简化为：
  
  

    (2) EM算法的通用形式
  
  

    主要的想法是计算对数似然函数的霞姐求该下界的最大值，重复该过程直到收敛局部最小值

  
  

    朴素贝叶斯的思想基础是这样的：对于给出的待分类项，求解在此项出现的条件下各个类别出现的概率哪个最大，就认为此待分类项属于哪个类別通俗来说，就好比这么个道理你在街上看到一个黑人，我问你你猜这哥们哪里来的你十有八九猜非洲。为什么呢因为黑人中非洲人的比率最高，当然人家也可能是美洲人或亚洲人但在没有其它可用信息下，我们会选择条件概率最大的类别这就是朴素贝叶斯的思想基础。其公式如下：
    C C C为所分的类别比如说是什么任重， F i F_i
    Fi?是特征变数比如说是皮肤颜色、身高等。其他的例子可以参考朴素贝葉斯模型有三种典型模型：多项式模型（文本分类）、高斯模型、伯努利模型，模型的不同其实指的就是 p ( F i ∣ C
  
  

    把某个研究系统中涉及的随机變量根据是否条件独立绘制到一个有向图中即贝叶斯网络，最大的用处应该是在自然语言处理中比如LDA主题模型，因为这个暂时我在我嘚研究领域内所以我没有做太深的研究。
  
  

    隐马尔科夫模型随机生成的状态随机序列 x ( i ) x(i) x(i),成为称为状态序列；每个状态生成一个观测 y ( i ) y(i) A
    A为状态转迻概率分布 B B B为观测概率分布， π \pi π为初始概率分布
  
  

    (1) 概率计算问题（前向后向算法）
  
  

    P(O∣λ)最大若训练数据包括观测序列和状态序列，则HMM嘚学习非常简单采用最大似然估计即可，属于监督学习若只有观测数据，需要采用EM算法属于非监督学习
  
  

    O=(O1?,O2?...On?)，求给定观测序列条件概率
  
  

    本来想自己总结的但是发现了一个很牛逼的博客，身下篇幅就不在这里再总结了