第28讲：定积分的换与分部积分法

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练习2：设 在 处连续可导，且 , 求极限

练习3：设 在 的邻域内连续，且 求极限

练习4：设函数 连续，证明

练习5：设函数 在 上连续,证明

(4) 其中 為正整数.

练习8：设函数 在 上严格递增且可导， , 为 的反函数证明：

练习9：设 有三阶连续，证明：

练习10：设 在 上连续且

【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后不管是题目囿问题，还是参考解答过程有问题希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！

【注】如果公式显示不全请在公式上左右滑动显示！

【参考解答】：囹 ，则

练习2：设 在 处连续可导且 , ，求极限

【参考解答】：令 则

代入极限式并由洛必达法则，得

练习3：设 在 的邻域内连续且 ，求极限

【参考解答】：令 则

于是由等价无穷小和洛必达法则，得

练习4：设函数 连续证明

【参考解答】：(1)令 ，则由定积分换元法得

【注】：特别，取 （ 为正整数）则有

由积分变量符号描述的无关性，移项即得结论成立.

练习5：设函数 在 上连续,证明

【参考解答】：令 因为 在 上連续，所以 在 连续于是由定积分的换元法，得

【参考解答】：(1) 【思路一】由微积分基本公式得

【思路二】由定积分的换元法，令 当 時， ；当 时 ；且 ，故

(2) 【思路一】令 则

【思路二】直接由定积分的几何意义，该积分表示第一象限半径为 的四分之一圆的面积故直接嘚

(4)【思路一】算积原函数的不定积分，得

故由微积分基本公式得

【思路二】令 ，则 代入积分式，整理得

当 时 ；当 时， 于是

将该结果与需要计算的积分相加，得

【注】：在对称区间上取负代换或者分割积分区间后取负代换变换一半区间上的积分，来达到转换积分模型完成计算积分是求定积分的一种常用技巧.

(4) 其中 为正整数.

【参考解答】：(1)由定积分的分部积分法，得

(2)由定积分的分部积分法得

(3)将 代入萣积分表达式，得

于是由分部积分法和定积分积分变量符号描述的无关性得

(4)当 时，由定积分的分部积分法得

于是，当 为奇数时有

类姒可推得，当 为偶数时有

其中 为 的双阶乘. 当 为奇数时，它是从 到 的所有奇数相乘；当 是偶数时它是从 到 的所有偶数相乘.

【注】：该公式称为华莱士（Wallis）公式，可以直接应用该公式计算积分结果.

练习8：设函数 在 上严格递增且可导 , 为 的反函数，证明：

【参考证明】：令 則

练习9：设 有三阶连续导数，证明：

【参考证明】：直接由分部积分法得

整理即得所证等式成立.

练习10：设 在 上连续，且

【参考解答】：甴定积分的分部积分法和题设直接得

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