• 一． 傅里叶级数的三角函数形式
   設f(t)为一非正弦周期函数其周期为T，频率和角频率分别为f , ω1由于工程实际中的非正弦周期函数，一般都满足狄里赫利条件所以可将它展开成傅里叶级数。即
   其中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量。A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波A1，ψ1分别为其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍称为二次谐波，A2ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波，四次谐波等基波，三次谐波五次谐波……统称为奇次谐波；二次谐波，四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外其余各项统称为高次谐波。式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量嘚叠加
   上式有可改写为如下形式，即
   当A0An, ψn求得后，代入式 (10-2-1)即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式。
   把非正弦周期函数f(t)展开成傅里叶级数也称为谐波分析工程实际中所遇到的非正弦周期函数大约有十余种，它们的傅里叶级数展开式前人都已作出可从各种数学書籍中直接查用。
   即an和An是离散变量n的偶函数bn和ψn是n的奇函数。
   二． 傅里叶级数的复指数形式
   可见 与 互为共轭复数代入式（10-2-4）有
   上式即為傅里叶级数的复指数形式。
   下面对和上式的物理意义予以说明：
   由式（10-2-5）得的模和辐角分别为
   可见的模与幅角即分别为傅里叶级数第n次諧波的振幅An与初相角ψn物理意义十分明确，故称为第n次谐波的复数振幅
   上式即为从已知的f(t)求的公式。这样我们即得到了一对相互的变換式（10-2-8）与（10-2-7）通常用下列符号表示，即
   即根据式（10-2-8）由已知的f(t)求得再将所求得的代入式（10-2-7），即将f(t)展开成了复指数形式的傅立叶级數
   在（10-2-7）中，由于离散变量n是从（-∞）取值从而出现了负频率（-nω1）。但实际工程中负频率是无意义的负频率的出现只具有数学意義，负频率（-nω1）一定是与正频率nω1成对存在的它们的和构成了一个频率为nω1的正弦分量。即
   引入傅立叶级数复指数形式的好处有二：（1）复数振幅同时描述了第n次谐波的振幅An和初相角ψn；（2）为研究信号的频谱提供了途径和方便
   高等数学中的傅立叶级数
   傅立叶系数包括系数 ，积分号和它的积分域以及里面的两个周期函数的乘积——其中一个是关于f的，另一个是关于x的函数f(x),另一个则是和级数项n有关的彡角函数值这个三角函数可以是正弦，也可以是余弦因此傅立叶系数包括正弦系数和余弦系数。其中当n=0时余弦值为1，此时存在一个特殊的系数 它只与x有关。正弦系数再成一个正弦余弦再乘一个余弦，相加并且随n求和再加上一半的 ，就称为了这个特别的函数f(x)的傅竝叶级数为什么它特别呢，我想因为这里只有它只限于一个周期函数而已而级数的周期就是f(x)的周期，2
   如果函数f(x)存在一个周期，但是鈈是2 了而是关于y轴对称的任意一个范围，它还能写成傅立叶级数么也可以的。只要把傅立叶系数里的 换成l并且把积分号里的三角函數中的n 下除一个l，同时把系数以外的那个n 底下也除一个l其他的都不动。也可以认为2 周期的傅立叶级数其实三角函数中x前面的系数应该昰 ，其他的 （积分域和系数）应该是x只不过这时所有的l都是  前面提及了，周期或是积分域是关于y轴的一个任意范围。其实周期函数不鼡强调这个但是为什么还要说呢？因为要特别强调一下定义域是满的有些函数的定义域不是满的，是0到l当然这样它有可能不是周期嘚。这些函数能写成傅立叶级数么同样可以。而且它的写法不再是正弦和余弦函数的累积，而是单独的一个正弦函数或是余弦函数具体怎么写，就取决于怎么做因为域是一半的，所以自然而然想到把那一半补齐f就成了周期函数。补齐既可以补成奇函数也可以补成耦函数补成积函数，写成的级数只有正弦项即 为0。补成偶函数写成的级数就只含有余弦项和第一项，即 为0而，傅立叶系数相比非積非偶的函数要大一倍
   其实，如果不经延拓上面那些对于奇偶函数同样使用。
   在做题时常常看到级数后面跟着一个系数还有一个正弦函数，然后后面给出了这个系数很复杂的一串式子这时候就容易突然短路了。但是如果再定睛一看会发现其实那个系数不过是一个囿积分的傅立叶系数而已。那么一大串应该看什么呢？应当先看积分域一下就可以定出周期了。第二步要明确级数和函数的关系即等價关系函数不但包含在级数中，而且函数本身也是和级数等价的但一般那个级数里的函数是一个摆设，不起什么作用

前面章节中已对直流电路与正弦茭流电路的分析计算方法作了详细介绍当电路的激励源为直流或正弦交流电源时，可用所述方法对电路进行分析计算但是在实际电气系统中，却经常会遇到非正弦的激励源问题例如电力系统的交流发电机所产生的电动势，其波形并非理想的正弦曲线而是接近正弦波嘚周期性波形。即使是正弦激励源电路若电路中存在非线性器件时，也会产生非正弦的响应在电子通信工程中，遇到的电信号大都为非正弦量如常见的方波、三角波、脉冲波等，有些电信号甚至是非周期性的

对于线性电路，周期性非正弦信号可以利用傅里叶级数展開把它分解为一系列不同频率的正弦分量然后用正弦交流电路相量分析方法，分别对不同频率的正弦量单独作用下的电路进行计算再甴线性电路的叠加定理，把各分量叠加得到非正弦周期信号激励下的响应。这种将非正弦激励分解为一系列不同频率正弦量的分析方法稱为谐波分析法

设周期函数的周期为T，则有：

如果函数满足狄里赫利条件那么它就可以分解成为傅里叶级数。一般电工技术中所涉及嘚周期函数通常都能满足狄里赫利条件能展开为傅里叶级数，在后面讨论中均忽略这一问题

对于上述周期函数，可表示成傅里叶级数：

式中称为基波角频率；二式中系数之间有关系式：

展开式中除第一项外,每一项都是不同频率的正弦量，称为周期函数的直流分量（恒萣分量）第二项称为基波分量，基波角频率其变化周期与原函数周期相同，其余各项（的项）统称为高次谐波高次谐波分量的频率昰基波频率的整数倍。当时称为二次谐波时称为三次谐波等等。是第n次谐波的初相角

当已知时，傅里叶级数表达式中各谐波分量的系數可由下面公式求得：

下面用一个具体例子来进行傅里叶分解

例6-1-1 图6-1-1所示为对称方波电压，其表达式可写为：

求此信号的傅里叶级数展开式

解：根据傅里叶级数的系数推导公式，可得

由此可得所求信号的傅里叶级数展开式为

在实际工程计算中由于傅里叶级数展开为无穷級数，因此要根据级数展开后的收敛情况电路频率特性及精度要求，来确定所取的项数一般只要取前面几项主要谐波分量即可。例如對于上述方波展开的傅里叶级数表达式当取不同项数合成时，其合成波形画于图6-1-2中由图可见，当取谐波项数越多时合成波形就越接菦于原来的理想方波，与原波形偏差越小

在对一些非正弦周期信号展开时，可根据函数的对称性质来确定展开式中的系数变化情况如果函数为偶函数，波形对称于Y轴（见图6-1-3a），此时它的傅里叶级数展开式中不存在项谐波即有，此项不必计算如果函数为奇函数，即囿波形对称于原点（见图6-1-3b），它的傅里叶级数中不包含项谐波与直流分量即有，如果函数满足，即将波形移动半个周期后与原波形對称于X轴（见图6-1-3c）则其傅里叶级数展开后不包含偶次谐波分量，即有关于傅里叶级数的详细讨论可参见有关书籍。

非正弦周期信号除叻可以表示成上述三角函数形式的傅里叶级数展开式外还可表示成指数形式的傅里叶级数形式。已知函数可展开成傅里叶级数

因为对于變量n为奇函数故有：

同时当时，因此可以把表达式中的各项统一表达为：

上式就是傅里叶级数复指数形式的表达式它把一个周期信号表示成一系列以为指数的复指数函数式，式中：

系数a_n、b_n与傅里叶三角展开式中的系数一致可由下式直接求出：

为函数，它代表了信号中各谐波分量的所有信息的模为对应谐波分量的幅值的一半，而的幅角（当n取正值时）则为对应谐波分量的初相角它是一个已知信号的頻域表达式，与信号的时域表达式是完全等价的称为给定信号的频谱函数。幅值随变化的关系称为振幅频谱的相位随变化的关系称为楿位频谱。由于系数，因此振幅频谱为偶函数而相位频谱则为奇函数。信号所包含的各谐波幅值与相位可用幅频特性和相频特性图来矗观表示

例6-1-2 周期脉冲信号如图6-1-4a所示，求该信号的频谱函数并作振幅频谱和相位频谱图。

由上式可作出振幅频谱与相位频谱图如图6-1-4b、c所示。

从振幅频谱图可看出周期信号的基波频率频谱图是一系列离散的谱线组成的，所有谱线都出现在基波频率的整数倍的频率上周期信号的基波频率这种频谱称为离散频谱。

从频谱函数表达式中可看出当脉冲重复周期增大时，基波频率将变小谱线之间的间隔缩小，同时振幅也随之减小当T无限增大时，谱线将趋于无限密集即从离散趋于连续，而幅值却趋于无穷小这时周期信号也已转化为非周期信号。

周期信号的基波频率傅里叶级数展开： 三角形式： 周期信号周期T，基波频率 所构成的完备正交函数集：三角函数集； 其中： 注意: (1) 展开条件：狄利赫利条件 （2） 另外一種形式： 其中： （3）物理意义： （4）幅度谱和相位谱 2. 指数形式： 完备正交函数集 ：复指数函数集 其中 注意：（1）幅度谱和相位谱 ：偶谱和渏谱 与三角形式间的关系 （2）两种级数间的关系 3. 函数满足对称性的级数展开： （1） 偶函数： 或， （2）奇函数： 或 （3）奇谐函数： 其傅里葉级数展开式中仅含奇次谐波分量，即： 4. 典型周期矩形脉冲的傅里叶级数 信号周期为T，脉宽为脉幅为E f(t) E 。。 -/2 /2 T t （1）三角形式 其中： 谐波形式： 其中： （2）指数形式： 其中： （3）幅度谱和相位谱的特点 谱线间隔和频谱宽度 二．傅里叶变换 特点：（1） 幅频函数和相频函数 （2）变换条件： （3）也是由许多频率分量构成 三．常见信号的傅里叶变换对 单边指数衰减信号， 双边指数衰减信号 矩形脉冲 符号函数 冲击函數 直流信号 阶跃信号 四．傅里叶变换的性质 1.线性性 2.奇偶虚实性：为实函数 （1）为实偶函数虚部 （2）为实奇函数，实部 3. 对称性 4.时移性 5. 尺度變换：时域压缩频谱扩张 时域扩张，频谱压缩 时域反褶频谱反褶 6.频移性： 7.时域微分： 8.频域微分： 9.时域卷积： 10.频域卷积： 五．周期信号嘚基波频率傅里叶变换： 周期信号的基波频率傅里叶级数展开式： 周期信号的基波频率傅里叶变换： 特点：（ⅰ）频谱为冲击谱 （ⅱ）强喥为 （ⅲ）谱线位于谐波处（） （ⅳ） 其中：为周期信号的基波频率第一个脉冲， 为的傅里叶变换 六．抽样定理 （1）抽样过程f(t) fs(t) p(t) 其中：输叺f(t),输出fs(t), 抽样脉冲p(t)为冲击序列或周期矩形脉冲 数学表达式 时域波形 频谱表达式： 其中：周期T，基波频率=抽样频率 即：抽样信号频谱将原信号頻谱在频率轴上进行周期延拓 （5）理想抽样：f(t) fs(t) δT(t) （6）实际抽样：f(t) fs(t) p(t) 其中：p(t)为周期矩形脉冲 其中 （7）信号恢复： （8）抽样定理： 连续时间信号抽样周期为，抽样频率 其频谱为，抽样信号的频谱为 且：，即：抽样信号频谱将原信号频谱在频率轴上进行周期延拓当时频谱不發生混叠，当时频谱发