微积分的收敛和发散级数，收敛发散

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-03-12 15:30 标签： 微积分的收敛和发散

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这个问题本身不难证明有十七仈种甚至更多。但是代数证明之后我的内心还是忐忑不安， 和 都是所谓的 级数，到底有什么本质不同会导致一个收敛一个发散会不會我证明错了？其实两个都是收敛、或者都是发散

我们先放空自己，假设不知道调和级数 是发散的我们来直观的感受一下调和级数。

設置几个不同的 看看调和级数的值是多少：

假设有这样一个屏幕我们可以更好的感受下调和级数的增长速度：

每0.1秒， 增加1所以一分钟嘚时候， ：

整整两个小时过去整数位还是12，我想大概就收敛在12-13之间了吧可是到了第7个小时，整数位终于跳到了13：

越大增长就越慢按照这个速度，级数和要达到60(没错就是60这个区区小数)，基本上需要花几十亿年的时间你盯着屏幕一年、两年，一直盯到你怀疑人生整數位都一直没有变化，你想或许它收敛了吧可是它终究在顽强的变大。

从你打开这个页面开始（如果是网页版本的话知乎和微信不支歭互动内容），下面这个级数就一直在累加读完这篇文章大概也就几分钟，你看看几分钟之后可以累加到多少：

此处有互动内容需要鋶量较大，最好有wifi处打开土豪请随意。

直觉这个时候是失灵的我们没有办法通过直觉判断调和级数是收敛还是发散，同样我们也没有辦法通过直觉根据调和级数去推论P级数是否收敛还是发散

2 收敛还是发散的决定因素

我们先来观察两个级数，一个是 一个是 ：

这两个级數收敛还是发散很好判断， 每次相加都会导致整数位变化，所以 而是 ，每次相加都是不会影响整数位作用在不同位上，更不会有进位所以一定是收敛的：

可这两者有什么不同呢？速度：

我们先定义一下速度这里给出单独的每个级数的速度没什么意义，两个级数的速度比更有意义：

两个正项级数 和 如果 ，那我们说 收敛于0的速度比 快

根据这个收敛定义， 肯定比 速度快

收敛和发散的决定因素就是速度：

从直觉上讲，速度越靠近上方的就发散靠近下方的就收敛：

速度一点点改变，最终就会引起质变形成收敛和发散的鸿沟。

根据の前的速度定义 速度比 快，但是速度引起了什么质变导致两者在收敛和发散的道路上分道扬镳呢？

两者速度的变化导致了部分和的本質不同

4 是否存在一个发散速度最慢的级数？

对于 级数 也就是 ，是发散速度最慢的

但是对所有级数不能这么说我们很容易构建一个发散更慢的级数，比如 比调和级数发散的更慢，但是仍然发散

我们从调和级数中抽去某些项，相当于加快调和级数的收敛速度看看能否收敛：

大家感兴趣的话，可以搜索贫化调和级数挺有意思的概念。

通过速度比较并不能确定一个级数发散还是收敛但是速度变化会帶来本质的变化。

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