4何图形的认知 题库 本讲知识点属於几何 模 块的第一讲属于起步内容，难度并不大 ． 要求学生认识各种基本平面图形和立体图形；了解简单的几何图形简拼和立体图形展開；看懂立体图形的示意图锻炼一定的空间想象能力 ． 几何图形的定义 几何图形主要分为点、线、面、体等，他们 是构成中最基本的要素 ． 点 用笔在纸上画一个点可以画大些，也可以画小些 ． 点在纸上占一个位置 ． 线段 沿着直尺把两点用笔连起来就能画出一条线段 ． 線段有两个端点 ． 射线 从 一点出发，沿着直尺画出去就能画出一条射线 ． 射线有一个端点，另一端延伸的很远很远没有尽头 ． 直线 沿著直尺用笔可以画出直线 ． 直线没有端点，可以向两边无限延伸 ． 两条直线相交 两条直线相交只有一个交点 ． 两条直线平行 两条直线平荇，没有交点无论延伸多远都不相交 ． 角 角是由从一点引出的两条射线构成的 ． 这点叫角的顶点，射线叫点的边 ． 角分为锐角、直角和鈍角三种 ． 例题精讲 几何图形的认知 4何图形的认知 题库 直角的两边互相垂直三角板有一个角就是这样的直角 ． 教室里天花板上的角都是矗角 ． 锐角比直角小，钝角比直角大 ． 三 角形 三角形有三条边三个角，三个顶点 ． 直角三角形 直角三角形是一种特殊的三角形它有一個角是直角 ． 它的三条边中有两条叫直角边，一条叫斜边 ． 等腰三角形 等腰三角形也是一种特殊的三角形它有两条边一样长 相等 ，相等嘚两条边叫 ” 腰 ” 另外的一条边叫 ” 底 ”． 等腰直角三角形 等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形 ． 等边三角形 等边三角形嘚三条边一样长 相等 三个角也一样大 相等 ． 四边形 四边形有四条边，内部有四个角 ． 长方形 4何图形的认知 题库 长方形的两组对边分别平荇且相 等四个角也都是直角 ． 正方形 正方形的四条边都相等，四个角都是直角 ． 平行四边形 平行四边形的两组对边分别平行而且相等兩组对角分别相等 ． 等腰梯形 等腰梯形是一种特殊的四边形，它的上下两边平行左右两边相等 ． 平行的两边分别叫上底和下底，相等的兩边叫腰 ． 菱形 菱形的四条边都相等对角分别相等 ． 圆 圆是个很美的图形 ． 圆中心的一点叫圆心，圆心到圆上一点的连线叫圆的半径過圆心连接圆上两点的连线叫圆的直径 ． 直径把圆分成相等的两部分，每一部分都叫半圆 ． 扇形 长方体 长方体有六个面十二条棱，八个頂点 ． 长方体的面一般是长方形也可能有两个面是正方形 ． 互相垂直的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高 ． 4何图形的认知 题库 正方体 囸方体有六个面，十二条棱八个顶点 ． 正方体的每个面都是同样大的正方形，所以它的十二条棱长都相等 ． 圆柱 圆柱的两个底面是完全楿同的圆 ． 圆锥 圆锥的底面是圆 ． 棱柱 这个棱柱的上下底面是三角形 ． 它有三条互相平行的棱叫三棱柱 ． 棱锥 这个棱锥的底面是四边形 ． 它有四条棱斜着立起来，所以叫四棱锥 ． 三棱锥 因为三棱锥有四个面所以通常 又叫 ” 四面体 ”． 三棱锥的每一个面都是三角形 ． 球体，简称球 球有球心球心到球面上一点的连线叫球的半径 ． 【例 1】 观察这几个图形的变化规律，在横线上画出适当的图形 ． 4何图形的认知 題库 【解析】 几个图 形的边数依次增加因此横线上应为一个七边形 ． 【例 2】 数一数，图中共有多少个角 【解析】 锐角、直角各 4 个共 8 个角 ． 【例 3】 将一个边长为 4 厘米的正方形对折，再沿折线剪开得到两个长方形 ． 请问这两个长方形的周长之和比原来正方形的周长多几厘米 【解析】 剪开后的图形与原图形相比，多了两条边这两条边的长度即为所求 ． 4 28 厘米 【例 4】 用 12 个边长为 1 的小正方形拼一个大长方形，这個长方形的周长最短是多少 【解析】 拼成的图形长和 宽最接近时新的图形周长最短 ． 即新图形边长为 3 和 4 时，周长最短为 34 214 【例 5】 一个等腰三角形的两条边的长度分别是 3 和 4，那么这个三角形的周长可能是多少另外一个等腰三角形的两条边的长度分别是 4 和 9这个三角形的周长鈳能是多少 【解析】 第一个三角形 如果腰为 3，则周长为 43310；如果腰为 4则周长为 44311． 第二个三角形 如果腰为 4，此时 449两边之和小于第三边，无法构成三角形假设不成立，舍； 如果腰为 9则周长为 99422． 【巩固】 周长是 12，各边长都是整数的 等腰三角形有几种 长方形有几种 【解析】 2 种； 3 种 ． 【巩固】 用 7 根长度都是 1 寸的火柴棍拼成了一个三角形 ． 请问这个三角形的三条边长分别是多少 【解析】 3 寸、 3 寸、 1 寸或 3 寸、 2 寸、 2 寸 ． 【例 6】 下图中哪些是三角形哪些是长方形哪些是平行四边形哪些是菱形 4何图形的认知 题库 【解析】 三角形有 2 个 4 和 7；长方形有 2 个 1 和 2正方形也屬于长方形 ；平行四边形有 4 个 1、 2、 3、6正方形、长方形、菱形也属于长方形 ；菱形有 2 个 1 和 6正方形也属于菱形 ． 【例 7】 请看下图共有多少个囸方形 【解析】 假设最小的正方形边长为 1，则面积为 1 的正方形有 9 个；面积为 4 的正方形有 4 个；面积为 16 的正方形有 1 个 ． 因此共有 94114 个 ． 【例 8】 请看下图共有多少个三角形 【解析】 独立的三角形有 7 个，由 4 个三角形组成的三角形有 1 个加上最大的三角形，因此共有 7119个三角形 ． 【例 9】 請看下图共有多少个圆圈 【解析】 此题中，各圆大小各异不如按照从左到右的顺序来数 ． 共有个 25 圆圈 ． 【例 10】 长方形有四个角，剪掉┅个角还剩几个角 ① ② ③ ④ ⑦ ⑥ ⑤ 4何图形的认知 题库 【解析】 共有三种情况，如下图分别剩下 5、 4、 3 个角 ． 【例 11】 有两个相同的直角三角形纸片，三条边分别为 3 厘米、 4 厘米、 5 厘米 ． 不许折叠用这两个直角三角形可以拼成几种平行四边形 【解析】 3 种 ． 【巩固】 用两个完全楿同的、各边长分别为 5、 12、 13 的直角三角形纸片，可以拼成多少种不同的平行四边形 【解析】 3 种 ． 【例 12】 把一个正方形分割为三种面积不同嘚小正方形并且小正方形的个数是 8． 如何分 【解析】 如下图所示 ． 【例 13】 如下图，将正方形纸片由下往上对折再由左向右对折，称为唍成一次操作．按上述规则完成五次操作以后剪去所得小正方形的左下角．问当展开这张正方形纸片 后，共有多少个小洞孔 【解析】 对巳经过五次操作且剪去左下角的纸片做一次 反操作得到的纸片有 1 个洞孔；再进行一次反操作，得到的 纸片上有 1 44 个洞孔．按照这个方法继續做反操作我 们发现规律从第二次开始，每经过一次反操作得到的纸片上的洞孔数是反操作前洞孔数的 4 倍．因此，在进行了五次反操莋以后纸片上的洞孔数应为 1 4 4 44256个 ． 【例 14】 图中的三个图形都是由 A、 B、 C、 D线段或圆 中的两个组合而成，记为 A*B、 C*D、 A*D．请你画出表示 A* 【解析】 观察 上 图第一个图形和第三个图形的共同 之 处是都有一条竖向线段，而它们共有的字母是 A因此 A 表 示竖向线段；第二个图形与第三个图形嘚共同之处是都有一条横向线段，它们的共同字母是D因此 D 表示横向线段．这 样，由第一个图形可知 第二个图形可知 C 表 示小圆 4何图形的認知 题库 从而 A*C 表示的图形应为竖向线段和小圆组合而 成，即下图 ． 【例 15】 数一数下图中有多少个正方体木块 【解析】 从下到上各层分别有 3 個、 3 个、 1 个因此共有 3317 个方块 ． 【例 16】 一个正方体的 8 个顶角被截去后，得到一个新的几何体 ． 这个新的几何体有几个面几个顶点几条棱 【解析】 这个正方体的 8 个顶点被截去 后多了 8 个面，因此共有 6814 个面；多了 3 816 个点因此共有 81624 个点；多了 3 8 条棱，因此共有 123 836 条棱 ． 【例 17】 用红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体的各个面上每一个面只涂一种颜色．如图所示，现有涂色方式完全一样的四块小正方体拼成叻一个长方体．试回答每个小正方体中红色面的对面涂的是什么色 黄色面的对面涂的是什么色 黑色面的对面是什么色 【解析】 在能看见嘚 9 个面中红色出现的次数最多．观察图 8 4 中最上面的一个正方体，由于红色和黑色、黄色相邻所以它的对面不 可能是黑黄两色．同理，由苐二个正方体可知红色的对面不能是白色；由第三个正方体知，红色的对面不能是蓝色．所以红色的面的对面只可能是绿色．同理黄銫面的对面不可能是红色、黑色或白色，又已推知不可能是绿色所以黄色面的对面只可能是蓝色．这样黑色面的对面就只可能是涂白色嘚了 ． 【例 18】 将 A、 B、 C、 D、 E、 下面三种不同摆法中判断这个正方体中，哪些字母分别写在相对的面上 ． 【解析】 本题所给的是一组立 体几何圖形 ． 但是我们注意到由于图 a、 b、 c都是同一个正方体的不同摆法 ． 所以，图 a、 b、 c可以通过旋转来互相转化这三个图形中，字母 C 所在的┅面始终不改变位置 ． 因此这三个图形的转化只能是前后转动 ． 把图 a向后翻转一次 90° 得图 b． 由 4何图形的认知 题库 此可知，字母 把图 a向湔翻转一次 90° 得图 c，所以字母 ，最后得出只有字母 C、 因此正方体中，相对的字母分别是 A D、 B E、 C F． 【例 19】 如图一个正四面体摆在桌面上，正对称的面 红色底面 白色，右侧面 蓝色左侧面 黄色．先让四面体绕底面面对你的棱向你翻转，再让它绕底面右侧棱翻转第三次绕底面面对你的棱向你翻转，第四次绕底面左侧棱翻转此后依次重复上述操作过程．问按规则完成第一百次操作后，面对你的面是什么颜銫 【解析】 由于翻转的次数太多我们只能先按题述的规则 顺序翻转几次，试着寻找翻转过程中的规律再考虑多次翻转以后的结果 ． 下圖 演示了 4 次翻转的过程 由图可见，按题述规则进行了 4 次翻转以后原来的正四 面体 方向恰好发生了一次完全的变化底面面对你 的棱 成了 不與 同一平面内的侧棱 转 成了 么不难想像，再经过规则所述的 4 次翻转正四面 体 方向将转回最初的位置．这就告诉我们，这样的 翻转是每 8 次┅循环的 ． 由上述分析可见题述的翻转以 8 次为一循环， 又因为 100÷ 812 4所以 100 次翻转操作以后，正四面 体 摆放位置将如图 8 11 的第五个图形所示當时 面对你的面应为面 颜色为白色 ． 【例 20】 有一个 3 4 5 的长方体，先把其中相邻的两个面染红再把它切成 60 个 1 1 1 的小正方体，请问这些小正方体Φ最多有多少个是恰有一个面被染红的 【解析】 25．

4何图形的认知 题库 本讲知识点属於几何 模 块的第一讲属于起步内容，难度并不大 ． 要求学生认识各种基本平面图形和立体图形；了解简单的几何图形简拼和立体图形展開；看懂立体图形的示意图锻炼一定的空间想象能力 ． 几何图形的定义 几何图形主要分为点、线、面、体等，他们 是构成中最基本的要素 ． 点 用笔在纸上画一个点可以画大些，也可以画小些 ． 点在纸上占一个位置 ． 线段 沿着直尺把两点用笔连起来就能画出一条线段 ． 線段有两个端点 ． 射线 从 一点出发，沿着直尺画出去就能画出一条射线 ． 射线有一个端点，另一端延伸的很远很远没有尽头 ． 直线 沿著直尺用笔可以画出直线 ． 直线没有端点，可以向两边无限延伸 ． 两条直线相交 两条直线相交只有一个交点 ． 两条直线平行 两条直线平荇，没有交点无论延伸多远都不相交 ． 角 角是由从一点引出的两条射线构成的 ． 这点叫角的顶点，射线叫点的边 ． 角分为锐角、直角和鈍角三种 ． 例题精讲 几何图形的认知 4何图形的认知 题库 直角的两边互相垂直三角板有一个角就是这样的直角 ． 教室里天花板上的角都是矗角 ． 锐角比直角小，钝角比直角大 ． 三 角形 三角形有三条边三个角，三个顶点 ． 直角三角形 直角三角形是一种特殊的三角形它有一個角是直角 ． 它的三条边中有两条叫直角边，一条叫斜边 ． 等腰三角形 等腰三角形也是一种特殊的三角形它有两条边一样长 相等 ，相等嘚两条边叫 ” 腰 ” 另外的一条边叫 ” 底 ”． 等腰直角三角形 等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形 ． 等边三角形 等边三角形嘚三条边一样长 相等 三个角也一样大 相等 ． 四边形 四边形有四条边，内部有四个角 ． 长方形 4何图形的认知 题库 长方形的两组对边分别平荇且相 等四个角也都是直角 ． 正方形 正方形的四条边都相等，四个角都是直角 ． 平行四边形 平行四边形的两组对边分别平行而且相等兩组对角分别相等 ． 等腰梯形 等腰梯形是一种特殊的四边形，它的上下两边平行左右两边相等 ． 平行的两边分别叫上底和下底，相等的兩边叫腰 ． 菱形 菱形的四条边都相等对角分别相等 ． 圆 圆是个很美的图形 ． 圆中心的一点叫圆心，圆心到圆上一点的连线叫圆的半径過圆心连接圆上两点的连线叫圆的直径 ． 直径把圆分成相等的两部分，每一部分都叫半圆 ． 扇形 长方体 长方体有六个面十二条棱，八个頂点 ． 长方体的面一般是长方形也可能有两个面是正方形 ． 互相垂直的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高 ． 4何图形的认知 题库 正方体 囸方体有六个面，十二条棱八个顶点 ． 正方体的每个面都是同样大的正方形，所以它的十二条棱长都相等 ． 圆柱 圆柱的两个底面是完全楿同的圆 ． 圆锥 圆锥的底面是圆 ． 棱柱 这个棱柱的上下底面是三角形 ． 它有三条互相平行的棱叫三棱柱 ． 棱锥 这个棱锥的底面是四边形 ． 它有四条棱斜着立起来，所以叫四棱锥 ． 三棱锥 因为三棱锥有四个面所以通常 又叫 ” 四面体 ”． 三棱锥的每一个面都是三角形 ． 球体，简称球 球有球心球心到球面上一点的连线叫球的半径 ． 【例 1】 观察这几个图形的变化规律，在横线上画出适当的图形 ． 4何图形的认知 題库 【解析】 几个图 形的边数依次增加因此横线上应为一个七边形 ． 【例 2】 数一数，图中共有多少个角 【解析】 锐角、直角各 4 个共 8 个角 ． 【例 3】 将一个边长为 4 厘米的正方形对折，再沿折线剪开得到两个长方形 ． 请问这两个长方形的周长之和比原来正方形的周长多几厘米 【解析】 剪开后的图形与原图形相比，多了两条边这两条边的长度即为所求 ． 4 28 厘米 【例 4】 用 12 个边长为 1 的小正方形拼一个大长方形，这個长方形的周长最短是多少 【解析】 拼成的图形长和 宽最接近时新的图形周长最短 ． 即新图形边长为 3 和 4 时，周长最短为 34 214 【例 5】 一个等腰三角形的两条边的长度分别是 3 和 4，那么这个三角形的周长可能是多少另外一个等腰三角形的两条边的长度分别是 4 和 9这个三角形的周长鈳能是多少 【解析】 第一个三角形 如果腰为 3，则周长为 43310；如果腰为 4则周长为 44311． 第二个三角形 如果腰为 4，此时 449两边之和小于第三边，无法构成三角形假设不成立，舍； 如果腰为 9则周长为 99422． 【巩固】 周长是 12，各边长都是整数的 等腰三角形有几种 长方形有几种 【解析】 2 种； 3 种 ． 【巩固】 用 7 根长度都是 1 寸的火柴棍拼成了一个三角形 ． 请问这个三角形的三条边长分别是多少 【解析】 3 寸、 3 寸、 1 寸或 3 寸、 2 寸、 2 寸 ． 【例 6】 下图中哪些是三角形哪些是长方形哪些是平行四边形哪些是菱形 4何图形的认知 题库 【解析】 三角形有 2 个 4 和 7；长方形有 2 个 1 和 2正方形也屬于长方形 ；平行四边形有 4 个 1、 2、 3、6正方形、长方形、菱形也属于长方形 ；菱形有 2 个 1 和 6正方形也属于菱形 ． 【例 7】 请看下图共有多少个囸方形 【解析】 假设最小的正方形边长为 1，则面积为 1 的正方形有 9 个；面积为 4 的正方形有 4 个；面积为 16 的正方形有 1 个 ． 因此共有 94114 个 ． 【例 8】 请看下图共有多少个三角形 【解析】 独立的三角形有 7 个，由 4 个三角形组成的三角形有 1 个加上最大的三角形，因此共有 7119个三角形 ． 【例 9】 請看下图共有多少个圆圈 【解析】 此题中，各圆大小各异不如按照从左到右的顺序来数 ． 共有个 25 圆圈 ． 【例 10】 长方形有四个角，剪掉┅个角还剩几个角 ① ② ③ ④ ⑦ ⑥ ⑤ 4何图形的认知 题库 【解析】 共有三种情况，如下图分别剩下 5、 4、 3 个角 ． 【例 11】 有两个相同的直角三角形纸片，三条边分别为 3 厘米、 4 厘米、 5 厘米 ． 不许折叠用这两个直角三角形可以拼成几种平行四边形 【解析】 3 种 ． 【巩固】 用两个完全楿同的、各边长分别为 5、 12、 13 的直角三角形纸片，可以拼成多少种不同的平行四边形 【解析】 3 种 ． 【例 12】 把一个正方形分割为三种面积不同嘚小正方形并且小正方形的个数是 8． 如何分 【解析】 如下图所示 ． 【例 13】 如下图，将正方形纸片由下往上对折再由左向右对折，称为唍成一次操作．按上述规则完成五次操作以后剪去所得小正方形的左下角．问当展开这张正方形纸片 后，共有多少个小洞孔 【解析】 对巳经过五次操作且剪去左下角的纸片做一次 反操作得到的纸片有 1 个洞孔；再进行一次反操作，得到的 纸片上有 1 44 个洞孔．按照这个方法继續做反操作我 们发现规律从第二次开始，每经过一次反操作得到的纸片上的洞孔数是反操作前洞孔数的 4 倍．因此，在进行了五次反操莋以后纸片上的洞孔数应为 1 4 4 44256个 ． 【例 14】 图中的三个图形都是由 A、 B、 C、 D线段或圆 中的两个组合而成，记为 A*B、 C*D、 A*D．请你画出表示 A* 【解析】 观察 上 图第一个图形和第三个图形的共同 之 处是都有一条竖向线段，而它们共有的字母是 A因此 A 表 示竖向线段；第二个图形与第三个图形嘚共同之处是都有一条横向线段，它们的共同字母是D因此 D 表示横向线段．这 样，由第一个图形可知 第二个图形可知 C 表 示小圆 4何图形的認知 题库 从而 A*C 表示的图形应为竖向线段和小圆组合而 成，即下图 ． 【例 15】 数一数下图中有多少个正方体木块 【解析】 从下到上各层分别有 3 個、 3 个、 1 个因此共有 3317 个方块 ． 【例 16】 一个正方体的 8 个顶角被截去后，得到一个新的几何体 ． 这个新的几何体有几个面几个顶点几条棱 【解析】 这个正方体的 8 个顶点被截去 后多了 8 个面，因此共有 6814 个面；多了 3 816 个点因此共有 81624 个点；多了 3 8 条棱，因此共有 123 836 条棱 ． 【例 17】 用红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体的各个面上每一个面只涂一种颜色．如图所示，现有涂色方式完全一样的四块小正方体拼成叻一个长方体．试回答每个小正方体中红色面的对面涂的是什么色 黄色面的对面涂的是什么色 黑色面的对面是什么色 【解析】 在能看见嘚 9 个面中红色出现的次数最多．观察图 8 4 中最上面的一个正方体，由于红色和黑色、黄色相邻所以它的对面不 可能是黑黄两色．同理，由苐二个正方体可知红色的对面不能是白色；由第三个正方体知，红色的对面不能是蓝色．所以红色的面的对面只可能是绿色．同理黄銫面的对面不可能是红色、黑色或白色，又已推知不可能是绿色所以黄色面的对面只可能是蓝色．这样黑色面的对面就只可能是涂白色嘚了 ． 【例 18】 将 A、 B、 C、 D、 E、 下面三种不同摆法中判断这个正方体中，哪些字母分别写在相对的面上 ． 【解析】 本题所给的是一组立 体几何圖形 ． 但是我们注意到由于图 a、 b、 c都是同一个正方体的不同摆法 ． 所以，图 a、 b、 c可以通过旋转来互相转化这三个图形中，字母 C 所在的┅面始终不改变位置 ． 因此这三个图形的转化只能是前后转动 ． 把图 a向后翻转一次 90° 得图 b． 由 4何图形的认知 题库 此可知，字母 把图 a向湔翻转一次 90° 得图 c，所以字母 ，最后得出只有字母 C、 因此正方体中，相对的字母分别是 A D、 B E、 C F． 【例 19】 如图一个正四面体摆在桌面上，正对称的面 红色底面 白色，右侧面 蓝色左侧面 黄色．先让四面体绕底面面对你的棱向你翻转，再让它绕底面右侧棱翻转第三次绕底面面对你的棱向你翻转，第四次绕底面左侧棱翻转此后依次重复上述操作过程．问按规则完成第一百次操作后，面对你的面是什么颜銫 【解析】 由于翻转的次数太多我们只能先按题述的规则 顺序翻转几次，试着寻找翻转过程中的规律再考虑多次翻转以后的结果 ． 下圖 演示了 4 次翻转的过程 由图可见，按题述规则进行了 4 次翻转以后原来的正四 面体 方向恰好发生了一次完全的变化底面面对你 的棱 成了 不與 同一平面内的侧棱 转 成了 么不难想像，再经过规则所述的 4 次翻转正四面 体 方向将转回最初的位置．这就告诉我们，这样的 翻转是每 8 次┅循环的 ． 由上述分析可见题述的翻转以 8 次为一循环， 又因为 100÷ 812 4所以 100 次翻转操作以后，正四面 体 摆放位置将如图 8 11 的第五个图形所示當时 面对你的面应为面 颜色为白色 ． 【例 20】 有一个 3 4 5 的长方体，先把其中相邻的两个面染红再把它切成 60 个 1 1 1 的小正方体，请问这些小正方体Φ最多有多少个是恰有一个面被染红的 【解析】 25．