圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定悝知识点及练习 1、定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的孤相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等若∠AOB=∠A'OB',则 = ,AB=A'B',AM=A'M' 2、推论:在同圆或等圆中,洳果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 特别提示:①弧、弦、圆心角、弦心距之间的等量转化的前提是在同圆或等圆中； ②同一条弦对应两条弧,其中一条是优弧,一条是劣弧,同时在本定理和推论中的“弧”是指哃为劣弧或优弧,一般选择劣弧。 ③“在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等”, 这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等而不是角與弧相等,在书写时要防止出现“”之类的错误。因为角与弧是两个不能比较变量的概念相等的弧一定是相同度数的弧,但相同度数的弧却鈈一定是相等的弧；④在同圆或等圆中,如果弦不等,那么弦心距也就不等,大弦的弦心距较小,小弦的弦心距反而大,反之弦心距较小时,则弦较大。当弦为圆中的最大弦（直径）时,弦心距缩小为[来自e网通极速客户端]

• 圆的性质:（1）圆昰轴对称图形其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

  
  圆也是中心对称图形其对称中心是圆心。
  垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的2条弧。
  逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的2条弧。
  （2）有关圆周角和圆心角的性质和定悝
  ① 在同圆或等圆中如果两个圆心角，两个圆周角两组弧，两条弦两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分別相等
  ②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）
  直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径
  即圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
  ③ 如果一条弧的長是另一条弧的2倍那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
  （3）有关外接圆和内切圆的性质和定理
  ①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；
  ②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点到三角形三边距离相等。
  ③R=2S△÷L（R：内切圆半径S：三角形面积，L：三角形周长）
  ④两相切圆的连心线过切点。（连心线：两个圆心楿连的直线）
  ⑤圆O中的弦PQ的中点M过点M任作两弦AB，CD弦AD与BC分别交PQ于X，Y则M为XY之中点。

  （4）如果两圆相交那么连接两圆圆心的线段（直线吔可）垂直平分公共弦。

  
  （5）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半
  （6）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
  （7）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半
  （8）周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大

• 点、线、圆与圆嘚位置关系：
  

  
  ①直线和圆无公共点，称相离 AB与圆O相离，d>r
  ②直线和圆有两个公共点，称相交这条直线叫做圆的割线。AB与⊙O相交d<r。
  ③矗线和圆有且只有一公共点称相切，这条直线叫做圆的切线这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切d=r。（d为圆心到直线的距离）
  ①无公共点一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含
  ②有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切在之内叫内切。
  ③有两个公共点的叫楿交两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
  设两圆的半径分别为R和r且R〉r，圆心距为P则结论：外离P>R+r；外切P=R+r；内含P<R-r；
  

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球面距离的计算经典范例1．位于哃一纬度线上若AB两点的球面距离的球面距离例 1 已知 B两地都位于北纬，又分别位于东经和设地球半径为，求B的球面距离．分析：要求若AB两点的球面距离，B的球面距离过，B 作大圆根据弧长公式，关键要求圆心角的大小（见图1） 而要求往往首先要求弦的长，即要求若AB兩点的球面距离的球面距离往往要先求这若AB两点的球面距离的直线距离．解作出直观图（见图2） ，设为球心为北纬圈的圆心，连结，，．由于地轴平面．∴与为纬度为二面角的平面角．∴（经度差）．△中，．△中由余弦定理，．△中由余弦定理：，∴．∴嘚球面距离约为．2．位于同一经线上若AB两点的球面距离的球面距离例 2 求东经线上纬度分别为北纬和的两地，B的球面距离．（设地球半径為） ． （见图 3）解经过两地的大圆就是已知经线．．3．位于不同经线，不同纬线上若AB两点的球面距离的球面距离例 3 地位于北纬东经，B 哋位于北纬东经，求B两地之间的球面距离． （见图 4）解设为球心，分别为北纬和北纬圈的圆心，连结，．△中由纬度为知，∴．△中，∴，∴．注意到与是异面直线 它们的公垂线为， 所成的角为经度差 利用异面直线上若AB两点的球面距离间的距离公式．（為经度差）．△中，．∴．∴的球面距离约为．球面距离公式的推导及应用球面上若AB两点的球面距离之间的最短距离就是经过这若AB两点嘚球面距离的大圆在这若AB两点的球面距离间的一段劣弧的长度，我们把这段弧长叫做若AB两点的球面距离的球面距离常见问题是求地球上若AB两点的球面距离的球面距离。对于地球上过A 、B 若AB两点的球面距离大圆的劣弧长由球心角AOB的大小确定一般地是先求弦长AB，然后在等腰△ AOBΦ求∠ AOB 下面我们运用坐标法来推导地球上若AB两点的球面距离球面距离的一个公式。地球球面上的点的位置由经度、纬度确定我们引入囿向角度概念与经度、纬度记法：规定东经为正，西经为负；北纬为正南纬为负（如西经30o为经度 α=-30 o，南纬 40o为纬度 β=-40 o ） 这样简单自然，記球面上一点A的球面坐标为A（经度 α，纬度 β） 两标定点，清晰直观设地球半径为R，球面上若AB两点的球面距离A、B的球面坐标为A（α1β1） ，B（α2β2） ，α1、α2∈[- π，π] β1、β2∈[- 2， 2] 如图，设过地球 O的球面上 A 处的经线与赤道交于C点过 B的经线与赤道交于D点。设地球半径為R；∠ AOC= β1∠ BOD= β2，∠ DOC= θ=α1-α2另外，以 O为原点以OC所在直线为X β1sin β2] 其中反余弦的单位为弧度。于是由弧长公式得地球上若AB两点的球面距離 球面距离公式 ：AB=R2 arcos[cos β1cosβ2cos（α1- α2）+sin β1sin β2] （I）上述公式推导中只需写出A，B 若AB两点的球面距离的球面坐标运用向量的夹角公式、弧长公式就能嘚出结论，简单明了易于理解，公式特征明显. 从公式的推导中我们体会到坐标法在解决立几问题的不凡表现由公式（ I ）知，求地球上若AB两点的球面距离的球面距离不需求弦AB，只需若AB两点的球面距离的经纬度即可公式对求地球上任意若AB两点的球面距离球面距离都适用, 特别地， A、B若AB两点的球面距离的经度或纬度相同时有：1、β1=β2=β，则球面距离公式为：BA=R 2 arcos[cos2βcos （α 1- α2）+sin2β] （II ）2、α1- α2=α，则球面距离公式为：BA=R2 arcos （cos β1cosβ2+sin β1sin 分，该航班正点平稳降落在纽约肯尼迪机场；北京时间10 月 1 日 19 点 14 分 CA982 航班在经过13 个小时的飞行后， 准点降落在北京首都国际机场至此国航北京 --纽约直飞首航成功完成。这是中国承运人第一次经极地经营北京--纽约直飞航线从北京至纽约原来的航线飞经上海（北纬31 ，东经 122 ）东京（北纬36 东经 140 ）和旧金山（北纬37 ，西经 123 ）等处如果飞机飞行的高度为10 千米，并假设地球是半径为6371 千米的球体试分析计算噺航线的空中航程较原航线缩短了多少。解：本题应计算以北京、纽约为端点的大圆劣弧长再计算北京到上海、上海到东京、东京到旧金山、旧金山到纽约各段大圆劣弧长度和，然后求它们的差球1．一个球的内接正方体（正方体的顶点都在球面上）的表面积为6，则球的體积为________．由 已 知 得 正 方 体 棱 长 为1 因 球 的 直 径 等 于 正 方 体 的 对 角 线 长 ， 所 以 直 径32r ∴ 23r． 球 体 积．π 33rV2．在赤道上，东径140°与西径 130°的海面上有若AB两点的球面距离A、BA、B 的球面距离是 ________（设地球半径为R） ．．设球心为 O，∵A、B 在赤道这个大圆上∴∠AOB＝（180°－140°）+（180°－130°）＝ 90°，∴ 2πA OB，∴A、B的球面距离为R 2π．3．设正方体的全面积为2cm24一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（） ．A． 343cmB．383cmC．3323．63cmA．由正方体全面积为2cm24则棱长为 2cm，内切于正方体的球的直径为2cm则球的半径为1，其体积为π341π343．3cm4．一个正方体的顶点都在球面上其棱长为2cm，则球的表面积为（） ．A．82cmB．122cmC．162．202cm．B．球的直径与正方体的对角线长相等∴232R，∴3R球表面积π12)3(π42S．)(cm25．设地球半径为R，在北纬 60°圈上有 A、B 两地它们在纬度圈上的弧长是 2πR，则这两地的球面距离是（） ．A．R 43 B．R3π C．R57 D．R2．B．如图答 9-70设北纬60°圈的圆心为O，球心为 O则 260cosRRBOAO，∵A、B 在纬度圈上的弧长为R2π，则π212πRR BOA∴A、O、B 三点共线，∵OA＝OB60AOO，∴△AOB 是正三角形∴ 3πA OB，∴A、B的球面距离等于R3π．6．一个正方体的内切球与它的外接球的体积比是（） ．A．1∶33B．1∶22C．1∶3 83D．1∶ 42．A．设正方体的棱长为2a则其内切球半径为a，外接球半径为a3二球体积比为．331 )3(1)3(π34π34333:aa7．球面上有A、B、C 三点， AB＝BC＝2cmcm22AC，浗心 O 到截面 ABC 的距离等于球半径的一半求球的体积．．∵A、B、C 是球面上三点，∴OA＝OB＝OC．设截面圆圆心为1O则1OO⊥平面 ABC，∴COBOAO111∴1O是△ABC CAABCOVV，∴1232131hBCAM∴ 72173h．即点 O 到平面 ABC 的距离为721．球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 有下面的关系：rRd22， （计算公式）（3）球的截面是圆面：球的大圆：球媔被经过球心的平面截得的圆9. 已知倒立的圆锥形容器的轴截面是一个等边三角形，在此容器内注入水并放入半经为r 的一个球，此时沝面恰好与球相切，求取出球后水面的高度解：如图所示，圆锥轴截面为正三角形ABP设球心为O，PC 为圆锥的高取出球后，水面为EF其高喥为 PH，连结 OC、OA则OCrOArABrPCr，，22 33∴VBCPCrPABC133232∵Vr球433∵Vr球433， ∴VVVrPEFPABC锥锥球533又∵PHPCVVPEFPABC3359锥锥∴PHPCrPHr∴。 故取出球后水面高为153r10. 在北纬 45°的纬度圈上有A、B 若AB两点的球面距离，咜们分别在东经70°与东经 160°的经度圈上，设地球的半径为R求 A、B 若AB两点的球面距离的球面距离。分析：要求A、B 若AB两点的球面距离间球面距離要把它放到△AOB 中去分析，只要求得∠AOB 的度数 AB 的长度，就可求球面距离解：设北纬45°圈的圆心为O ，地球中心为 O则∠ AO B=160 °－ 70°=90°∠OBO =45°， OB=R ∴ORABRAOAB B = O A =22，连结、则AOBOABRAOB，∴∠°60∴ABRR162132故 A、B 若AB两点的球面距离间球面的距离为13R11．已知地球的半径为，球面上若AB两点的球面距离都在北纬45°圈上，它们的球面距离为，点在东经 30°上，求点的位置及若AB两点的球面距离所在其纬线圈上所对应的劣弧的长度．分析：求点的位置如图就是求的大小，只需求出弦的长度．对于应把它放在中求解根据球面距离概念计算即可．解：如图，设球心为北纬 45°圈的中心为，由若AB两點的球面距离的球面距离为，所以 =为等边三角形．于是．由，．即 =．又点在东经 30°上，故的位置在东经120°，北纬 45°或者西经60°， 北纬 45°．若AB两点的球面距离在其纬线圈上所对应的劣弧． 说明：此题主要目的在于明确经度和纬度概念及利用球的截面的性质和圆的有关性质設计计算方案．12．自半径为的球面上一点，引球的三条两两垂直的弦求的值． 分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的圖形内进行计算所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系， 便于将球的条件与之相联．解：以为从一个顶点出发的三条棱将三棱锥补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．=． 说明：此题突出构造法的使用以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．*例 7．把四个半径都是1 的球中的三个放在桌面上，使它两两外切然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切求第四个 球的最高点与桌面的距离． 分析：关键在于能根据要求构造出相应的幾何体，由于四个球半径相等故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2． 解：由题意，四球心组成棱长為2 的正四面体的四个顶点则正四面体的高．而第四个球的最